Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обобщенный метод конечных разностей и метод последовательных аппроксимаций в задачах сопротивления материалов и строительной механики. Учебно-методиче

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

i 1

(6.15)

i 1

Сказанное относится к расчету всех систем, не только неразрезных балок. Ниже приводятся формулы, аналогичные (6.15), для самого общего случая стержневой системы. При необходимости из них можно получить уравнения для использования прямых методов решения.

При n = 1 имеем:

	0m	A	B u	D	v
	i	1	1	1		.	(6.16)
						.	(6.16)
i			a1i
			a1i

Элементы входящих в (6.16) матриц определяются формулами (6.10). Из (6.16) как частный случай следует формула (6.15). Для определения

u n 2 и	v n 3	в (6.16) элементы				, 0m , A , B				, D	, a
i	i					i	i	1	1	1	1i
заменяются	соответственно		на	u , p , A			, B	, D	, b		и
				i	i	2	2	2		2i
vi , pi , A3 , B3 , D3 , d3i ,		где	pi , pi		соответственно					проекция

безразмерной сосредоточенной силы в узле i на ось , ; положительные

направления p

, p совпадают

направлениями , .

A2 , B2 определяются

Элементы перечисленных выше матриц

следующими формулами:

k a

;

r a

;

2 j

1 j

2 j

1 j

i j

t r

i j

;

i j

b2 j

si j

ci j

;

hi3j

(6.17)

i j

fi j

;

2 j

i j

fi j

;

2 j

i j

t r

i j

fi j

;

hi3j

hi j

i j

fi j

k d

2 j

;

i j

hi j

i j

fi j

2 j

;

hi j

; sc

sin

cos

;

2 j

i j

k a

; r a

td ;

3 j

1 j

3 j

1 j

;

k d

;

2 j

3 j

;

2 j

3 j

(6.18)

(6.19)

Элементы матрицы [D3] следуют из элементов [B2] с заменой в них si j и сi j соответственно на сi j и si j .

Формулы для элементов матриц, определяемых суммированием, для удобства программирования также могут быть представлены в матричной форме:

			i j					i j
a	4		i j	1		3		i j	1	.


1i		hi j			k1		hi j		t1

При i j 0mi j 0 уравнение (6.16), предварительно умноженное на a1i , удовлетворяется тождественно, а из оставшихся выражений как

частный случай следуют выражения для расчета ферм (статически определимых и неопределимых):

i j

(6.20)

i j

hi j

i j

Уравнение для vi следует из (6.20) с заменой u, v, , cij соответственно на v, u, , sij:

i j

(6.21)

i j

hi j

i j

Пример 10.

Рассмотрим

расчет

треугольной

статически

неопределимой фермы, представленной на рисунке 6.2.

Рис. 6.2. Расчетная схема фермы

Пусть hi j fi j 1. Для каждого из стержней в соответствии с рисунком 6.2 выпишем значения i j , sin i j si j , cos i j ci j :

23 600; s23 0,8660; c13 1; 12 600; s12 0,8660; c12 0,5;23 600; s23 0,8660; c23 0,5; 21 1200; s21 0,8660; c21 0,5;

	31	1800; s	0; c	1;	32	2400; s	0,8660; c	0,5.
	31	31	31		32	32	32

Учтем, что из условий закрепления u1 v1 u2 v3 0. Для узлов 1,

2, 3 записываем уравнение (6.20), затем (6.21) с учетом выписанных выше значений hi j , fi j , si j , ci j ,u, v :

p1 u3 0,866 0,5 v2 0;

p2 0,52 u3 v2 0,866 0,5 0,866 0,5 0;

u 0,866 0,5 v2			;
3	1	0,52

p1 0,8662 v2 0;

v 1 0,866 0,5 u3		;
2	0,8662 0,8662
	0,8662 0,8662

p3 0,8662 v2 u3 0,866 0,5 0.

Из решения этих уравнений находим перемещения v2 0,7408; u3 0,2566

и реакции

p1 0,0642; p2 0,0642; p1 0,5556; p3 0,4445.

Знаки показывают, что вертикальные реакции p1 и p3 направлены вверх; горизонтальная реакция в узле 3 справа налево (направление, противоположное оси .

По формуле (6.6) определяем усилия в стержнях фермы:

N12 0,7408 0,866 0,6415;

N23 0,2566 0,5 0,7408 0,866 0,5132;

N13 0,2566.

Нетрудно убедиться, что все уравнения равновесия удовлетворяются, что служит признаком точного решения, поскольку задача сформулирована в перемещениях.

