Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 81
Поэтому из неравенства
α
(θ)rε(xε(θ),yε(θ)) ε2αε(t0)+u(t0,x0) −v(t0,x0)+K
ε
следует
x
(θ) − yε(θ)→0, когда ε → 0.
ε
Далее, переходя к пределу при ε → 0 в оценке
2
αε(t0)+u(t0,x0) −v(t0,x0) σ(xε(θ)) − σ(yε(θ))
ε
получаем неравенство u(t
отом,чтоu(t
) <v(t0,x0) приводит к противоречию. Теорема 7.3
0,x0
) v(t0,x0). Таким образом, предположение
0,x0
доказана.
П
РИМЕЧАНИЕ. Функция w
вида (7.14) удовлетворяет условию (A4),
ε
введенному в работе [55] (это условие сформулировано также в пункте 9.2).
Из доказательства теоремы 7.3, приведенного выше, ясно, что условие (H3)
может быть заменено условием (A4).
Модифицируя доказательство теоремы 7.3, мы можем оценить разность u −v,гдеu — верхнее решение в задаче Коши
∂u
+ H
(t, x, u, Dxu)=0,u(θ, x)=σ1(x),
∂t
1
а v — нижнее решение в задаче Коши
∂v
+ H
(t, x, v, Dxv)=0,v(θ, x)=σ2(x).
∂t
2
Таким способом мы можем получить оценки, которые позволяют анализировать проблемы корректности минимаксных решений. Заметим, что в теории уравнений Гамильтона– Якоби этим проблемам уделяется много внимания.
8. Существование минимаксного решения задачи Коши
для уравнения Гамильтона–Якоби
В этом параграфе мы приводим результаты, из которых следует существование минимаксных решений в задаче Коши для уравнений Гамильтона– Якоби. Эти результаты вместе с теоремой 7.3 из предыдущего параграфа доставляют критерии существования и единственности минимаксных
решений. Мы даем два варианта доказательств.
8.1. Теорема
Если условия (H1) – (H4) из параграфа 7.2 выполняются, то в задаче
Коши (7.1), (7.2) существует единственное минимаксное решение u.
82 ГЛАВА II
Как показано выше, единственность минимаксного решения следует из
теоремы 7.3. Нетрудно видеть, что существование минимаксного решения
в задаче (7.1), (7.2) может быть выведено из факта существования таких
верхнего решения u и нижнего решения v этой задачи, что u v.Действительно, согласно теореме 7.3, здесь невозможно строгое неравенство.
Поэтому мы получаем, что существует функция, которая является одновременно верхним и нижним решением задачи (7.1), (7.2). Согласно определению (M3) (cм. пункт 6.3), эта функция является минимаксным решением в
рассматриваемой задаче Коши. Таким образом, доказательство теоремы 8.1
может быть сведено к доказательству следующего утверждения.
8.2. Теорема
Если условия (H1)–(H4) выполнены, то существуют такие верхнее
решение u и нижнее решение v задачи Коши (7.1), (7.2),чтоu v.
Доказательство может быть схематически очерчено следующим образом. Рассмотрим нижнюю огибающую множества всех верхних решений задачи Коши (7.1), (7.2). Затем проверим, что функция u
, полученная таким
0
образом, удовлетворяет определению верхнего решения. Далее, докажем
что верхнее замыкание этой функции u
u0(t, x) := lim
sup{u0(τ,ξ): ξ − x ε, |τ − t| ε, τ ∈ (0,θ]},
ε↓0
удовлетворяет определению нижнего решения. Ясно, что v :=
, определенное равенством
0
u0 u0.
(Здесь удобнее проводить все рассуждения в классе локально ограниченных функций.) В конце доказательства применяются операции нижних и
верхних замыканий, которые обеспечивают полунепрерывность рассматриваемых функций снизу и сверху.
Этот метод имеет истоки в теории позиционных дифференциальных
игр, где подобные конструкции были использованы при доказательстве существования цены игры. Позже этот метод применялся в теории вязкостных решений. А именно, верхние (соответственно, нижние) огибающие в
классах субрешений (соответственно, суперрешений) использовались, чтобы доказать существование вязкостного решения (см. библиографический
комментарий в конце этой главы).
