Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 91
Из (8.12) следует, что u∗(τ,x∗(τ)) a. Переходя к пределу при k →∞в
неравенствах (8.15), получаем
u
(x∗(τ),τ) a z∗(τ).
∗
Таким образом, доказано, что для любых (t
n
и s ∈ R
имеет место следующее неравенство
min{u
(x(τ),τ) − z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s)} 0.
∗
0,x0,z0
Из этого неравенства вытекает, что существует траектория (x
∈ Sol (t
0,x0,z0
график функции u
,s), такая, что (τ, x(τ),z(τ)) ∈ epi u∗. Следовательно, над-
является слабо инвариантным относительно дифферен-
∗
) ∈ epi u∗, τ ∈ [t0,θ]
(·),zτ(·)) ∈
τ
циального включения (8.1) (см. замечание A8.1 в параграфе A8).
Таким образом, доказано, что функция u
является верхним решением
∗
задачи (7.1), (7.2). Точно так же может быть доказано, что функция u
вида (8.14) является нижним решением задачи Коши (7.1), (7.2).
8.8. Доказательство теоремы 8.2
Рассмотрим функции u
и u0, которые определены на (0,θ] × Rnра-
0
венствами
u
(t, x):=sup
0
u0(t, x):=inf
inf{u(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
ε>0
sup{u0(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
ε>0
Заметим, что, согласно утверждению 8.7, функция u
решением задачи (7.1), (7.2). Ясно также, что u
множества S
,т.е.
u
∈ Su,u0 u, ∀u ∈ Su. (8.18)
u
0
(t, x),u∈ Su}, (8.16)
ε
(t, x)}. (8.17)
ε
является верхним
0
— минимальный элемент
0
∗
Докажем, что функция
u0является нижним решением задачи (7.1),
(7.2).
Функция
u0полунепрерывна сверху. Этот факт может быть установлен
таким же образом, как была доказана полунепрерывность снизу функции u
в утверждении 8.7. Покажем, что подграфик функции u0является слабо
инвариантным относительно дифференциального включения (8.1).
Пусть (t
max{
0,x0,z0
u0(t∗,x(t∗)) −z(t∗): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s∗)} 0. (8.19)
) ∈ hypo u0, t∗∈ (t0,θ], s∗∈ Rn. Покажем, что
∗
92 ГЛАВА II
Согласно (8.17), можно выбрать такую последовательность
(t
) ∈(0,θ] × Rn(k =1, 2,...),что
k,xk
) → (t0,x0),u0(tk,xk) → u0(t0,x0), когда k →∞.
(t
k,xk
Без потери общности можно полагать, что t
<t∗для всех k =1, 2,...
k
Пусть
z
:= z0− u0(t0,x0)+u0(tk,xk) −1/k.
k
Из неравенства z
lim
zk= z0.
k→∞
u0(t0,x0) следует zk<u0(tk,xk).Крометого,
0
Теперь определим функцию u, используя равенства (8.8), (8.9), в ко-
торых мы полагаем u = u
. Из утверждения 8.5 и соотношений (8.18)
0
вытекают соотношения
u
0(tk,xk
Поэтому из неравенств (8.4) и неравенств z
∗
0 <μ
(tk,xk,zk):=sup{u0(t∗,x(t∗)) −z(t∗): (x(·),z(·)) ∈ Solk}
где используется обозначение Sol
) u(tk,xk):=sup{ζ ∈ R : μ∗(tk,xk,ζ) 0}.
<u0(tk,xk), u0 u0получаем
k
sup{
u0(t∗,x(t∗)) −z(t∗): (x(·),z(·)) ∈ Solk},
=Sol(tk,xk,zk,s∗).
k
Следовательно, существует такая последовательность траекторий
что
(x
(k)
(·),z
(k)
(·)) ∈ Sol (tk,xk,zk,s∗)(k =1, 2,...),
(k)
(t∗) u0(t∗,x
z
(k)
(t∗)). (8.20)
Без потери общности можно полагать, что
(x
(k)
(·),z
(k)
(·)) → (x∗(·),z∗(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s∗)
когда k →∞.
Поэтому, переходя к пределу в неравенствах (8.20) при k →∞,полу-
чаем неравенство (8.19), из которого следует, что подграфик функции
u
слабо инвариантен относительно характеристического включения (8.1) (см.
