Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обобщенный метод конечных разностей и метод последовательных аппроксимаций в задачах сопротивления материалов и строительной механики. Учебно-методиче

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

При расчете статически неопределимых балок в отличие от статически определимых, где m и m вычислялись независимо от w и w , уравнения относительно усилий и перемещений решаются совместно.

Для решения задачи записываем при i = 1 уравнения (4.1) и (4.2); при i = 0 (4.3) и (4.4), учитывая что

	p p1 p1														w0													0; h				1	, g 1,
w1 w1 m2	p p1 p1														w0						w0 w2 p0							0; h				2	, g 1,
																																2
получим
							m							2 m							1 1 0 ,												(a)
										0								1			2
																					2
	2 w1						1			1			m0 10 m1														1	1		1,			(б)
	2 w1				12					2			m0 10 m1															3		1,			(б)
					12					2																12		2
						1										m0						m1 0 ,											(в)
						2				m0						m0						m1 0 ,											(в)
						2
	w1			1					1		m0							1			1		5 m0 m1 .										(г)
	w1								3		m0						12				3		5 m0 m1 .										(г)
			12					2									12			2
Из совместного решения этих четырех уравнений находим точные
значения входящих в них четырех безразмерных неизвестных:
							3										5								11				7
		m0							;			m1							;		m0					; w1					.
		m0				16			;			m1				32			;		m0			16		; w1			768		.
						16										32								16					768

Пример 8. Требуется рассчитать многопролетную неразрезную балку, расчетная схема которой изображена на рисунке 4.5. Балка дважды статически неопределима. Номера ее опор 0, 1, 2, 3 одновременно являются узлами равномерной сетки, имеющий шаг, равный безразмерному пролету h =1.

Рис. 4.4. Расчетная схема неразрезной балки

Записываем для точек 1 и 2 уравнение (4.1), учитывая при этом h =1; m0 m3 0; m1 m2 0; p1 1; p2 2; p1 p2 0.

Верхние левые индексы опускаем:

2m1	m2 1 m1	1	12		2 10 1 2		5	12	1 ;	(а)
						12
	12
m1	2 m2 1 m2			1	12 2 10 2		5	12	2.	(б)
			12			12

Получили два уравнения с четырьмя неизвестными, поскольку в
левые части	уравнений помимо				опорных моментов				m1 и	m2 входят

разрывы поперечных сил, то есть реакции опор m1 и m2 .

Для тех же точек 1 и 2 записываем (4.2) при g = 1 (так как балка постоянной изгибной жесткости) и h = 1. Поскольку w0 w1 w2 w3 0;

w1 w1 w2 w23 0, в левых частях обоих уравнений получим нули;

запишем их для удобства справа:
		1	12 10	m1 m2			1	13 m1 0;	(в)
	12		12 10	m1 m2	12			13 m1 0;	(в)
	12				12
	1		12 m1	10 m2		1		13 m2 0.	(г)
	12		12 m1	10 m2	12			13 m2 0.	(г)
	12				12
Из совместного решения четырех уравнений находим точные
значения:
m1 0,1667, m2				0,0833; m1 1,75; m2 1.

Отрицательные значения m означают, что реакции направлены вверх. Обозначим середину среднего пролета через «С» и найдем mC и wC .

Для этого запишем для этой точки уравнения (4.1) и (4.2) при h = 12 :

0,1667 2mC 0,0833 121 212 2 10 2 2 ,

откуда значение изгибающего момента mC 0,125;

2 wC 121 212 0,1667 10 0,125 0,0833 ,

откуда значение прогиба в точке «С» будет равно wC 0,010417.

Аналогично можно найти значения моментов m и прогибов w в любой интересующей нас точке. Отметим, что в найденном здесь

численном решении нет необходимости в основной системе, построении промежуточных эпюр моментов, вычислении фиктивных реакций и т.д.

Если сравнивать приведенный метод с другими численными методами, то он, по видимому, наряду с методом граничных элементов [2] является единственным, который позволяет получить точное решение, выбирая в качестве шага сетки пролет. Применение метода граничных элементов [2] требует для вывода разрешающих соотношений сложный математический аппарат, включающий функции Грина, обобщенные функций и т.д.

5. Аппроксимация по МПА дифференциального уравнения второго порядка на неравномерной сетке

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение общего

вида:
		(5.1)
	p.	(5.1)

В отношении функций , p и их двух производных справедливы допущения пункта 1 данного пособия. Коэффициенты и будем считать непрерывными и постоянными в пределах участка сетки i 1 i i+1

(рис. 5.1).