8.3. Предварительные конструкции
Пусть W —множествовR
ограниченной, если для любого y
|w(y)| < ∞, для y ∈ B(y0; ε) ∩W.
sup
y
Ясно, что sup
|w(y)| < ∞ для любого компактного множества Y ⊂ W .
y∈Y
m
. Функция w: W → R называется локально
∈ W существует такое число ε>0,что
0
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 83
Выберем и зафиксируем τ ∈ (0,θ], s ∈ Rn. Рассмотрим следующие
величины
∗
μ
(t0,x0,z0):=sup{ϕ(x(τ )) − z(τ ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s)},
μ
∗(t0,x0,z0
):=inf{ϕ(x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (x0,t0,z0,s)}.
Здесь (t
0,x0,z0
ограниченная функция. Символ Sol (t
решений
) ∈ (0,τ] × Rn× R, s ∈ Rnи ϕ : Rn→ R —локально
0,x0,z0
(x(·),z(·)) : [0,θ] → R
,s) обозначает множество всех
n
× R
характеристического включения
(˙x, ˙z) ∈ E(t, x, z, s), (8.1)
которые удовлетворяют условию x(t
)=x0, z(t0)=z0.Напомним,что
0
многозначное отображение E определено равенством
E(t, x, z,s):={(f, g): f ρ(x),g= F,s−H(t, x,z, s)} (8.2)
и удовлетворяет оценкам (7.7). Обращаем внимание, что гамильтониан H
и многозначное отображение E не определены при t =0и t = θ.Однако
траектории дифференциального включения (8.1) могут быть непрерывно
продолжены на весь интервал [0,θ].
Пусть M — компактное подмножество множества (0,θ] ×R
лагаем
Sol (M, s):=
Sol (t0,x0,z0,s). (8.3)
(t0,x0,z0)∈M
n
× R.По-
Известно, что, если имеют место оценки (7.7), то множество Sol (M,s) компактно в пространстве C([0,θ], R
n+1
) (см. параграф A7, утверждение A7.3).
Поэтому локальная ограниченность функции ϕ влечет за собой оценки
sup
(t0,x0,z0)∈M
sup
(t0,x0,z0)∈
|μ∗(t0,x0,z0)| < ∞,
|μ∗(t0,x0,z0)| < ∞.
Следовательно, μ
∗
и μ∗локально ограничены. Покажем, что
∗
(t0,x0,z0+ h) μ∗(t0,x0,z0) −h,
μ
μ
∗(t0,x0,z0
+ h) μ∗(t0,x0,z0) −h. (8.4)
84 ГЛАВА II
Докажем первую оценку. Очевидно, можно ограничиться случаем h 0. Выберем произвольное число ε>0 и найдем такую траекторию (x
(·),zh(·)) ∈ Sol (x0,t0,z0+ h, s),что
h
∗
(t0,x0,z0+ h) −ε ϕ(xh(τ)) −zh(τ).
μ
Функция z
и начальному условию z
решение z
что z
(·) удовлетворяет дифференциальному включению
h
(t)=˙xh(t),s−H(t, xh(t),zh(t),s)
˙z
h
)=z0+ h z0. Поэтому существует такое
(·) дифференциального уравнения
∗
)=z0и z∗(t) zh(t) − h для t ∈ [t0,θ].Напомним,чтогамиль-
∗(t0
h(t0
˙z
(t)=˙xh(t),s−H(t, xh(t),z∗(t),s),
∗
тониан H(t, x, z, s) не возрастает по переменной z. Принимая во внимание,
что τ t
z
h
, получаем
0
(τ) −z∗(τ)=h +
τ
[H(t, xh(t),z∗(t),s) − H(t, xh(t),zh(t),s)] dt h.
t
0
Согласно (8.1), (8.2) мы имеем
(x
(·),z∗(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s).
h
Таким образом, окончательно,
∗
μ
(t0,x0,z0+ h) −ε ϕ(xh(τ)) −zh(τ)
ϕ(x
Вторую из оценок (8.4) можно доказать подобным образом.
