Обобщенная линейная модель множественной регрессии с гетероскедастичными остатками. Методические указания к лабораторному практикуму и самостоятельной

УДК 33:517/519

ББК 65 в6

Р 39

Рецензент кандидат экономических наук, доцент К.И. Майстренко

Реннер А.Г., Стебунова О.И., Васянина В.И., Жемчужникова Ю.А.

Р39 Обобщенная линейная модель множественной регрессии с

гетероскедастичными остатками: методические указания к лабораторному практикуму и самостоятельной работе студентов/ А.Г. Реннер, О.И. Стебунова, В.И. Васянина, Ю.А. Жемчужникова.

– Оренбург: ГОУ ОГУ, 2005. – 23 с.

Методические указания содержат описание работы по исследованию обобщенной линейной модели множественной регрессии с гетероскедастичными остатками, варианты индивидуальных заданий для проведения лабораторной работы.

Методические указания предназначены студентам специальностей 061800, 061700 и других экономических специальностей, изучающих дисциплину «Эконометрика».

ББК 65 в6

Реннер А.Г., 2005Стебунова О.И., 2005

Васянина В.И., 2005Жемчужникова Ю.А., 2005ГОУ ОГУ, 2005

3

Введение

Предположение классической линейной модели множественной регрессии, касающееся гомоскедастичности (постоянство дисперсий регрессионных остатков) в эконометрических моделях зачастую оказывается нарушенным. Гетероскедастичность (непостоянство дисперсий регрессионных остатков) часто возникает в случае «неоднородности» объектов наблюдения. Например, если исследуется зависимость прибыли предприятий от размера основных фондов, то естественно для больших предприятий следует ожидать более высокие колебания прибыли. Такая ситуация вполне естественна для пространственных выборок.

Линейные модели множественной регрессии с гетероскедастичными остатками классифицируются, как обобщенные линейные модели множественной регрессии (ОЛММР). МНК-оценки такой модели несмещены, состоятельны, но неэффективны.

ОМНК, решающий проблему неэффективных оценок, требует знания оценки ковариационной матрицы вектора регрессионных остатков. В лабораторной работе предложены к рассмотрению тесты на гетероскедастичность и связанные с ними оценки ковариационной матрицы.

Другой, более распространенный подход, рекомендует пользоваться МНК-оценками коэффициентов регрессии с уточненными стандартными отклонениями в форме Уайта и Невье-Веста.

Цель работы заключается в выработке навыков исследования регрессионных моделей с гетероскедастичными остатками.

4

1 Описание лабораторной работы №2

Лабораторная работа №2 включает следующие этапы:

-постановку задачи;

-ознакомление с порядком выполнения работы в пакетах Statistica, Eviews, Excel;

-выполнение расчетов индивидуальных задач на компьютере и анализ результатов;

-подготовку письменного отчета с выводами по работе;

-защиту лабораторной работы.

2 Постановка задачи

По данным Приложения А:

1) построить МНК-оценки коэффициентов линейной модели множественной регрессии;

2)исследовать регрессионные остатки на гетероскедастичность, используя тесты Спирмена, Голдфелда-Квандта, Глейзера;

3)если возможно построить ОМНК-оценки параметров регрессионной

модели;

4)исследовать линейную модели множественной регрессии с помощью несмещенных оценок ковариационной матрицы вектора оценок коэффициентов

вформе Уайта и Невье-Веста.

3 Порядок выполнения работы

Рассмотрим процедуру исследования линейной модели множественной регрессии на наличие или отсутствие гетероскедастичности на основе информации о расходах на образование (y), валовом внутреннем продукте (х1) и численности населения (х2).

Окно с частью данных для анализа представлено на рисунке 1.

5

Рисунок 1- Исходные данные для анализа

Для оценки параметров регрессионной модели воспользуемся методом пошаговой регрессии (методом исключения переменных). Процедура построения уравнения множественной регрессии более подробно рассмотрена в лабораторной работе №1.

Результаты оценивания представлены на рисунке 2.

Рисунок 2 - Результаты оценивания параметров регрессионной модели

Далее можно приступить к исследованию остатков регрессионной модели. Остатки исследуются в специальном окне Residuals analysis – Анализ остатков. Для этого необходимо щелкнуть по кнопке

Residuals/assumptions/prediction – Остатки/распределение/предсказанные в

окне – Multiple Regression. Формально проверим тест на нормальный характер распределения регрессионных остатков, для этого в меню системы Statistica выберем пункт Distribution Fitting. Результаты исследования регрессионных остатков представлены на рисунке 3.

