Обобщенный метод конечных разностей и метод последовательных аппроксимаций в задачах сопротивления материалов и строительной механики. Учебно-методиче

11

Суммируя (3.17) и (3.16) и учитывая формулы типа (1.9) получим обобщенное разностное уравнение повышенной точности на равномерной сетке, или уравнение метода последовательных аппроксимаций (МПА) [1].

Левая часть уравнения (3.18) совпадает с левой частью (1.10).

Для численного интегрирования (1.1) уравнения (3.18) записываются во всех внутренних точках сетки. Для точки левого края можно воспользоваться уравнением (3.16), для точки правого (3.17). При

заданных из этих уравнений определяются в точках края; при заданных значениях вычисляются . В каких либо законтурных точках необходимости нет. Для определения во внутренних точках можно получить уравнение, вычитая (3.16) из (3.17) и учитывая формулы

(1.9):

4. Расчет балок с использованием обобщенного разностного уравнения повышенной точности

На базе уравнения (3.18) строится общий алгоритм расчета для балок постоянной и кусочно-переменной жесткости, статически определимых и

неопределимых, однопролетных и многопролетных, на упругом

основании, упруго-оседающих опорах и без них, с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации и без этого учета на действие произвольных нагрузок, осадки опор и температурные изменения.

12

Единственным ограничением пока является равномерная сетка. Случай

неравномерной сетки будет рассмотрен ниже.

При использовании вместо (3.18) уравнений, приведенных в этом разделе, упомянутый выше общий алгоритм расчета будет наиболее универсальным. Причем для балок кусочно-постоянной жесткости (как статически определимых так и неопределимых) при действии сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов, равномернораспределенных нагрузок и заданных осадках опор этот алгоритм дает точный результат как по моментам, так и по прогибам при любом числе разбиений.

Предварительно запишем (3.18) и (3.16) применительно к дифференциальным уравнениям (2.5) и (2.6):

«зеркальном отображении»; при этом входящие в них производные меняют знак на обратный.

Пример 1. Найти изгибающий момент и прогиб в середине пролета балки, изображенной на рис. 4.1. Пусть безразмерный пролет равен 1, безразмерная нагрузка p = 1 (сосредоточенная сила и момент не приложены).

13

Рис. 4.1. Расчетная схема балки

Нанесем на балку сетку при минимальном числе разбиений с шагом h 12 . Расчетные точки 0, 1, 2. Поскольку на краях шарниры,

m0 m2 0.

Для решения записываем (4.1) для точки 1 с учетом граничных условий, имея ввиду, что p1 0, значит и p1 0 :

2 m1 121 212 1 10 1 125 212 1.

Решая это уравнение, получим значение безразмерного изгибающего момента в середине пролета m1 161 .

Записываем для той же точки 1 уравнение (4.2), при этом учтем: m1 161 , g 1, (балка постоянной жесткости), граничные условия и

значения gm 1 gm 1 w0 w2 w1 w1 0 :

2 w1 121 212 10 161 ,

отсюда w1 7685 .

Загружение только правой половины пролета дает тот же результат. При загружении всей балки с учетом (2.4) получим точное значение прогиба середины пролета:

14

При увеличении числа разбиений и по возможности точном решении получаемых при этом систем алгебраических уравнений найденные здесь точные результаты не меняются.

Пример 2. Будем полагать, что на балке (см. рис. 4.1) p 0 , т.е. отсутствует равномерно-распределенная нагрузка, а в точке 1 имеется сосредоточенная сила (показанная на рис. 4.1 пунктиром) m1 1. Имеем

право так обозначить сосредоточенную силу, поскольку она представляет собой скачок безразмерных поперечных сил m .

Записываем (4.1) для точки 1 c учетом m0 m2 m1 p1 p1 0 :

2m1 12 1 0 ,

отсюда m1 14 .

Запишем (4.2) по прежнему полагая g 1 и не забыв при этом, что в правой части m1 1:

2 w1 121 212 10 14 121 213 1.

Отсюда следует значение безразмерного прогиба w1 481 , которое

совпадает с точным решением данной задачи.

Записывая уравнение (4.3) для точки 0 при p p 0 , получим:

15

сосредоточенный момент m1 1 (показанный на рис. 4.1 пунктиром). Требуется найти m1, m1 и заранее известное из условия косой симметрии загружения расчетной схемы значение прогиба в середине

отсюда действительно получаем w1 0 .

