Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 231
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно утверждению 8.6, функция u+удовлетворяет условию
inf{u
(τ,x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s)} 0
+
для любых (t
Поэтому из определений функции u
функция u
) ∈ (0,θ] × Rn, z0>u+(t0,x0), τ ∈ [t0,θ], s ∈ Rn.
0,x0
и функционала γ (17.15) следует, что
удовлетворяет условию (17.18). Также очевидно, что функция u
локально ограничена, и выполняется равенство u(θ, x)=ω(θ, x).
17.9. Утверждение
Пусть S — непустое подмножество множества S
(0,θ] ×R
n
(t, x) → u(t, x) ∈ R, определенная равенством
(t, x):=sup
u
inf{u(τ,ξ): (τ,ξ) ∈ B
ε>0
(t, x),u∈ S}, (17.24)
ε
u
. Тогда функция
является верхним решением задачи (17.2)– (17.5). Здесь
B
(t, x):={(τ,ξ) ∈ (0,θ] ×Rn: ξ −x ε, |τ − t| ε}. (17.25)
ε
l
Аналогично, пусть S ⊂ S
, S = ∅. Тогда функция u :(0,θ] × Rn→ R,
определенная равенством
u(t, x):=inf
ε>0
sup{u(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
(t, x),u∈ S}, (17.26)
ε
является нижним решением задачи (17.2) –(17.5).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Чтобы показать полунепрерывность функции u свер-
ху (функции
u снизу), можно применять те же аргументы, что и при доказательстве утверждения 8.7. Так, тем же путем, которым подобное соотношение было установлено при доказательстве утверждения 8.7, получим
равенство u
неравенству u ω,получаем,что
Покажем, что в области Ω={(t,x, z) ∈ (0,θ)×R
жество epi u
(θ, x)=ω(θ, x). Так как любая функция u ∈ Slудовлетворяет
u ω.
n
×R : z<ω(t, x) мно-
слабо инвариантно относительно дифференциального включе-
ния (17.16).
Пусть (t
) ∈ epi u ∩ Ω, s ∈ Rn.Можновыбратьτ∗∈ (t0,θ) та-
0,x0
ким образом, чтобы гарантировать неравенство z(τ) <ω(τ, x(τ)) для лю-
бых τ ∈ [t
брать такую последовательность (t
] и (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s). Согласно (17.24), можно вы-
0,τ∗
k,xk,uk
) ∈ (0,θ] ×Rn×S (k =1, 2,...),
что
) → (t0,x0),uk(tk,xk) → u(t0,x0), когда k →∞.
(t
k,xk
232 ГЛАВА IV
Пусть zk:= uk(tk,xk)+z0−u(t0,x0)+1/k ипустьτ ∈ (t0,τ∗).Очевидно,
что z
жем полагать, что z(t) <ω(t, x(t)) для всех (x(·),z(·)) ∈ Sol (t
k =1, 2,...,ипривсехt ∈ [t
>uk(tk,xk) и zk→ z0,когдаk →∞. Без потери общности, мо-
k
,τ]. Функции ukудовлетворяют усло-
0
k,xk,zk
,s),
вию (17.18), поэтому можно выбрать такую подпоследовательность траекторий (x
(k)
(·),z
(k)
(·)) ∈ Sol (tk,xk,zk,s)(k =1, 2,...),что
(k)
(τ) uk(τ,x
z
(k)
(τ)) −1/k. (17.27)
Теперь так же, как и при доказательстве утверждения 8.7, выводим,
что существует траектория (x
ряющая соотношению (τ, x(τ),z(τ )) ∈ epi u
epi u
∩ Ω слабо инвариантно относительно характеристического включе-
ния (17.16). Итак доказано, что функция u
∗
(·),z∗(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s), удовлетво-
. Следовательно, множество
является верхним решением
задачи (17.2) – (17.5).
Подобным же образом можно доказать слабую инвариантность множества hypo
u относительно дифференциального включения (17.16). Утвер-
ждение 17.9 доказано.
17.10. Доказательство теоремы 17.5
Рассмотрим функции u
u
(t, x):=sup
0
ε>0
u0(t, x):=inf
Согласно утверждению 17.9, функция u
ем задачи (17.2) – (17.5). Отметим также, что u
множества S
u
,тоесть
Из утверждения 17.8 следует, что u
получаем неравенство
и u0, определенные на (0,θ]×Rnравенствами
0
inf{u(τ,ξ): (τ,ξ) ∈ B
sup{u0(τ,ξ): (τ, ξ) ∈ B
ε>0
u
∈ Su,u0 u, ∀u ∈ Su. (17.30)
0
ω. Так как функция ω непрерывна,
0
(t, x),u∈ Su}, (17.28)
ε
(t, x)}. (17.29)
ε
является верхним решени-
0
— минимальный элемент
0
u0 ω. Далее, повторяя рассуждения из доказатель-
ства теоремы 8.2 (см. раздел 8.8), в которых мы ссылаемся на утверждение 17.7 вместо утверждения 8.5, и приходим к заключению, что функция
u
является нижним решением задачи (17.2) –(17.5). Очевидно, что u0 u0.
Теорема 17.5 доказана.