Пример 11. Рассмотрим расчет рамы, изображенной на рисунке 6.3. Приведение нагрузки к узловой показано на рисунке 6.4, там же даны номера узлов, безразмерные длины стержней и необходимые для расчета безразмерные узловые нагрузки. Для перехода от размерных

значений к безразмерным использованы величины:					q0 3т/м;		l0 4 м;
тогда, например, сосредоточенная сила		в	узле		1:	4 т		1	;
тогда, например, сосредоточенная сила		в	узле		1:	3т/м	4м	3	;
						3т/м	4м	3
сосредоточенный момент в узле 1:	4 тм 3тм		1	.
сосредоточенный момент в узле 1:	3т/м 42 м2		48	.
	3т/м 42 м2		48

Рис. 6.3. Расчетная схема рамы с наклонным элементом

Рис. 6.4. Расчетная схема рамы с безразмерными длинами и безразмерными узловыми нагрузками

															36
Вычислим i j						и fi		j :
		01			23	EJ 1;				2EJ				2; f		01	f	23			EF l			2	48 42			768;
		01			23		EJ		12		EJ					01		23			EJ		0
							EJ				EJ										EJ
									f		f			2 48 42 1536.
									13			12
Далее		вычисляем:							s13 0,6;					c13 0,8.					Учитываем,							что		значения:
0 u0 v0 v1 u2 u3 v3 0.
По формуле (6.10) для узла i = 1 находим:
a	4			1			4 2		13,33;			k a			2 2		4;			b		6			1		1	10,67;
a	4						4 2		13,33;			k a			2 2		4;			b		6					1	10,67;
11			0,75					1					12			1				11					0,752
			0,75					1								1									0,752
											k d		6 2 1 12.
											12				1
															1
								A a				k a			; B b ;				D k d .
								1		11		12			1		11			1			12

Уравнение (6.7) при n =1 для примет вид:

A1 1 2 T B1 u1 D1 v2 p1,

где	p 0m		1	.
где	p 0m			.
	1	1	48
			48
Или в развернутом виде:
				13,33	4	2	10,67 u	12 v		1	.	(а)
				13,33	4		10,67 u	12 v			.	(а)
			1				1	2	48
									48

Аналогично для узла i = 2:

a 4	2	3	1	12;	k a	2 2	4;

12	1		0,75		11	1

d12 6 12 1 12.

A1 a12 k a11 ; D1 d12.


4 12	2	12 v		1	.	(б)
4 12		12 v			.	(б)
1		2	12
			12

Теперь записываем уравнение (6. 7) для ui n 2 :

A2 B2 u D2 v p2.

									37
По формулам (6.17) и (6.18) для узла i=1:
					a21 b11 10,67;
b 12			10		s2		f10		c2		f12		c2				f13		c2
b 12			h3		s2				c2				c2						c2
21			h3	10		h			10		h			12			h			13
			10			10				12						13
12	1	1		768		0		1536		1		1536			0,8			2		2350,9;

	0,753								1			1,25
	0,753			0,75					1			1,25
			A a ;			B b ,				p			p 1.
			2	21		2			21	2				1		3
																3
			10,67			2350,9 u								1 .							(в)
						1						1		3
														3

Аналогично записываем уравнение (6.7) для vi n 3 :

A3 B3 u D3 v p3.

По формулам (6.19) для узла i=2:

a32 d12 12; k a32 kd12 12;

d				12	c2				23	c2				f	12	s2		f	23		s2
		12		12					23						12				23					1048.
		12					h3							h										1048.
	32		h3		12		h3			23				h			12	h			23
				12					23					12					23
							k	a31			D3 d32					; p3				p2		1	.
							k
		A3 a32								;												2
																						2
					12		12					2	1048 v				1 .							(г)
						1						2				2	2
																	2

Решая полученную систему четырех уравнений (а)-(г) получаем:

1 0,004897; 2 0,009102; u1 0,000164; v2 0,0005252.