замечание A8.1).
Наконец заметим, что
рен таким же образом, как и равенство u
u0(θ, x)=σ(x). Этот факт может быть прове-
(θ, x)=σ(x) в доказательстве
∗
утверждения 8.7.
Таким образом мы заключаем, что
дачи (7.1), (7.2). Выше было доказано, что u
задачи (7.1), (7.2). Из определения (8.17) функции
u0является нижним решением за-
является верхним решением
0
u0следует, что u0 u0.
Таким образом, теорема 8.2 доказана.
0
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 93
8.9. Операторные уравнения для минимаксных решений
В данном разделе содержатся конструкции и результаты, имеющие источником метод программных итераций, который был развит в рамках теории дифференциальных игр и предназначен для нахождения функции цены (соответствующие библиографические комментарии приведены в конце
этой главы).
Введем некоторые некоторое обозначения. Символ LB будет обозначать множество локально ограниченных функций (0,θ] × R
→ u(t, x) ∈ R. Множество полунепрерывных снизу (соответственно свер-
ху) функций u :(0,θ] ×R
n
→ R будет обозначаться символом LSC (соот-
n
(t, x) →
ветственно символом USC).
Пусть u ∈ LB, (t
) ∈ (0,θ] × Rn, (ζ,τ, s) ∈ R × [t0,θ] × Rn.
0,x0
Определим величины
ψ
(u)(t0,x0,ζ,τ,s):=inf{u(τ,x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,ζ,s)},
∗
∗
(u)(t0,x0,ζ,τ,s):=sup{u(τ,x(τ))−z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,ζ,s)}.
ψ
(8.21)
Очевидно, что оценки (8.4) могут быть переписаны следующим образом
ψ
(u)(t0,x0,ζ + h, τ, s) ψ∗(u)(t0,x0,ζ,τ,s) − h,
∗
∗
ψ
(u)(t0,x0,ζ + h, τ, s) ψ∗(u)(t0,x0,ζ,τ,s) − h. (8.22)
Пусть
v
(u)(t0,x0,τ,s):=inf{ζ ∈ R : ψ∗(u)(t0,x0,ζ,τ,s) 0}, (8.23)
∗
∗
v
(u)(t0,x0,τ,s):=sup{ζ ∈ R : ψ∗(u)(t0,x0,ζ,τ,s) 0}.
Γ
(u)(t0,x0):= sup
∗
∗
Γ
(u)(t0,x0):= inf
t0τ θ
t0τ θ
sup
v∗(u)(t0,x0,τ,s), (8.24)
n
s∈R
inf
v∗(u)(t0,x0,τ,s).
n
s∈R
Заметим, что для любого u ∈ LB и для любого (t
справедливы оценки
(u)(t0,x0) u(t0,x0), Γ∗(u)(t0,x0) u(t0,x0). (8.25)
Γ
∗
Выберемизафиксируемвекторs
n
го s ∈ R
найдется такая траектория, что
∗
(x
(·),z∗(·)) ∈ Sol (t0,x0,ζ,s) ∩Sol(t0,x0,ζ,s∗)
∈ Rn. Напомним, что для любо-
∗
) ∈ (0,θ] × R
0,x0
n
94 ГЛАВА II
(см. доказательство утверждения 8.5). Из (8.21) следует, что
ψ
(u)(t0,x0,ζ,τ,s) u(τ, x∗(τ)) −z∗(τ)
∗
sup{u(τ, x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t
= ψ
,ζ,s∗)} =
0,x0
∗
(u)(t0,x0,ζ,τ,s∗).
Заметим, что для
ζ =0,h= ψ
∗
(u)(t0,x0, 0,τ,s∗),
согласно предыдущему неравенству и оценке (8.22), справедливо
ψ
(u)(t0,x0,h,τ,s) ψ∗(u)(t0,x0, 0,s) − h =
∗
= ψ
(u)(t0,x0, 0,s) − ψ∗(u)(t0,x0, 0,τ,s∗) 0
∗
при всех τ ∈ [t
Пусть D — некоторое ограниченное множество в (0,θ] × R
:= {(t, x, z): (t,x) ∈ D, z =0}. Из того, что u ∈ LB,амножествоSol (M, s
вида (8.3) компактно в C([0,θ], R
,θ] и s ∈ Rn. Поэтому, привлекая (8.23) и (8.24), получим
0
v
∗(t0,x0
(u)(t0,x0) sup
Γ
∗
,τ,s) ψ∗(u)(t0,x0, 0,τ,s∗),
ψ∗(u)(t0,x0, 0,τ,s∗).
t0τ θ
n+1
), имеем оценку
Γ
sup
(t0,x0)∈D
(u)(t,x) < ∞.
n
,ипустьM :=
Объединяя эту оценку с первым неравенством в (8.25), заключаем, что функция (t
) → Γ∗(u)(t0,x0) локально ограничена.
