Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ 61
Так как либо субдифференциал D−u(x), либо супердифференци-
+
ал D
u(x) кусочно-гладкой функции u не пуст, то его проекция на подпро-
странство E
градиентом функции u
Д
Пусть p
но определению подпространства E
состоит из единственного элемента Dui(x), который является
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
∈ E, s∈ E, f∈ Li(x) и p+ s∈ D−u(x). Соглас-
вточкеx.
i
, мы имеем p+ s,f = p,f.
Из дифференцируемости по направлению функции u и дифференцируемости u
на Miвытекает, что
i
du(x; f
)=Dui(x),f, ∀f∈ Li(x).
Более того, в определении субдифференциала содержится, что
p
+ s,f−du(x;f) 0, ∀f ∈ X = Rn.
Таким образом,
,f
p
−du(x; f)=p,f−Dui(x),f 0 ∀f∈ Li(x).
Из последнего соотношения вытекает требуемое равенство p
= Dui(x).
5.4. Утверждение
−
u(x) = ∅ и D+u(x) = ∅,тогдаD−u(x)=D+u(x)={s},
— некоторый элемент пространства X∗.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
∗
∈ D−u(x), s∗∈ D+u(x). Из определений субдифференциала
где s
Если D
Д
Пусть s
и супердифференциала следует, что
sup
[s∗,f−du(x;f)] = 0, inf
f∈X
Таким образом, s
∗
s
,f s∗,f для всех f ∈ X . Из последнего неравенства вытекает
равенство s
∗
∗
,f du(x; f ) s∗,f для всех f ∈ X .Поэтому
= s∗.
[s∗,f−du(x;f)] = 0.
f∈X
5.5. Обозначения
Пусть, как и прежде, x ∈ M
утверждении 5.3. Полагаем
−
S
:= {s∈ E: E+ s∩ D−u(x) = ∅},
+
S
:= {s∈ E: E+ s∩ D+u(x) = ∅},
−
т. е. S
ала D
и S+— проекции субдифференциала D−u(x) и супердифференци-
+
u(x) на подпространство E.
,имножестваEи Eопределены, как в
i
62 ГЛАВА I
Ниже мы используем следующие обозначения [r]+:= max{r, 0},
−
[r]
:= min{r, 0},гдеr ∈ [−∞, +∞]. Для вещественной функ-
ции A a → r(a) полагаем max
r(a)=−∞, min
a∈A
r(a)=∞,еслиA= ∅.
a∈A
Определим функцию
(x, z, s
Здесь z ∈ R, x ∈ M
многообразию M
размерность многообразия M
= {Du(x)}, E
E
лежащий многообразию M
этом, следуя определению функции F
) → Fi(x, z, s):=
:=max
F (x, z, s+ s)
−
s∈S
, s∈ T
i
вточкеx.
i
∗
(x),аT
i
Заметим, что в случае dim M
), мы имеем E= X∗, D−u(x)=D+u(x)=
= {0}, Fi(x, z, s)=F (x,z, s).
Если размерность M
= {0}, Mi= {ξ}, T
F
(ξ,z, 0) :=max
i
s∈D−u(x)
i
равна нулю, то полагаем E= {0}. В этом случае
i
∗
(ξ)={0},гдеξ — единственный элемент, принад-
i
, 0 — нулевой элемент пространства X∗.При
i
F (ξ, z, s)
+
+min
∗
(x) — это касательное пространство к
i
= n (где символ dim Miобозначает
i
, мы имеем
i
+
F (x, z, s+ s)
+
s∈S
+min
s∈D+u(x)
F (ξ, z, s)
−
. (5.10)
−
.
5.6. Теорема
Пусть u: G → R — кусочно-гладкое минимаксное (и/или вязкостное)
решение уравнения (2.1). Тогда сужение u
образий M
удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению
i
F
(x, ui(x),Dui(x)) = 0. (5.11)
i
функции u на каждое из много-
i
Наоборот, пусть u — кусочно-гладкая функция, такая, что ее сужение
на любое из многообразий M
удовлетворяет уравнению (5.11). Тогда
i
эта функция является минимаксным (и/или вязкостным) решением уравнения (2.1).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть u — кусочно-гладкое решение уравнения (2.1). Предположим,
−
что D
u(x) = ∅, D+u(x)=∅. В этом случае
(x, ui(x),Dui(x)) =max
F
i
F (x, ui(x),Dui(x)+s)
−
s∈S
=max
s∈D−u(x)
+
=
F (x, u(x),s)
+
=0.