Обозначим символом S
функций (0,θ] × R
n
(t, x) → u(t, x) ∈ R, которые удовлетворяют ра-
(τ)) −z∗(τ) −h μ∗(x0,t0,z0) −h.
h
u
множествовсехлокальноограниченных
венству (7.2) и неравенству
inf{[u(τ,x(τ)) −z(τ)]: (x(·),z(·)) ∈ Sol (t
при всех (t
Точно так же символ S
ченных функций u :(0,θ] × R
) ∈ (0,θ] × Rn, z0>u(t0,x0), τ ∈ [t0,θ], s ∈Rn.
0,x0
l
обозначает множество всех локально ограни-
n
→ R, удовлетворяющих равенству (7.2) и
неравенству
sup{[u(τ,x(τ)) −z(τ)]: (x(·),z(·)) ∈ Sol (t
при всех (t
) ∈ (0,θ] × Rn, z0<u(t0,x0), τ ∈ [t0,θ], s ∈Rn.
0,x0
0,x0,z0
0,x0,z0
,s)} 0, (8.5)
,s)} 0, (8.6)
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 85
Отметим, что в этих определениях функции u ∈ Suи u ∈ Slне
предполагаются полунепрерывными сверху или снизу. Результаты, приведенные ниже, показывают, что полунепрерывная снизу (соответственно,
сверху) функция u является верхним (соответственно, нижним) решением задачи (7.1), (7.2) тогда и только тогда, когда u ∈ S
но, u ∈ S
l
).
u
(соответствен-
Доказательство теоремы 8.2 опирается на утверждения 8.4 –8.7.
8.4. Утверждение
n
Пусть выбрано и зафиксировано s ∈ R
. Определим
μ
−(t0,x0,z0
Справедливо следующее. Функция u
и оценивает снизу функции u ∈ S
при всех u ∈ S
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Величина μ
Полагаем h>|μ
μ
−(x0,t0
,h) < 0,ипоэтомуu−(t0,x0) h. С другой стороны, полагая z0=
= −h, из (8.7) извлекаем, что μ
следует, что μ
Следовательно, |u
локально ограничена, вытекает, что функция u
на.
Для любого u ∈ S
):=inf{σ(x(θ)) −z(θ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s)},
u
−(t0,x0
u
и (t0,x0) ∈ (0,θ] × Rn.
μ
−(t0,x0,z0
−(t0,x0
):=inf{ζ ∈ R : μ−(t0,x0,ζ) 0}.
:(0,θ]×Rn→ R локально ограничена
−
u
,т.е.
u(t
) u−(t0,x0)
0,x0
удовлетворяет оценке вида (8.4), т. е.
−
+ h) μ−(t0,x0,z0) −h, ∀ h 0. (8.7)
−(t0,x0
, 0)|. Из (8.7), где z0=0, получаем, что
−(t0,x0
, −h) μ−(t0,x0, 0)+h>0. Из (8.7)
, −h) > 0 для всех h h.Поэтомуu−(t0,x0) −h.
−(t0,x0
)| |μ−(t0,x0, 0)|. Из того, что функция
(t, x) → μ
u
(t, x, 0): (0,θ] ×Rn→ R
−
также локально ограниче-
−
из равенства u(θ, x)=σ(x) и условия 8.5, в котором мы полагаем τ = θ, следует неравенство μ
этому из определения функции u
Эта оценка справедлива при любых z
u(t
) u−(t0,x0). Утверждение 8.4 доказано.
0,x0
мы получаем, что z0 u−(t0,x0).
−
>u(t0,x0). Следовательно,
0
−(t0,x0,z0
) 0.По-
86 ГЛАВА II
8.5. Утверждение
Пусть выбраны и зафиксированы s
∈ Rn, t∗∈ (0,θ], u ∈ Su. Опреде-
∗
лим
∗
μ
(t0,x0,z0):=sup{u(t∗,x(t∗)) −z(t∗): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s∗)},
(8.8)
(8.9)
u(t
0,x0
):=
sup{ζ ∈ R : μ
u(t
0,x0
∗
(t0,x0,ζ) 0},t0∈ (0,t∗],
),t
Тогда функция u принадлежит множеству S
∈ (t∗,θ].