Рис. 5.1. Неравномерная сетка

Представим уравнение (5.1) в следующем виде:

p		(5.2)

	.

Рассмотрим случай 1, 0 , общий вывод рассмотрен в [1]. В

данном случае можно получить разностные уравнения высокой точности на неравномерной сетке, не накладывая никаких ограничений на значения

hi и hi+1. Пусть дана балка кусочно-переменной жесткости. Запишем (4.3) поделив на h= hi+1:

pi 1 .

i 1

(5.3)

i 1

Уравнение типа (5.16) для элемента i 1 i длиной hi имеет вид:

i 1

pi 1 5

pi.

(5.4)

Суммируя (5.3) и (5.4) с учетом выражений типа (1.9) и умножая результат на hi, получим разностное уравнение, аппроксимирующее (2.5) на неравномерной сетке:

mi 1 1

mi 1

mi hi mi

i 1

pi 1 5

1 hi 1

pi hi 1 pi 1

hihi 1 pi

(5.5)

i 1

р .

i 1

При hi 1 hi

h из (5.5) следует выражение (4.1).

Умножая на hi , запишем (5.4) с заменой, согласно выражения (2.6),

т, p соответственно на w, gm:

mi 1 5

wi 1

wi hi

gi 1

gi hi

(5.6)

mi 0.

Далее уравнение (1.7) при h hi с заменой согласно (2.5) на m запишем в следующем виде:

mi 1

mi hi

pi.

(5.7)

Умножая (5.7) на

суммируя

с (5.6), исключим

mi ;

результат запишем для случая линейного закона изменения g в пределах рассматриваемого участка hi gi gi 1 gi :

wi 1 wi hi

gi 1

mi 1

gi 1 3 gi

(5.8)

p .

Записывая по аналогии уравнение типа (5.8) для участка i i + 1,

умножая его на

и суммируя с (5.8), с учетом выражений типа (1.9),

i 1

получим разностное уравнение на неравномерной сетке для определения w:

i 1

(5.9)

hihi 1

gi 1 mi

wi hi wi

i 1

hi 1

gi 1

mi 1

gi 1

h h3

i 1

i i 1

p .

i 1

Уравнения (5.5), (5.9) дают точный результат при произвольном соотношении шагов неравномерной сетки.

Пример 9. Рассмотрим неразрезную балку постоянной жесткости (рис. 5.2) с левым пролетом длиной k и правым, длиной 1; р = 0. Эта дважды статически неопределимая балка имеет неравномерную сетку.

Рис. 5.2. Неразрезная балка с неравномерной сеткой

Записываем уравнение (4.3) для точки 0, выбирая в качестве узловых опорные точки и точку приложения сосредоточенной единичной силы в середине второго пролета:

k m0 m0 m1 0 .

(а)

И записываем уравнение (4.4) при h k, w1 0, g 1 для той же точки 0 с учетом краевых условий:

		k3		m0 k2								5m0 m1 0.														(б)
		12							12
Далее записываем (5.5) для точек 1 и 2:
						k						2k m2 k m1 0;
	m0 1					k	m1																			(в)
	m0 1						m1																			(в)
				1 2
				m 2m									1		0.											(г)
				1						2			2
													2
Для тех же точек 1 и 2 неравномерной сетки записывается уравнение
(5.9) с учетом w0 w1		w3		0 :
2k w		k2	2m				4			1			1			m		2	2		m			0;		(д)


	2			0										2k			1		2k			2
		12												2k					2k
	2w				1			1			2m 8m							0.								(е)
	2w										2m 8m							0.								(е)
		2		12			22						1				2
				12			22
Из совместного решения шести уравнений находим точное решение
задачи при произвольном значении длины левого пролета k:
m	3		;	m									3				; m			1				3		.
m	8 4	3k	;	m						4		4			3k		; m			4			8 4		3k	.
0	8 4	3k		1						4		4			3k			2		4			8 4		3k

6. Расчет плоских стрежневых систем

Примем, что нагрузка в рассматриваемых системах узловая или приведенная к узловой, узлы жесткие и что жесткость на изгиб и продольные деформации в пределах одного стержня постоянны.

Из уравнений (4.3) и (4.4) записанных для точек i и j стержня ij (рис. 6.1) при p = 0 и g const gi, j , получим:

	i		j			3
mi 2				2 i j				wi wj ;		(6.1)
mi 2	h			2 i j		h		wi wj ;		(6.1)
		i	j				i j

		i j				3
mj 2					i 2 j				wi wj .	(6.2)
mj 2		h			i 2 j		h	j	wi wj .	(6.2)
		i j					i	j

Здесь	i j	1		безразмерная жесткость стержня ij;	h	безразмерная

		gi			i j
			j

длина; wi, wj нормальные к оси стержня безразмерные перемещения концов i и j; dwds . Принятые положительные направления wi, wj, угла

наклона стержня ij и безразмерных изгибающих моментов mi, mj показаны на рисунке 6.1.