Последнее равенство следует из условия (U5) (см. пункт 4.2), которому это
решение u удовлетворяет.
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ 63
Аналогично можно проверить условие (5.11) и для случая
−
D
u(x)=∅,D+u(x) = ∅.
Если D
−
u(x) = ∅ и D+u(x) = ∅, тогда, согласно утверждению 5.4,
получаем
F
(x, ui(x),Dui(x)) = [F (x, u(x),s]++[F(x, u(x),s]−= F(x, u(x),s).
i
Из неравенств (U5) и (L5) (см. пункт 4.2) видно, что F (x,u(x),s
Поэтому условие (5.11) снова справедливо. Наконец, в случае D
+
и D
u(x)=∅ мы имеем
max
F (x, ui(x),Dui(x)+s)=−∞,
−
s∈S
F (x, ui(x),Dui(x)+s)=∞.
min
s∈S
+
Принимая во внимание, что [−∞]
+
=[∞]−=0, мы получаем равен-
)=0.
−
u(x)=∅
ство (5.11). Тем самым доказана необходимость выполнения условия (5.11)
для кусочно-гладкого минимаксного решения уравнения (2.1).
Покажем теперь достаточность условия (5.11). Пусть
−
D
u(x) = ∅,D+u(x)=∅.
Из определения функции F
(x, ui(x),Dui(x)) =max
F
i
Следовательно, F (x, u(x),s) 0 для всех s ∈ D
влетворяет неравенству (U5). Из того, что D
вие (L5) также выполняется.
Если D
−
u(x)=∅, D+u(x) = ∅ или D−u(x)=∅, D+u(x)=∅,то,
и условия (5.11) следуют равенства
i
+
s∈D−u(x)
F (x, u(x),s)
−
u(x),т.e.функцияu удо-
+
u(x)=∅, вытекает, что усло-
=0.
аналогичным образом, получаем, что из равенства (5.11) вытекают условия (U5) и (L5).
Теорема 5.6 доказана.
5.7. Пример
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона– Якоби
∂u
∂t
2
1+
∂u
=0,u(2,x)=
∂x
+
2
x
. (5.12)
2
64 ГЛАВА I
Напомним, что эта задача была рассмотрена в пункте 1.4, чтобы проиллюстрировать классический метод характеристик. Известно, что минимаксное
(и вязкостное) решение этой задачи определяется с помощью формулы Хопфа
u(t, x)=max
xs +(2−t)
s∈R
1+s2−
2
s
2
(5.13)
(проверка формулы Хопфа приведена в пункте 10.2). Заметим, что функция u является кусочно-гладкой в области G =(0, 2) × R в смысле опреде-
ления, приведенного в пункте 5.1. Можно показать, что при этом
M = {M
M
2
1,M2,M3
= {(t =1,x=0)},M3= G \ (M1∪ M2) .
},M1= {(t,x): 0 <t<1,x=0},
Поэтому область G =(0,2) × R разбита здесь на 2-мерное открытое мно-
гообразие M
Функция u непрерывно дифференцируема на M
окрестности многообразия M
, 1-мерное многообразие M1и 0-мерное многообразие M2.
3
u(t, x)=u
функция u имеет вид
1
(t)+max{u2(t, x),u3(t, x)},
1
.Легкополучить,чтов
3
где
2
u
1
(t, x)=−u2(t, x).Ясно,что
u
3
−
D
u(x)={(t −2,s): |s| (2 −t)2− 1},D+u(x)=∅
для (t, x) ∈ M
Функция u
(2 −t)
(t)=
.
1
(t) является сужением функции u на многообразие M
1
+1
,u
(t, x)=x(2 −t)2− 1,
2
2
и является непрерывно дифференцируемой на этом многообразии. Проверим, что u
удовлетворяет соответствующему уравнению вида (5.11). Значе-
1
ние (5.10) для рассматриваемой функции определяется следующим образом
F
(t, s)=s+max{1+(s)2: |s| (2 −t)2− 1} = s+2− t.
1
Требуется, чтобы функция u
(t) удовлетворяла уравнению
1
F
1
∂u
1
t,
∂t
=0.
1
Действительно, это условие здесь выполняется.
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ 65
5.8. Библиографический комментарий к главе I
Классический метод характеристик представлен во многих монографиях и учебниках по уравнениям математической физики и теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [52, 167, 190]).