0,x0
Точно так же можно проверить, что для любой локально ограниченной
) → Γ∗(u)(t0,x0) также локально ограни-
0,x0
чена. Эти факты могут быть выражены соотношениями
Γ
(LB) ⊂ LB, Γ∗(LB) ⊂ LB.
∗
Сначала предположим, что u ∈ LB ∩LSC, то есть функция u локально
ограничена и полунепрерывна снизу. Докажем полунепрерывность снизу
функции (t, x) → Γ
(u)(t, x).
∗
Определим множество
n
M := {(t, x, τ, ζ, s) ∈ (0,θ] ×R
τ t, ψ
(u)(t, x, ζ, τ, s) 0}
∗
× (0,θ] × R ×Rn:
)
∗
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 95
Пусть
{(t
k,xk,τk,ζk,sk
— это последовательность, которая сходится к точке (t
> 0,то(t0,x0,τ0,ζ0,s0) ∈M. Действительно, из полунепрерывности
ли t
0
)}
∞
1
⊂ M.
0,x0,τ0,ζ0,s0
).Ес-
снизу u и определения (8.21) вытекает, что существует такая последовательность (x
последовательность содержит подпоследовательность, которая сходится к
пределу (x
следует неравенство u(τ
лучаем, что ψ
тельность, что γ
Чтобы доказать полунепрерывность снизу функции (t, x) → Γ
достаточно показать, что Γ
(·),zk(·)) ∈ Sol (tk,xk,ζk,sk),чтоu(τk,xk(τk)) − zk(τk) 0.Эта
k
∗
(·),z∗(·)) ∈ Sol (t0,x0,ζ0,s0). Из полунепрерывности снизу u
)) −z∗(τ0) 0. Из определения (8.21) по-
∞
)}
⊂ (0,θ] × Rn× R —этотакаяпоследова-
1
(u)(t0,x0) γ0.
∗
(tk,xk,γk)=(t0,x0,γ0), t0> 0.
k→∞
(u)(t0,x0,ζ0,τ0,s0) 0, что и требовалось доказать.
∗
Теперь пусть {(t
=Γ∗(u)(tk,xk) и lim
k
0,x∗(τ0
k,xk,γk
(u)(t, x),
∗
Выберем произвольное число ε>0. Из (8.24) следует, что существует
такая пара (τ
Пусть {τ
k
Рассмотрим также последовательность {ζ
ζ
= v∗(u)(tk,xk,τk,sε). Без ограничения общности можно полагать, что
k
последовательность {ζ
следовательно, γ
Из включения (t
(t
0,x0,ζ0,τε,sε
) ∈ [t0,θ] ×Rn,чтоΓ∗(u)(t0,x0) v∗(u)(t0,x0,τε,sε)+ε.
ε,sε
∞
}
— такая последовательность, что τk∈ [tk,θ] и lim
1
∞
}
сходится к пределу ζ0. Заметим, что γk ζk,
k
1
ζ0.
0
k,xk,ζk,τk,sε
∞
}
, определенную равенством
k
1
) ∈ M , следует включение
k→∞
) ∈ M. По определению множества M и из (8.23) получаем
τk= τε.
неравенства
ζ0 v∗(u)(t0,x0,τε,sε) Γ∗(u)(t0,x0) −ε.
γ
0
Из того, что выбор ε был произволен, заключаем, что справедливо неравенство Γ
∗(t0,x0
) γ0. Таким образом, функция (t, x) → Γ∗(u)(t, x) полуне-
прерывна снизу.