6

Рисунок 3 - Гистограмма распределения регрессионных остатков

Результаты формальной проверки гипотезы о нормальном характере распределения регрессионных остатков позволяют ее не отвергнуть, и есть смыл проводить дальнейший анализ построенного уравнения множественной регрессии.

Оценка уравнения регрессии выглядит следующим образом:

Как видно из отчета, коэффициент при переменной Х1 значимо отличается от нуля, т.к. нулевая гипотеза (Н0: β 1=0 при альтернативной Н1: β 1≠ 0) отклонена. Регрессионная модель адекватна экспериментальным данным.

Поскольку построили значимую регрессионную модель, то следующим этапом является исследование регрессионных остатков на наличие/отсутствие гетероскедастичности.

Наличие гетероскедастичности можно предположить по графику зависимости остатков / еi / от упорядоченных по возрастанию значений той объясняющей переменной, вариацией которой возможно порождается гетероскедастичность. Для построения графика можно воспользоваться MS Excel. Для этого из ППП «Statistica» в MS Excel скопируем упорядоченные столбцы регрессионных остатков и значений объясняющей переменной. После чего выделяем указанные столбцы и в строке меню выбираем пункт «Мастер диаграмм». После выполнения запросов данного пункта получаем следующий график (рисунок 4).

7

На графике видно, что модули регрессионных остатков имеют тенденцию к росту при увеличении значений объясняющей переменной. Следовательно, можно заподозрить гетероскедастичность по переменной Х1.

Кроме визуального анализа, существуют различные критерии (тесты) с помощью которых выявляется гетероскедастичность /1-3/.

1 Тест ранговой корреляции Спирмена

Для определения коэффициента ранговой корреляции Спирмена в меню системы открыть Statistics - Критерии и выбрать в появившемся меню строку

Nonparametrics – Непараметрические критерии. На экране откроется окно.

Рисунок 5 – Выбор пунктов меню для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Выбираем пункт Correlaitions (Spearmam, …) – Корреляция

(Спирмен, …), далее в открывшемся окне выбираем переменные между которыми необходимо рассчитать данный коэффициент (в нашем случае между регрессионными остатками и значениями объясняющей переменной).

8

Рисунок 6 – Выбор пунктов для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена

После нажатия на кнопку Spearman rank R программа произведет расчеты (рисунок 7).

Рисунок 7 – Результаты оценивания теста ранговой корреляции Спирмена

Во втором столбце данного окна определяется оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена, в третьем – значении статистики с помощью

данном случае нулевая гипотеза отвергается, то есть можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности.

2 Тест Голдфелда-Квандта.

Для реализации проверки на гетероскедастичность с помощью теста Голдфелда-Квандта сначала необходимо упорядочить данные по возрастанию независимой переменной (ВНП); величину, определяющую число

исключенных средних наблюдений ( d ≈ 14 n ), возьмем равной 10.

Тогда сначала необходимо построить оценки уравнений регрессии для первых 12 стран, а затем для 12 последних.

Для этого в окне Multiple Regression сначала укажем в качестве независимой переменной – Х, а в качестве зависимой – Y. При задании параметров в данном окне следует осуществить отбор того подмножества наблюдений, которое будет участвовать в расчетах, используя для этого кнопку

9

Select Cases. После нажатия этой кнопки откроется диалоговое окно Cases Selection Conditions, в котором следует задавать условия отбора наблюдений.

При построении оценки уравнения регрессии по первым 12 наблюдениям в строке этого окна include if (включать если) укажем неравенство v0<=12, т.е. с 1 по 12 наблюдение (рисунок 8).

Рисунок 8 – Выбор подмножества наблюдений для оценки уравнения регрессии

При оценивании коэффициентов модели по 12 последним (с 13 по 24 наблюдение) укажем неравенство v0>=13. Символы v0 в логических операциях определяют номер строки. После задания всех необходимых параметров, произведем вычисления.

В нижней части окна результатов регрессионного анализа нажмем на кнопку ANOVA (рисунок 9).

Рисунок 9 – Результаты оценивания для подмножества, состоящего из 12 первых наблюдений

10