Как уже было упомянуто выше, истоки предлагаемого подхода к понятию обобщенного решения связаны с теорией позиционных дифференциальных игр. Понятия верхних и нижних решений уравнения Айзекса –
Беллмана, рассматриваемого в теории дифференциальных игр, совпадают с
понятиями так называемых u-стабильных и v-стабильных функций, введенных Н. Н.Красовским и автором настоящей книги в поздних 60-х – ранних
70-х (см., например, [118, 119]). Теория позиционных дифференциальных
игр, которая базируется на этих понятиях, представлена в монографии [122]
(исправленная и дополненная версия этой книги была издана на английском
языке [123]). В главе III приведены основные понятия теории дифференциальных игр и обсуждается их связь с теорией минимаксных решений.
Свойства стабильности могут быть развиты в различных направлениях, в частности, в дифференциальной форме, например, с помощью неравенств для производных по направлению. Эти неравенства были введены
в [192, 203], чтобы определить обобщенное (минимаксное) решение уравнения Айзекса – Беллмана. Среди различных форм определений (включая
использующиеся в теории вязкостных решений), которые базируются на
паре дифференциальных неравенств, эти, по-видимому, были введены первыми.
Как было показано позднее (cм., например, [195]), предложенный подход может быть использован при изучении широкого класса краевых задач и задач Коши для различных типов уравнений в частных производных
первого порядка, т. е. не только для уравнений Айзекса – Беллмана. И при
этом не нужно менять конструктивную основу подхода, следуя которому
минимаксное решение должно быть слабо инвариантным относительно характеристических включений.
Характеристические включения вида (2.5), (2.7) имеют прототипы в
теории дифференциальных игр и были введены в работах [3, 112, 218]
при рассмотрении вопросы так называемой проблемы унификации дифференциальных игр. Эта проблема состоит, по существу, в доказательстве
следующего факта: если совпадают гамильтонианы управляемых систем, то
функции цены дифференциальных игр для этих систем также совпадают.
Позднее этот факт был обнаружен также и в теории обобщенных (минимаксных и вязкостных) решений уравнений Гамильтона– Якоби. Среди работ, развивающих минимаксный подход, упомянем работу [204], в которой
были введены понятия сопряженных производных и показана эквивалентность задач конструирования стабильных мостов и стабильных функций.
66 ГЛАВА I
Отметим также, что конструкции, подобные упомянутым характеристическим включениям, вводились также в других многочисленных работах (см.,
например, [70, 77]), где рассматривались вопросы реконструкции дифференциальных игр, чьи гамильтонианы совпадают с заданной функцией.
Исследования, базирующиеся на результатах негладкого и выпуклого
анализа, теории дифференциальных включений и динамической оптимизации имеют особую значимость для теории минимаксных решений. Эта
техника подробно представлена в монографиях [5, 6, 47, 62, 74, 178], а факты, которые понадобятся ниже, приведены в приложении к данной книге.
Вязкостные решения уравнений в частных производных первого порядка были введены в ранних 80-х М. Дж. Крэндаллом и П. Л. Лионсом
[57, 58]. Отдельные понятия теории вязкостных решений были пересмотрены и упрощены в работе [54]. Теория вязкостных решений имеет продвинутые исследования в области уравнений в частных производных первого
порядка и эллиптических уравнений. В рамках этой теории доказаны теоремы существования и единственности для различных типов уравнений
и краевых задач, изучены некоторые приложения к задачам управления и
дифференциальным играм. Обзор результатов теории вязкостных решений
можно найти в [56].
Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладких решений
уравнений Айзекса–Беллмана были получены в форме неравенств для производных по направлению в работе [203]. Отдельные результаты для кусочно-гладких решений были получены и в теории вязкостных решений,
например в статье [58], где рассматривается склейка двух функций, которая
является вязкостным решением. Заметим также, что в теории оптимального
управления и в дифференциальных играх большое внимание уделяется исследованиям сингулярных множеств, в точках которых гладкие куски функции цены склеиваются между собой (см., например, монографию Р. Айзекса
[92], а также работы [29, 31, 148, 163, 184]).
ГЛАВА II
Задачи Коши для уравнений
Гамильтона–Якоби
6. Минимаксные решения уравнений Гамильтона–Якоби
В рамках предложенного подхода, существование и единственность
минимаксного решения могут быть доказаны для широкого класса граничных задач и задач Коши. Задачи Коши для уравнений Гамильтона–Якоби
рассматриваются в данной главе. Доказательство соответствующих теорем
существования и единственности базируется на свойстве слабой инвариантности минимаксного решения относительно характеристических включений. Такие включения вводятся в данном параграфе. Ниже мы формулируем также эквивалентные определения минимаксных решений для уравнений
Гамильтона– Якоби. Теоремы единственности и существования доказаны в
последующих параграфах. Как видно из доказательств, эти теоремы фактически содержат также критерии устойчивости минимаксных решений относительно малых возмущений гамильтониана и краевой функции.