Аналогичным образом можно проверить, что функция (t, x) →
∗
→ Γ
(u)(t, x) полунепрерывна сверху. При этом используется, что u локаль-
но ограничена и полунепрерывна сверху. Эти свойства могут быть записаны
следующим образом:
Γ
(LB ∩ LSC) ⊂ LB ∩LSC,
∗
∗
Γ
(LB ∩ USC) ⊂ LB ∩USC. (8.26)
Отметим, что верхние и нижние решения задачи Коши (7.1), (7.2) локально ограничены. Слабая инвариантность надграфика (соответственно,
96 ГЛАВА II
подграфика) полунепрерывной снизу (соответственно, сверху) функции u
эквивалентна неравенству (8.27) (соответственно, неравенству (8.28))
Γ
(u)(t0,x0) u(t0,x0), ∀(t0,x0) ∈ (0,θ] × Rn, (8.27)
∗
∗
Γ
(u)(t0,x0) u(t0,x0), ∀(t0,x0) ∈ (0,θ] × Rn. (8.28)
Используя (8.25), получаем следующее утверждение.
8.10. Теорема
Функция u ∈ LB ∩LSC является верхним решением задачи Коши (7.1),
(7.2) тогда и только тогда, когда эта функция удовлетворяет условию (7.2)
и является неподвижной точкой оператора Γ
. Точно так же функция
∗
u ∈ LB ∩USC является нижним решением задачи Коши (7.1), (7.2) тогда
и только тогда, когда эта функция удовлетворяет условию (7.2),иявляет-
ся неподвижной точкой оператора Γ
∗
. Непрерывная функция u является
минимаксным решением задачи Коши (7.1), (7.2) тогда и только тогда,
когда эта функция является решением системы операторных уравнений
Γ
(u)=u, Γ∗(u)=u
∗
и удовлетворяет условию (7.2).
Теперь вернемся к теореме 8.2. Приведем еще одно доказательство
теоремы 8.2, в котором мы будем использовать операторы, введенные в
пункте 8.9.
Рассмотрим последовательность
где функция u
:= Γ∗(u+),u
u
1
определена соотношением (8.11).
+
:= Γ∗(uk),k=1,2,..., (8.29)
k+1
8.11. Утверждение
Последовательность {u
на (0,θ] ×R
n
к нижнему решению u∗задачи (7.1), (7.2). Функция u∗, опре-
∞
}
вида (8.29) сходится поточечно
k
1
деленная соотношением
(t, x):=sup
u
∗
inf{uk(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
ε>0
(t, x),k=1, 2,...}, (8.30)
ε
является верхним минимаксным решением этой задачи (напомним, что
множество B
(t, x) определено соотношениями (8.13)).
ε
8. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 97
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем следующий факт. Пусть vω∈ S
для любого ω ∈ Ω,гдеΩ — некоторое непустое множество. Тогда нижняя
огибающая v, определяемая соотношениями
принадлежит S
v(t, x):= inf
u
. Напомним, что множество Suбыло определено в пунк-
vω(t, x), (t, x) ∈ (0,θ] ×Rn, (8.31)
ω∈Ω
те 8.3.
Из v
(θ, x)=σ(x) следует v(θ, x)=σ(x). Из утверждения 8.4 получа-
ω
ем, что функция v локально ограничена. Остается показать, что функция v
удовлетворяет условию (8.5).
Пусть (t
0,x0,z0
определения функции v следует, что существует такой элемент ω
v
(t0,x0) <z0. Из того, что v
ω
∗
и s ∈ R
n
имеет место следующее неравенство
inf{[v
ω
Имеяввиду,чтоv v
вию (8.5). Таким образом, получаем, что v ∈ S
Пусть Ω:=(0,θ] × R
соответствующая функция v
задана соотношениями (8.9). Согласно утверждению 8.5, имеем v
) — такая точка из (0,θ]×Rn×R,чтоz0>v(t0,x0).Из
∈ Su, выводим, что для любых τ ∈ [t0,θ]
ω
∗
(τ,x(τ)) −z(τ)]: (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s)} 0.
∗
, заключаем, что функция v удовлетворяет усло-
ω
∗
n
, и пусть для любой точки ω =(t∗,s∗) ∈ Ω
определена равенством vω= u, где функция u
ω
u
.
∈ Ω,что
∗
∈ Su.
ω
Из определений (8.24) и (8.9) вытекает, что
∗
Γ
(u)= inf
Поэтому получаем следующий результат: если u ∈ S
ω∈Ω
vω.
u
,тоΓ∗(u) ∈ Su.