0
u
.
Сначала покажем, что существует такая траектория, что
(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s) ∩Sol (t0,x0,z0,s∗).
(x
Этот факт будет использоваться при доказательстве утверждения 8.5. Случай s = s
очевиден. Пусть s = s∗. Полагаем
∗
(t, x, z, s, s∗):=(s − s∗)
f
g
(t, x, z, s, s∗):=f(t, x, z, s, s∗),s−H(t, x, z, s).
H(t, x, z, s) − H(t,x, z, s
s −s∗
)
∗
2
,
Из условия (7.3) извлекаем
(t, x, z, s, s∗) ρ(x).
f
Отметим, что
(t, x, z, s, s∗)=f(t, x, z, s, s∗),s∗−H(t, x, z, s∗).
g
Поэтому
(t, x, z, s, s∗),g(t, x, z, s, s∗)) ∈ E(t, x,z, s) ∩E(t, x, z, s∗).
(f
Следовательно, траектория (x
уравнений
иусловию(x(t
жеств Sol (t
Д
= u(θ,x
0,x0,z0
ОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 8.5. Если t
) − z0= σ(x0) − z0.Поэтомуu(θ, x0)=σ(x0).Еслиt∗<θ,
0
˙x = f
(t, x, z, s, s∗), ˙z = g(t, x, z, s, s∗)
),z(t0)) = (x0,z0), принадлежит пересечению мно-
0
,s) и Sol (t0,x0,z0,s∗).
(·),z(·)), которая удовлетворяет системе
= θ,тоμ∗(θ, x0,z0)=
∗
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 87
то u(θ, x0)=u(θ, x0)=σ(x0). Таким образом, функция u удовлетворяет
условию u(θ, x
быть проверена подобно тому, как это было сделано для функции u
)=σ(x0). Локальная ограниченность функции u может
0
−
доказательстве утверждения 8.4.
Остается доказать, что для любых (t
n
s ∈ R
и τ ∈ [t0,θ] имеет место следующее неравенство
) ∈ (0,θ] ×Rn, z0> u(t0,x0),
0,x0
в
inf{u(τ,x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t
Возможны три случая: (i) t
Случай (i). Если t
t∗, (ii) τ t∗, (iii) t0<t∗<τ.
0
, то неравенство (8.10) следует из условия (8.5)
0>t∗
0,x0,z0
,s)} 0. (8.10)
(которое имеет место для функции u) и из равенства (8.9). Заметим, что
для t
= t∗(согласно (8.8) и (8.9)) справедливо μ∗(t∗,x0,z0)=u(t∗,x0) −
0
− z
и u(t∗,x0)=u(t∗,x0). Поэтому неравенство (8.10) имеет место не
0
только для t
,нотакжеидляt0= t∗.
0>t∗
Случай (ii). Полагаем
:= {(x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s∗):
Sol
τ
(x(t),z(t)) = (x
τ
:= Sol(τ,x(τ),z(τ),s∗),
Sol
(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s)∩Sol (t0,x0,z0,s∗).Таккакz0> u(t0,x0),
где (x
из (8.9) следует, что μ
∗
0 >μ
(t0,x0,z0) sup{u(t∗,x(t∗)) −z(t∗): (x(·),z(·)) ∈ Solτ} =
=sup{u(t
∗
Поэтому из (8.4) и (8.9) вытекает u(τ, x
∗
(t,x,z
) < 0. Согласно (8.8), имеем
,x(t∗)) −z(t∗): (x(·),z(·)) ∈ Solτ} = μ∗(τ,x(τ),z(τ)).
(τ)) z(τ). Таким образом, нера-
венство (8.10) доказано в случае (ii). Отметим, что для τ = t
∗
(t∗,x(t∗),z(t∗)) = u(t∗,x(t∗)) −z(t∗).