6.1. Уравнения Гамильтона– Якоби
Напомним, что уравнение Гамильтона– Якоби — это уравнение вида
∂u
+ H(t, x, u, D
∂t
Предположим, что функция (t, x, z, s) → H(t, x, z, s) (которая называется гамильтонианом) непрерывна на (0,θ) × R
условию Липшица по переменной p
|H(t, x, z, p) − H(t, x, z, q)| ρ(t, x, z) |p −q | (6.2)
n
для всех (p, q) ∈ R
рывной на G × R. Предполагается также, что функция z → H(t, x, z, s) не
возрастает, то есть
z.
для z
× Rn. Здесь функция ρ(t, x, z) предполагается непре-
u)=0, (t, x) ∈ G := (0,θ) ×Rn. (6.1)
x
n
× R × Rnи удовлетворяет
H(t, x, z
,s) H(t,x, z,s) (6.3)
68 ГЛАВА II
Сформулированные условия позволяют упростить определения минимаксных решений и доказательства теорем существования и единственности в задачах Коши для уравнений Гамильтона–Якоби. Эти условия можно
ослабить таким же образом, как это сделано в пункте 4.7.
6.2. Характеристические включения для уравнений
Гамильтона – Якоби
Анализ минимаксных решений в задачах Коши для уравнений Гамильтона – Якоби основан на свойстве слабой инвариантности графиков этих решений относительно характеристических дифференциальных включений.
Как легко заметить, уравнение (6.1) — это специальный случай уравнения (2.1). Поэтому здесь может использоваться общее определение 4.4.
В то же время, принимая во внимание, что производная ∂u/∂t является
аддитивным членом в уравнении (6.1), удобно использовать характеристические включения, в которых переменная t удовлетворяет уравнению˙t =1.
Чтобы подтвердить это замечание, используем конструкции пункта 3.5.
Уравнение Гамильтона – Якоби (6.1) имеет вид (3.8). В данном случае мы
имеем m =1, h
=1, ξ = t. Поэтому уравнение˙ξ = h(ξ,x),входящеев
1
соотношения (3.10), превращается в уравнение˙t =1. Для многозначного
отображения
(0,θ) ×R
n
× R ×Ψ (t, x,z, ψ) → E(t, x,z, ψ) ⊂ Rn× R
свойства (j) – (jv) пункта 3.5 формулируются следующим образом:
n
(j) для всех (t, x) ∈ G =(0,θ) ×R
выпуклоикомпактновR
, z ∈ R, ψ ∈ Ψ множество E(t, x, z, ψ)
n
× R;
(jj) для любого ψ ∈ Ψ многозначное отображение (t, x, z) → E(t, x, z, ψ)
полунепрерывно сверху;
+
(jjj
) для любых ψ ∈ Ψ, (t, x) ∈ G, z zи (f, g) ∈ E(t, x,z,ψ)
существует вектор (f,g
−
(jjj
) для любых ψ ∈ Ψ, (t, x) ∈ G, z zи (f,g) ∈ E(t, x,z,ψ),
существует вектор (f,g
+
(jv
) для любых (t, x) ∈ G, z ∈ R и s ∈ Rnнайдется значение парамет-
0
ра ψ
∈ Ψ,такое,что
H(t, x, z, s)=min{f, s−g :(f,g) ∈ E(t, x, z, ψ
) ∈E(t, x,z,ψ),такой,чтоg g;
) ∈ E(t, x,z,ψ),такой,чтоg g;
0
)}
min{f, s−g :(f,g) ∈ E(t, x, z, ψ)}
при всех ψ ∈ Ψ;
6. МИНИМАКСНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 69
(jv−) для любых (t, x) ∈ G, z ∈ R и s ∈ Rnнайдется значение парамет-
ра ψ
∈ Ψ,такое,что
0
Ht,x,z,s)=max{f,s−g:(f,g) ∈ E(t, x, z, ψ
)}
0
max{f, s−g :(f,g) ∈ E(t, x, z, ψ)}
для всех ψ ∈ Ψ.