Это свойство может быть выражено соотношением
∗(Su
) ⊂ Su. (8.32)
Γ
u
Теперь рассмотрим последовательность вида (8.29). Напомним, что,
согласно утверждению 8.6, функция u
но проверить, что функция u
является полунепрерывной сверху (доказа-
+
принадлежит множеству Su.Мож-
+
тельство этого факта проводится совершенно так же, как было проведено
доказательство соотношений (8.26)). Из u
ния (8.26) и (8.32), так что справедливо u
Для любой функции u
утверждение 8.4 доставляет оценку uk u−.
k
∈ Su∩USC следуют соотноше-
+
∈ Su∩USC для всех k =1, 2,...
k
Таким образом, согласно (8.25), последовательность (8.29) удовлетворяет
следующим соотношениям
u
∈ Su∩USC, uk u−,u
k
uk. (8.33)
k+1
98 ГЛАВА II
Поэтому существует поточечный предел
∗
(t, x) := lim
u
В силу того, что u
∗
полунепрерывных сверху функций u
uk(t, x)(t, x) ∈ (0,θ] × Rn. (8.34)
k→∞
является нижней огибающей последовательности
, функция u∗также полунепрерывна
k
сверху. Отметим также, что множества hypo u
ниям
hypo u
Из вышесказанного следует, что lim
⊂ hypo uk, hypo u∗=
k+1
k→∞
lim
Γ∗(uk)=Γ∗(u∗). (8.36)
k→∞
Γ∗(uk)=u∗. Покажем, что
удовлетворяют соотноше-
k
∞
hypo uk. (8.35)
k=1
Полагаем ζ
τ ∈ [t
,θ] и s ∈ Rn. Согласно определению Γ∗и полунепрерывности свер-
0
, существует такая траектория (xk(·),zk(·)) ∈ Sol (t0,x0,ζ
ху u
k
(τ,x
(τ),zk(τ)) ∈ hypo uk. Последовательность {(xk(·),zk(·))}
k
жит подпоследовательность, которая сходится к пределу (x
∈ Sol (t
0,x0
:= uk(t0,x0), ζ∗:= u∗(t0,x0). Выберем произвольно
k
,s),что
k+1
∞
содер-
1
∗
(·),z∗(·)) ∈
,ζ∗,s). Из (8.35) следует, что (τ, x∗(τ),z∗(τ)) ∈ hypo u∗.Та-
ким образом, согласно определениям (8.21) и (8.24), мы получаем
∗(u∗
ψ
)(t0,x0,ζ∗,τ,s) 0, ∀τ ∈ [t0,θ], ∀ s ∈ Rn,
∗(u∗
) ζ∗= u∗(t0,x0).
Γ
∗(u∗
Принимая во внимание (8.25), видим, что Γ
∗
u
∈ LB ∩USC. Таким образом, из теоремы 8.10 вытекает, что u∗— ниж-
)=u∗.Крометого,
нее минимаксное решение задачи (7.1), (7.2).
С другой стороны, из (8.33) и теоремы 8.7 следует, что функция u
определенная соотношениями (8.30), является верхним минимаксным решением задачи (7.1), (7.2). Утверждение 8.11 доказано.
Из (8.30), (8.34) следует, что u
u∗,т.е.изутверждения8.11выте-
∗
кает теорема 8.2. Кроме того, используя теорему 7.1, получаем равенство
= u∗. Таким образом, последовательность вида (8.29) сходится к мини-
u
∗
максному решению задачи (7.1), (7.2) сверху. Точно так же можно показать,
что последовательность вида
(1)
:= Γ∗(u−),u
u
(k+1)
:= Γ∗(u
(k)
),k=1, 2,...
сходится к минимаксному решению снизу.
