Обобщенный метод конечных разностей и метод последовательных аппроксимаций в задачах сопротивления материалов и строительной механики. Учебно-методиче

2

УДК 624.04 (075.8) ББК 38.112я73

Рецензент – зав. кафедрой конструкций и сооружений ТвГТУ, кандидат технических наук, доцент Баркая Т.Р.

Малинин Г.В., Алексеев А.А., Гультяев В.И. Обобщенный метод конечных разностей и метод последовательных аппроксимаций в задачах сопротивления материалов и строительной механики: учебнометодическое пособие. Тверь: Тверской государственный технический университет, 2025. 48 с.

Представлены основы численного метода последовательных аппроксимаций. Приведены краткие сведения из теории, дан вывод обобщенных уравнений метода конечных разностей и разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Рассмотрены примеры решений задач, которые охватывают вопросы курсов сопротивления материалов и строительной механики для плоских прямолинейных стержневых конструкций, подвергающихся действию статических нагрузок.

Предназначено для студентов и аспирантов технических вузов, интересующихся численными методами решения задач механики, а также для преподавателей и специалистов, занимающихся расчетами и проектированием конструкций и сооружений.

Обсуждены на заседании кафедры «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности» и рекомендовано к изданию (протокол № 2 от 24 декабря 2024 г.).

©Тверской государственный технический университет, 2025

©Малинин Г.В., Алексеев А.А., Гультяев В.И., 2025

3

Введение

В данном учебно-методическом пособии представлены основы численного метода последовательных аппроксимаций (МПА) [1], разработанного на кафедре строительной механики НИУ МГСУ.

Разработанная методика позволяет с единых позиций строить алгоритмы расчета всех конструкций: балок, арок, рам, ферм, плит постоянной и кусочно-переменной жесткости, изгибаемых и сжатоизогнутых, на упругом основании и без основания, ребристых и ортотропных, средней толщины, а также балок-стенок и оболочек (призматических, пологих, подъемистых) на действие статических, динамических нагрузок и устойчивость. В представленном учебнометодическом пособие рассматриваются только плоские прямолинейные стержневые конструкции, подвергающиеся действию статических нагрузок.

Благодаря простоте и высокой точности методики многие задачи решаются при малом числе разбиений с применением математических пакетов типа MathCAD без использования программирования. В данном пособии представлен вывод обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР) и разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА). Обобщенные уравнения МКР записываются без привлечения законтурных точек, дельта-функции и без специального сгущения сетки. Они позволяют учитывать конечные разрывы: искомой функции, ее первой производной и правой части исходного дифференциального уравнения. Уравнения МПА, обладая теми же свойствами, имеют меньшую погрешность при решении задач на одних и тех же сетках при прочих равных условиях. В связи с этим, представлены решения конкретных задач только МПА. Однако структура разностных уравнений МПА оказывается сложнее по сравнению с обобщенными уравнениями МКР.

Разностные уравнения МПА используются при проектировании реальных конструкций, а также для проверки отдельных их частей, выполненных по общим программам метода конечных элементов (МКЭ). МПА по сравнению с МКЭ оказывается проще и дает результаты высокой

дифференциальному уравнению (1.1), приближенно заменяем выражением (1.2). Приближенная замена одного математического объекта другим – это и есть аппроксимация. Численное исследование точности и сходимости обычно сводится к решению задачи на последовательности 2-х или 3-х

Использование в отличие от традиционных подходов, позволит

простым путем, не прибегая к обобщенным функциям, учесть разрыв первой производной в решении.

Обозначим разрывы первого рода в расчетных точках, введя обозначения:

6

Сравнивая (1.6) и (1.7), видим что (1.7) можно записать по аналогии с

Аналогично можно записать

i i i ; pi pi pi .

Сучетом введенных обозначений уравнение (1.8) принимает вид:

Уравнение (1.10) является обобщенным уравнением МКР, поскольку оно учитывает разрывы i , i , p , а при их отсутствии из (1.10) как частный случай следует известное уравнение МКР на равномерной сетке:

i 1 2 i i 1 h2 pi.

2. Применение обобщенного уравнения МКР расчету балок на поперечный изгиб

Дифференциальное уравнение изгиба балки переменного сечения имеет вид:

нагрузка, распределенная по произвольному закону. Изгибающий момент связан с прогибом следующим соотношением:

Таким образом, дифференциальное уравнение четвертого порядка (2.1) можно заменить системой двух дифференциальных уравнений второго порядка (2.2) и (2.3).

Для дальнейшего изложения перейдем к безразмерным величинам, что позволит получить в общем виде результаты для данного класса задач.

интенсивность внешней нагрузки и величина жесткости в какой-либо фиксированной точке. Определив m (точно или приближенно), тем самым

Поскольку (2.5) отличается от (1.1) только обозначением искомой функции, то для аппроксимации (2.5) обобщенным уравнением МКР достаточно переписать (1.1) с заменой на m:

Для балок постоянной жесткости g 1 тогда уравнение (2.6) примет вид:

8

Для аппроксимации этого уравнения достаточно переписать (2.7) с заменой m, p, соответственно, на w,m :

Отметим, что для решения задач с помощью уравнений (2.7) и (2.8) требуется достаточно мелкая сетка.

3. Разностное уравнение повышенной точности, аппроксимирующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

Вернемся к дифференциальному уравнению (1.1) и аппроксимируем искомую функцию на участке i – i+1 (см. рис. 1.1) кубической

Разобьем рассматриваемый участок на две равные части длиной h2, обозначим временно узловые точки 0, 1, 2 как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Разностная сетка с шагом = h / 2

Выражая, как в пункте 1, коэффициенты a, b, c через 0 , 0 , 1, 2 и дифференцируя (3.1) найдем:

9

Добавляя к (3.2) тождество 0 0 , эти выражения можно записать в матричной форме:

где

0 , 1, 2 T .

Таким образом, по значениям и в точках 0, 1, 2 построена новая кубическая парабола. В книге [1] такой прием назван последовательной аппроксимацией, так как в его основе лежит последовательная замена искомой функции или ее той или иной производной одной и той же аппроксимирующей функцией, в данном случае кубической параболой. Аналогично, заменяя на , а на, получим формулу для вычисления третьих производных и т.д.

Возвращаясь к (3.6), в правую часть этого выражения вместо подставим (3.3), получим:

Уравнение (3.11) может быть использовано, при необходимости, для вычисления 1 . Далее уравнение (3.16) запишем для участка i-1 i; для

этого, как показано в п.1, достаточно изменить индексы и знаки у и p :