Следует отметить, что данная методика позволяет найти значения m, w и в тех точках сетки, которые не являются узловыми. При этом следует лишь использовать уже найденные значения m (и w) в узловых точках.

Например, пусть необходимо найти mK , где точка «К» расположена

Пример 4. Пусть балка на рис. 2.1 кусочно-постоянной жесткости:g1 1; g1 12. Это означает, что если изгибная жесткость участка 0 1

равна EJ0, то для участка 1 2 изгибная жесткость EJ = 2EJ0.

Пусть для внешних нагрузок p m1 0, m1 1, то есть в точке 1 против часовой стрелки действует сосредоточенный момент. Тогда

16

поскольку балка статически определима, из (4.1) имеем m1 14 . Для

определения прогиба следует записать уравнение (4.2) при i=1. Предварительно покажем, что:

gm i g m gm i gi mi gi mi gi mi gi mi

gi mi gi mi mi gi mi gi mi mi (4.6)mi gi gi mi mi gi gi mi.

Поскольку в правую часть (4.6) входит mi , для решения подобной задачи в общем случае необходимо привлечь уравнение (3.19), переписав его с заменой на m:

1 2, то g g 0 , а g1 1 12 12 . Тогда по (4.6):

gm 1 12 12 12 1 34 .

Согласно (4.5) имеем:

gm 1 14 12 18.

Из (4.2) следует:

2 w1 121 212 10 1 14 125 212 18 121 213 34 ,

что дает точное значение прогиба w1 641 .

17

При решении данного примера были получены формулы (4.5) (4.7), которыми можно пользоваться при решении подобных задач для балок с различной жесткостью участков в готовом виде.

Пример 5. На рис. 4.2 представлена балка постоянной жесткости. Поскольку в точке 1 имеется шарнир, в этом случае w1 0, то есть

взаимный угол поворота сечений балки примыкающих к шарниру (в точке 1) не равен нулю.

w0 2 w1 w2 w1 h w1

12h2 g0 m0 10 g1 m1 g2 m2 125 h2 gm 1 12h3 gm 1 .

Отсюда взаимный угол поворота сечений балки в точке 1

w1 643 .

Для того, чтобы найти изгибающий момент во внеузловой точке К, которая например расположена посередине участка 1 2, используем

уравнение (4.1) с шагом h 14 :

2 mK 12h2 1 10 1 1 ,

отсюда mK 321 .

Точность полученных результатов можно проверить классическими методами строительной механики, для чего потребуется построить не только эпюру моментов от заданной нагрузки, но и от соответствующих единичных воздействий.

Пример 6. Балка постоянной изгибной жесткости (g = 1), изображенная на рисунке 4.3,а имеет «ползун» в точке 1, что вызывает разрыв прогибов в этой точке, то есть прогибы балки в точке 1 в сечениях, расположенных слева и справа от «ползуна» различны. Нагрузка, действующая на балку та же, что и в предыдущем примере.

Для решения запишем уравнение (4.1) для точки i =1, с учетом того,

19

а)

б)

Рис. 4.3. Балка с ползуном: а) расчетная схема, б) эпюра прогибов

m0 2 m1 121 212 1 125 212 1 .

Вэто уравнение входят два неизвестных m0 и m1. Поэтому

используем условие m1 0 , что обусловлено наличием «ползуна» и запишем уравнение (4.7) для точки 1 i 1, p1 0 :

m0 121 212 1 125 212 1 18.

Тогда из предыдущего уравнения получим:

18 2 m1 121 14 125 14 1 ,

отсюда

m1 m1 18.

m0 12 18 121 212 5 1 1 ,

20

откуда m0 0.

Далее, записывая (4.4) для точки 0 при найденных значениях

Эпюра прогибов w представлена на рисунке 4.3,б.

Пример 7. Рассмотрим теперь статически неопределимую балку, расчетная схема представлена на рисунке 4.4. Левый край балки жестко заделан, а правый шарнирно оперт, значит, балка один раз статически неопределима. Балка нагружена сосредоточенной силой, то есть p = 0,

m1 1.

Рис. 4.4. Расчетная схема 1 раз статически неопределимой балки