,
∗
9. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРИ ОСЛАБЛЕННЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 99
9. Единственность при ослабленных предположениях
Теоремы существования и единственности обобщенных решений содержат наборы предположений, касающихся гамильтониана и терминальной (начальной) функции. Ослабляя некоторых из этих условий и усиливая
другие, можно получать различные варианты таких теорем. Например, можно доказать теорему о единственности минимаксного решения, в которой
требования к гамильтониану ослаблены, а условия для краевой функции
усилены, и в которой введены некоторые дополнительные предположения о
верхних и нижних решениях. В данном параграфе сформулированы утверждения такого типа, взятые из статьи [55] М. Дж. Крэндалла, Х. Ишии и
П. Л. Лионса. Доказательство, предложенное ниже и основанное на методе функций Ляпунова, проведено тем же способом, как и доказательство
теоремы 7.3. Заметим, что при построении функций Ляпунова здесь используются некоторые конструкции работы [55].
9.1. Определение
Полунепрерывная снизу (сверху) функция u : G → R называется верхним (нижним) решением уравнения
∂u
+ H(t, x, u, D
∂t
если для любых чисел Λ > 0 и ε>0 существует число ρ(Λ,ε) > 0 такое,
что в области
u)=0, (t, x) ∈ G := (0,θ) ×Rn, (9.1)
x
D
:= {(t,x, z) ∈ (0,θ) ×Rn× R : x < Λ, |z| < Λ}
Λ
надграфик (подграфик) функции u слабо инвариантен относительно дифференциального включения
(˙x, ˙z) ∈ E(t,x, z, s, ε,ρ(Λ,ε)) (9.2)
для любого s ∈B
E(t, x, z,s, ε, ρ(Λ,ε)) := {(f,g) ∈ R
.Здесь
Λ
n
× R :
f ρ(Λ,ε), |g −f, s−H(t, x, z, s)| ε}. (9.3)
В данном параграфе не предполагается, что гамильтониан удовлетворяет условию Липшица по переменной s. Поэтому прежнее определение
не может применяться непосредственно, и мы используем данное только
что определение 9.1. Напомним, что похожее определение было введено в
пункте 4.8 для уравнения (2.1).
100 ГЛАВА II
Можно доказать, что верхнее (нижнее) решение в смысле определения 9.1 удовлетворяет условиям (U4) и (U5) (условиям (L4) и (L5) из
пункта 6.3). Поэтому верхнее (нижнее) решение в смысле определения 9.1
является также верхним (нижним) решением в вязкостном смысле. Обратное утверждение имеет место для случая, когда гамильтониан H (t, x, z, s)
непрерывен, и выполняется следующее условие: для любого Λ > 0 существует ν(Λ) > такое, что оценка
|H(t, x, z, s) − H(t,x, z, p)| ν(Λ)(1 + s − p) (9.4)
справедлива при всех p ∈ R
n
, s ∈ BΛ, (t, x, z) ∈ DΛ. Таким образом, если
названное условие выполняется, и полунепрерывная снизу (сверху) функция u удовлетворяет условию (U4) или (U5) (условию (L4) или (L5)), то эта
функция является верхним (нижним) решением в смысле определения 9.1.
Этот результат следует из теоремы 4.9.
Из свойств локальной инвариантности надграфика верхнего решения
и подграфика нижнего решения можно получить следующее утверждение.
Пусть
[0,θ] ×B
[0,θ] ×B
× BΛ (t, x,y) → p(t, x, y) ∈ BΛ,
Λ
× BΛ (t, x,y) → q(t, x, y) ∈ B
Λ
Λ
— непрерывные функции. Рассмотрим систему дифференциальных включений
(˙x,˙ξ) ∈ E(t, x, ξ, p(t, x,y),ε,ρ(Λ,ε)),
(˙y, ˙η) ∈ E(t, y,η, q(t, x, y),ε,ρ(Λ,ε)),
которая эквивалентна системе дифференциальных неравенств
˙x ρ(Λ,ε), |˙ξ −˙x, p(t, x, y) + H(t, x, ξ, p(t, x,y))| ε,
˙y ρ(Λ,ε), |˙η −˙y, q(t, x,y) + H(t, y, η, q(t, x, y))| ε.
Пусть u (соответственно,
v) — верхнее (соответственно, нижнее) решение
(9.5)
уравнения (9.1) в смысле определения 9.1. Предположим, что
(t
0,x0,ξ0
(t
0,y0,η0
) ∈ DΛ,ξ0= u(t0,x0),
) ∈ DΛ,η0= v(t0,x0).
Тогда существует решение системы (9.5), которое удовлетворяет начальному условию
),ξ(t0)) = (x0,ξ0), (y(t0),η(t0)) = (y0,η0)
(x(t
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]