Рис. 6.1.Система координат и положительные направления перемещений и безразмерных изгибающих моментов

При mj = 0 из (7.1) и (7.2) следует:

	i j		1
mi 3		i		wi wj .	(6.3)
mi 3	h	i	h	wi wj .	(6.3)
	i j		i j

Аналогично при mi = 0:

mj 3 hii jj j h1i j wi wj .

Далее wi, wj выразим через безразмерные перемещения концов стержня соответственно в направлении и :

w		v cos	i j	u	sin	i j	,
	i	i	i j	i		i j
		v j cos i j u j sin i					j .
wj		v j cos i j u j sin i					j .

Определяя удлинение оси стержня через u, v, относительную деформацию и пользуясь законом Гука,

	i j через			u и v :
продольную силу N	i j через			u и v :
		fi j
		fi j
Ni j h			u j ui cos i j v j vi sin i j		,
		i j

(6.4)

ui, uj и vi, vj

(6.5)

вычисляя

выражаем

(6.6)

где

;

EFi j

;

i j

q0l0

EJ0

Fi j площадь поперечного сечения стержня ij;

l0 , EJ0 соответственно

длина и жесткость на изгиб одного из стержней; q0 фиксированная интенсивность распределенной нагрузки на одном из стержней.

Записывая выражение полной потенциальной энергии системы (без

учета деформаций сдвига) с использованием

(6.1)

(6.6),

из условий

0, U 0,

U 0

для узла i

получим три уравнения,

каждое из

которых можно записать в матричной форме:

;

n 1,2,3

(6.7)

В этих уравнениях:

;

u u k u

(6.8)

;

v k v

t v

r v

;

k a

r a

;

(6.9)

;

Число сходящихся в узле i стержней k t r ; k число стержней
с жесткими концами, t число стержней, жестко закрепленных в узле i и
шарнирно на противоположном конце; r число стержней, шарнирно
закрепленных в узле i и жестко на противоположном конце;	k t r
число стержней с двумя шарнирными концами; T	означает

транспонирование.

При n 1 величина p

0m ;

i j

a1i

;

k a1 j

;

r a1 j 0;

hi j

b 6 i j s

3 i j s ; kb

6 i j s ;

i j

1 j

i j

hi j

1 hi j

hi j

(6.10)

1 j

i j

; k d

i j

;

hi2j

i j

hi2j

i j

1 j

i j

1 j

Здесь

sin

;

cos

;

0m безразмерный внешний момент в

узле i;

0m ,

положительны,

если направлены по часовой стрелке;

ui ,u j ,vi ,v j

положительны,

если

их

направления

совпадают

соответственно с направлениями координатных осей и .

Рассмотрим случай неразрезной балки кусочно-постоянной жесткости при действии сосредоточенных моментов на опорах (поперечная нагрузка приведена к узловой). Тогда u v 0 , и из (6.7)

с учетом (6.10) получим уравнение, справедливое для каждого узла i при отсутствии шарнирных опор на концах балки:

i 1

0mi

(6.11)

i 1

где i 1,

hi 1 и

i ,

hi соответственно безразмерная жесткость и длина

пролетов

i 1 i

i i 1.

На

базе

(6.11)

можно

записать

систему

уравнений для всей неразрезной балки в виде одного матричного уравнения:

K			1 0mi ,			(6.12)
			2
где
m	0m	0m . 0m T			;
	1	2		n		(6.13)
				T .		(6.13)
				T .
	1 2		n

Матрица жесткости, в частности, для балки с крайними жестко заделанными опорами, имеет вид:

						2					2
	2		1			2					2		0					0
	2									h2			0					0
		h1			h2					h2
				2					2			3		3
				2			2		2			3		3	0
K
				h2										h3						;	(6.14)
				h2				h2				h3		h3						;	(6.14)



			0										0			n 1	2	n 1	n
																n 1		n 1	n
																h		h
																h		h	h
																n 1		n 1	n

здесь n , hn безразмерная жесткость и длина последнего пролета.

При решении системы (6.12) прямыми методами требуется составление программы для ЭВМ для описания матрицы [K] с последующим обращением к подпрограмме решения уравнений. Программа значительно упрощается (при практически одинаковом времени счета), если систему уравнений решать последовательными приближениями, записав (6.11) в виде:

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]