0 >μ
(t),z(t)),t∈ [t0,τ]},
справедливо
∗
Случай (iii). Полагаем
Sol
:= Sol(t0,x0,z0,s),
0
:= Sol(t∗,x(t∗),z(t∗),s),
Sol
∗
:= {(x(·),z(·)) ∈ Sol0:(x(t),z(t)) = (x(t),z(t)),t∈ [t0,t∗]}.
Sol
88 ГЛАВА II
Справедливы соотношения
inf{u(τ,x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol
(a)
=inf{u(τ, x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol0}
(b)
}
0
inf{u(τ,x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol}
(c)
=inf{u(τ),x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol∗}
(d)
0.
Равенство (a) следует из равенства u(τ,x)=u(τ, x); неравенство (b) являет-
ся следствием включения Sol
множества Sol
. Последнее неравенство (d) следует из условия u ∈ Suи
⊂ Sol0; равенство (c) следует из определения
∗
соотношения (8.5), которое выполняется для функции u. Условие (8.5) здесь
применимо, так как выше было показано, что z
) >u(t∗,x∗(t∗)).
∗(t∗
Таким образом, мы получаем (8.10). Утверждение 8.5 доказано.
8.6. Утверждение
u
+(t0,x0
u
содержит локально ограниченную функцию
):=sup{ζ ∈ R : μ+(t0,x0,ζ) 0}, (8.11)
Множество S
u
:(0,θ] ×Rn→ R, определенную равенством
+
где
μ
+(t0,x0,z0
и s
—векторизRn.
∗
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Локальная ограниченность функции u
Д
доказана таким же образом, как это было сделано для функции u
ждении 8.4.Для t
этому u
+
Кроме того, функция u
):=sup{σ(x(θ)) −z(θ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s∗)},
может быть
+
вутвер-
= θ имеет место равенство μ+(θ, x0,z0)=σ(x0)−z0.По-
0
−
(θ, x0)=σ(x0), так что функция u+удовлетворяет условию (7.2).
удовлетворяет условию (8.5), что можно показать
+
так же, как это было сделано в случае (ii) при доказательстве утверждения 8.5.
8.7. Утверждение
Пусть S — непустое подмножество множества S
ция (0,θ] ×R
n
(t, x) → u∗(t, x) ∈ R, определенная равенством
u
(t, x):=sup
∗
inf{u(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
ε>0
ε
u
.Тогдафунк-
(t, x),u∈ S}, (8.12)
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 89
является верхним решением задачи (7.1), (7.2). Здесь и ниже
B
(t, x):={(τ,ξ) ∈(0,θ] × Rn: ξ −x ε, |τ − t| ε}. (8.13)
ε
l
Аналогично, пусть S ⊂ S
, S = ∅. Тогда функция u∗:(0,θ] × Rn→ R,
определенная равенством
∗
u
(t, x):=inf
sup{u(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
ε>0
(t, x),u∈ S}, (8.14)
ε
является нижним решением задачи (7.1), (7.2).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что u
— верхнее решение задачи (7.1),
∗
(7.2). Введем следующее обозначение
r
(x, t, ε, S):=inf{u(ξ, τ): (τ, ξ) ∈ B
∗
Заметим, что r
му u
(t, x) r∗(x, t, 1, S). Согласно утверждению 8.4, для любой функ-
∗
ции u ∈ S ⊂ S
Из того, что функция u
множестве M ⊂ (0,θ] × R
(x, t, ε, S) r∗(x, t, ε, S),когда0 <ε ε.Поэто-
∗
u
справедлива оценка u u−. Следовательно
(t, x) inf{u−(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
u
∗
локально ограничена, на любом ограниченном
−
n
для нее справедливо следующее отношение
inf
(t,x)∈M
u∗(t, x) > −∞.
(t, x),u∈ S}.
ε
(t, x)}.