По формулам (6.1) (6.6) найдем значения безразмерных нормальных сил и изгибающих моментов:


m01		2		10		1		3		u1		2		1		0,004897			3		0,000164
m01		2		h10		1				u1		2				0,004897		0,75			0,000164
				h10				h10						0,75				0,75
												0,0011309;
m10	2		10		2 1			3	u1		2		1		2		0,004897			3		0,000164
m10	2		h10		2 1				u1		2				2		0,004897		0,75			0,000164
			h10				h10					0,75							0,75
												0,02437;

			m 2		12		2									3		v
			m 2				2				2							v
			12		h			1			2				h			2
					h										h
				12												12
2	2	2 0,004897 0,009102								3		0,0005252									0,003534;
	1									1
			m 2		12		2										3		v
			m 2				2						2						v
			21		h			1					2				h			2
					h												h
				12												12
2		2	0,004897 2			0,009102							3			0,0005252						0,05953;
		1											1
			m 3	23					1	u								0,03641;
			m 3				2			u				2				0,03641;
			23	h			2		h					2
				h					h
				23				23

N12 f12 0 u1 1 v2 0 0 0,2519;

h12

N23 hf2323 u3 u2 0 v3 v2 1 0,5378;

N13 f13 u1 0,8 0,16122.

h13

По найденным значениям безразмерных величин можно перейти к размерным значениям внутренних силовых факторов с учетом приведенной нагрузки в узлах.

Упрощенный метод для рам с вертикальными и горизонтальными стержнями

Для часто встречающихся на практике свободных рам с вертикальными и горизонтальными стержнями можно построить достаточно простой алгоритм расчета, который не требует учета продольных деформаций и оперирует с достаточно меньшим количеством неизвестных. Если нижние концы вертикальных стержней первого этажа закреплены неподвижно, то во всех предыдущих формулах v 0. Учтем

это обстоятельство, а также то, что для всех узлов одного яруса перемещение u одинаково. Кроме того, для горизонтальных стержней, примыкающих к узлу i, sij = 0; для вертикальных стержней, расположенных

где u

u 1

ниже узла, sij = 1, выше узла sij = 1. Тогда уравнение (6.16) упрощается и принимает вид:

i j

hi j

(6.22)

a1i

a1i определяется первой из формул (6.10); k и t имеют прежний смысл; горизонтальное перемещение яруса, которому принадлежит узел i;горизонтальное перемещение вышерасположенного яруса, u 1

нижерасположенного;

вk

i j

нk

i j

вk

i j

нk

;

(6.23)

нh2

вh2

нh2

вh2

i j

В этих формулах

i j

, вh

, н

i j

нh

соответственно

безразмерные

i j

жесткость и длина верхней и нижней стоек, примыкающих к узлу i; если у стоек оба конца жесткие, то вk нk 6; если закрепление стойки в узле i

жесткое, а на противоположном конце шарнирное,				вk нk 3; в прочих
случаях вk нk 0.
Из (6.6) при v =0 следует:
		i j hi j
fi j	N
			.	(6.24)
	u j ui ci j

При подстановке (6.24) в уравнение (6.7), записанное для n =2 для всех узлов одного яруса, члены уравнений, содержащие Ni j исключаются. В результате получается уравнение для определения u :

вa j

в j ai i нa j

н j

pi b 1 u 1 b 1 u 1

(6.25)

где:

i j

вc

нc

;

вc

; b

нc

;

нh3

вh3

нh3

вh3

i j

a нd

вd

;

вa

вd

; нa

нd

;

нh2

вh2

нh2

i j

н j , в j неизвестные

углы

поворота

на

противоположных концах

нижних и верхних стоек;

число узлов одного яруса рамы.

Если оба конца стойки жестко закреплены, то

вc нc 12;

вd нd вd

нd

Если стойка жестко закреплена в узле i и шарнирно на

противоположном конце, то имеем

вc нc вd нd 3; вd

нd

Если стойка закреплена шарнирно в узле i и жестко на

противоположном конце, то

вc нc вd

вd нd 0.

Если оба конца стойки шарнирные, то

вc нc вd нd вd нd 0.

Алгоритм расчета свободных рам с вертикальными и горизонтальными стержнями сводится к составлению и совместному решению уравнений типа (6.22) и (6.25) с последующим вычислением изгибающих моментов в узловых сечениях по формулам (6.1) (6.4).

Пример 12. Дана П – образная плоская рама, безразмерные длины, нагрузки и закрепления представлены на рисунке 6.5. Там же показано искомое линейное перемещение u1.

Рама дважды статически неопределима. Расчет будем вести без учета продольных деформаций стержней. В этом случае как и в классическом методе перемещений число неизвестных 3. Это углы поворота жестких узлов рамы и 1, 2 и линейное горизонтальное перемещение u1 .

В нашем случае i j const. Для узлов 1 и 2 составляем уравнение (6.22) с предварительным определением a1i по первой из формул (6.10) и с учетом выражений (6.23):

a11 4 4 8; b нk н i j 6 1 6;

нhi2j 12

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]