Отметим, что многозначное отображение вида
n
E(t, x, z,s):={(f, g) ∈ R
обладает всеми вышеперечисленными свойствами. Здесь s = ψ ∈ Ψ=R
× R : f ρ(t, x,z),g= f, s−H(t, x,z, s)}
(6.4)
n
Опуская уравнение˙t =1, мы получаем следующее характеристическое
включение
(˙x, ˙z) ∈ E(t,x, z, ψ). (6.5)
Минимаксное решение уравнения (6.1) может быть определено как
непрерывная функция G (t, x) → u(t, x) ∈ R, такая, что для любого ψ ∈ Ψ ее график слабо инвариантен относительно дифференциального
включения (6.5), для которого многозначное отображение E удовлетворяет
всем условиям (j) –(jv).
Аналогично, верхнее (нижнее) решение уравнения (6.1) определяется
как полунепрерывная снизу (сверху) функция G (t,x) → u(t, x) ∈ R,
такая, что для любого ψ ∈ Ψ ее надграфик (подграфик) является слабо
инвариантным относительно дифференциального включения (6.5), для которого многозначное отображение E удовлетворяет условиям (j), (jj), (jjj
+
(jv
) (условиям (j), (jj), (jjj−), (jv−)).
+
Для нестационарного дифференциального включения (6.5) слабая инвариантность графика gr u := {(t,x, z): (t, x) ∈ Γ, z = u(t, x)} влечет
следующее свойство: для всех (t
ло τ ∈ (t
,θ) и траектория (x(·),z(·)): [t0,τ] → Rn×R дифференциального
0
0,x0,z0
включения (6.5), которая стартует из начального положения (x
влетворяет равенству z(t)=u(t, x(t)) при всех t ∈ [t
) ∈ gr u и ψ ∈ Ψ существуют чис-
) иудо-
0,z0
0
,τ].
Слабая инвариантность надграфика и подграфика функции u определяются подобным образом.
.
),
6.3. Критерии для минимаксных решений для уравнений
Гамильтона – Якоби
Как и в случае уравнений общего вида (2.1), верхние, нижние и минимаксные решения уравнений Гамильтона – Якоби могут быть определены в
нескольких эквивалентных формах. Приведем эти определения.
70 ГЛАВА II
Сначала мы рассмотрим условия (U1) – (U5), которые продуцируют
определения верхнего решения. Функция (0,θ) ×R
n
(t, x) → u(t, x) ∈ R
предполагается, по умолчанию, полунепрерывной снизу.
О
ПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРХНЕГО РЕШЕНИЯ.
(U1) Для любых (t
ствуют τ ∈ (t
которые удовлетворяют равенству (x(t
) ∈ G =(0,θ) × Rn, z0 u(t0,x0), s ∈ Rnсуще-
0,x0
,θ) и липшицевые функции (x(·),z(·)): [t0,τ] → Rn×R,
0
),z(t0)) = (x0,z0), уравнению
0
˙z(t)=˙x(t),s−H (t, x(t),z(t),s) (6.6)
при почти всех t ∈ [t
всех t ∈ [t
0
,τ].
,τ] и неравенству z(t) u(t, x(t)) при
0
(U2) При любом выборе элемента ψ ∈ Ψ надграфик функции u слабо
инвариантен относительно дифференциального включения
(˙x(t), ˙z(t)) ∈ E
Здесь и в условии (U3) символом E
ное отображение, которое удовлетворяет условиям (j), (jj), (jjj
+
(t, x(t),z(t),ψ). (6.7)
+
обозначается любое многознач-
+
), (jv+),
сформулированным в пункте 6.2.
(U3) inf{d
−
u(t, x;1,f)−g:(f,g) ∈E+(t, x, u(x),ψ)} 0,длявсех(t, x) ∈ G
и ψ ∈ Ψ.
(U4) a + H(t, x,u(x),s) 0,длявсех(t, x) ∈ G и (a, s) ∈ D
(U5) inf{d
−
u(t, x;1,f) −s, f + H(t, x, u(x),s): f ∈ Rn} 0,для
всех (t, x) ∈ G и s ∈ R
Поясним понятия d
n
.
−
u(t, x;1,f) и D−u(t, x), использованные
−
u(t, x).
в (U3) – (U5). Согласно общему определению нижней полупроизводной по
направлению, мы имеем
−
d
u(t, x; α, f ) := lim
ε↓0
(δ,α,f)∈Δε(t,x,α,f )
Здесь (t, x) ∈ G, (α, f ) ∈ R ×R
(t, x, α, f ):={(δ, α,f) ∈ (0,ε) ×R ×Rn:
Δ
ε
inf
n
,
|α −α
| + f −f ε, t + αδ ∈ (0,θ)}. (6.9)
u(t + δα
,x+ δf) − u(t, x)
δ
.
(6.8)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]