1
С другой стороны, согласно (8.12), справедливо u
u,гдеu — функция
∗
из множества S. Напомним, что функция u локально ограничена. Следова-
тельно, доказана и локальная ограниченность функции u
Теперь покажем, что функция u
извольно точку (t
ствует такое число ε>0,чтоr
величины r
вытекает, что неравенства
∗
) ∈ (0,θ] ×Rnичислоα>0. Согласно (8.12), суще-
0,x0
∗(t0,x0
r
(t, x, ε/2, S) r∗(t0,x0,ε,S)
∗
справедливы для любой точки (t, x) ∈ (0,θ] × R
x −x
<ε/2, |t −t0| <ε/2.
0
полунепрерывна снизу. Выберем про-
∗
,ε,S) u∗(t0,x0)−α. Из определения
n
,такой,что
.
∗
Поэтому, согласно (8.12), справедливо
u
(t, x) r∗(t, x, ε/2, S) r∗(t0,x0,ε,S) u∗(t0,x0) −α.
∗
Таким образом мы доказали, что функция u
полунепрерывна снизу.
∗
90 ГЛАВА II
Выберем произвольную точку x∗∈ Rn. Покажем, что u∗(θ, x∗)=
= σ(x
u
). Из того, что u(θ, x∗)=σ(x∗) для всех u ∈ S, вытекает, что
∗
(θ, x∗) σ(x∗). Остается доказать, что u∗(θ, x∗) σ(x∗).
∗
Согласно (8.12), можно выбрать такую последовательность
(t
k,xk,zk,uk
что z
:= uk(tk,xk)+1/k,
k
lim
k→∞
Функции u
Заметим, что z
(k)
(x
(·),z
удовлетворяют условию (8.5). Выберем произвольно s ∈ Rn.
k
(k)
k
(·)) ∈ Sol (xk,tk,zk,s),что
σ(x
Перейдем к пределу при k →∞. Принимая во внимание, что x
(k)
z
(θ) → u∗(θ, x∗), а функция σ — непрерывна, получаемu∗(θ, x∗) σ(x∗).
Таким образом, равенство u
Докажем теперь, что надграфик функции u
) ∈(0,θ] × Rn× R ×S (k =1, 2,...),
(tk,xk)=(θ, x∗), lim
zk= u∗(θ, x∗).
k→∞
>uk(tk,xk). Поэтому существует такая траектория
(k)
(θ)) = uk(θ, x
∗
(k)
(θ)) z
(k)
(θ)+1/k.
(θ, x∗)=σ(x∗) доказано.
слабо инвариантен отно-
∗
(k)
(θ) → x∗,
сительно характеристического включения (8.1).
Пусть (t
Согласно (8.12), можно выбрать такую последовательность (t
∈ (0,θ] ×R
(t
k,xk
Полагаем α := z
вытекает, что z
) ∈ (0,θ] × Rn, z0 u∗(t0,x0), τ ∈ [t0,θ], s ∈ Rn.
0,x0
n
× S (k =1, 2,...),что
) → (t0,x0),uk(tk,xk) → u∗(t0,x0), когда k →∞.
0−u∗(t0,x0
>uk(tk,xk).Ясно,чтоzk→ z0,когдаk →∞. Функции u
k
), zk:= uk(tk,xk)+α+1/k. Из того, что α 0,
k,xk,uk
) ∈
удовлетворяют условию (8.5), поэтому можно выбрать такую последовательность траекторий (x
z
(k)
(k)
(k)
(·),z
(·)) ∈ Sol (tk,xk,zk,s)(k =1, 2,...),что
(τ) uk(τ,x
(k)
(τ)) −1/k. (8.15)
k
Извлечем сходящуюся подпоследовательность последовательности
(k)
(x
чим через (x
(·),z
(k)
(·)) (k =1, 2,...). Предел этой подпоследовательности обозна-
∗
(·),z∗(·)). Этот предел принадлежит множеству Sol(t0,x0,z0,s)
(см. параграф A7, утверждение A7.3). Без потери общности можем полагать,
что существуют пределы
(k)
(·),zk(·)) → (x∗(·),z∗(·)),
(x
(k)
(x
u
(τ),τ) → a, когда k →∞.
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]