0
17.11. Пример
Рассмотрим задачу (17.2) – (17.5) для случая, когда гамильтониан H
независим от переменных t, x и z. Также предполагается, что функция ω
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 233
независима от переменной t и выпукла или вогнута по x. Таким образом,
рассмотрим следующую задачу: найти функцию u:(0,θ] × R
n
→ R,удо-
влетворяющую соотношениям
u(t, x) ω(x), ∀ (t, x) ∈ (0,θ] ×R
u(θ, x)=ω(x), ∀x ∈ R
∂u
∂u
∂t
∂t
+ H(D
+ H(D
u) 0, если (t, x,u(t, x)) ∈ Ω; (17.33)
x
u) 0, ∀(t, x) ∈ G := (0,θ) × Rn. (17.34)
x
Здесь Ω:={(t,x, z) ∈ (0,θ) ×R
n
× R : z<ω(x)}.
n
; (17.31)
n
; (17.32)
Напомним, что в утверждении 10.2 была доказана справедливость одной из формул Хопфа при выполнении следующих предположений:
(C1.1) гамильтониан удовлетворяет условию Липшица вида
|H(p) −H (q)| λp −q, ∀p, q ∈ R
(C1.2) функция ω : R
n
→ R выпукла.
n
;
Теперь мы сформулируем и докажем утверждение, которое может быть
рассмотрено как модификация и обобщение формулы Хопфа (10.5) на случай задачи (17.31) –(17.34).
Пусть выполнены предположения (C1.1) и (C1.2). Тогда функция
u(t, x):= sup
[s, x +(θ −t)H−(s) −ω∗(s)], (17.35)
n
s∈R
∀(t, x) ∈ (0,θ] ×R
n
является минимаксным решением задачи (17.31) – (17.34). Здесь
−
H
(s):=min{H(s), 0}. (17.36)
Напомним также, что
∗
(s)= sup
ω
[s, x−ω(x)]
n
x∈R
— это функция, сопряженная к функции ω.
234 ГЛАВА IV
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функция ω выпукла, то справедливо равен-
ство
ω(x)= sup
Вследствие (17.36) и (17.35) имеем H
[s, x−ω∗(s)].
n
s∈R
−
0 и u(t, x) ω(x). Из (17.35) и
вышеупомянутого равенства следует также u(θ, x)=ω(x).Поэтомуфункция u удовлетворяет условиям (17.31) и (17.32).
Теперь покажем, что для функции u выполняются условия (17.37)
и (17.38), стоящие ниже:
inf
[du(t, x;1,f) −s, f + H(s)] 0, (17.37)
n
f∈R
для всех (t, x,u(t, x)) ∈ Ω и s ∈ R
sup
[du(t, x;1,f) −s, f + H(s)] 0, (17.38)
n
f∈R
для всех (t, x) ∈ G и s ∈ R
n
Таким образом, переписаны условия (U5
во внимание, что функция u дифференцируема по направлениям, т.е.
−
d
u(t, x;1,f)=d+u(t, x;1,f)=du(t, x;1,f).
Сначала предположим, что множество dom ω
n
;
.
)и(L5). Примем также
∗
:= {s ∈ Rn: ω∗(s) < ∞}
ограничено. Определим множество
S
(t, x):={s0∈ Rn: s0,x +(θ −t)H−(s0) −ω∗(s0)=u(t, x)}. (17.39)
0
Это множество непусто и компактно. Для производной функции u вточке (t, x) ∈ G по направлению (1,f) имеем формулу (см. аналогичную фор-
мулу (10.9))
du(t, x;1,f)= max
s0∈S0(t,x)
[s0,f−H−(s0)]. (17.40)
Рассмотрим условие (17.38). Справедливы следующие соотношения
[du(t, x;1,f) −s, f + H(s)] =
sup
n
f∈R
max
=sup
f∈R
=max
s0∈S0(t,x)
n
s0∈S0(t,x)
sup
[s0− s, f −H−(s0)+H(s)] = max
n
f∈R
[s0− s, f −H−(s0)+H(s)] =
s0∈S0(t,x)
κ(s, s0),
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 235
где
κ(s, s
0
H(s) −H
)=
∞, если s = s
−
(s) 0, если s = s0,
.
0
Здесь использованы условия (17.40) и (17.36). Таким образом, приходим к
заключению, что функция u (17.35) удовлетворяет условию (17.38), т. е. эта
функция является нижним решением задачи (17.31)– (17.34).
Остается проверить, что функция u удовлетворяет условию (17.37).
Введем обозначение
∗
μ(s, t):=ω
Пусть μ
∗∗
(·,t) — вторая сопряженная функция к функции μ(·,t).Отметим,
что функция s → μ
снизу. Функция μ
∗∗
μ
(·,t)=coμ(·,t) — наибольшая выпуклая миноранта функции μ(·,t).
(s) −(θ −t)H−(s),s∈ Rn,t∈ (0,θ). (17.41)
∗∗
(s, t): Rn→ (−∞, ∞] выпукла и полунепрерывна
∗∗
(·,t) является выпуклой оболочкой функции μ(·,t),т.е.
Имеют место следующие соотношения
∗∗
μ
(s, t) μ(s, t),s∈ Rn,t∈ (0,θ), (17.42)
u(t, x)=max
s∈R
[s, x−μ(s, t)] = max
n
[s, x−μ∗∗(s, t)]. (17.43)
n
s∈R
Рассмотрим
(t, x):={s∗∈ Rn: s∗,x−μ∗∗(s∗,t)=u(t, x)}. (17.44)
S
∗
n
Для любых (t, x) ∈ (0,θ) ×R
пактно и содержится в domω
множество S∗(t, x) непусто, выпукло, ком-
∗
. Справедливо включение
(t, x) ⊂ S∗(t, x), ∀(t, x) ∈ (0,θ) ×Rn. (17.45)
S
0
Здесь S
ствует такой вектор s
всех s ∈ S
(t, x) — множество, определенное в соответствии с (17.39).
0
Выберем точку (t, x) ∈ (0,θ) × R
∈ S∗(t, x),чтоH(s∗) > 0; (jj) H(s) 0 при
(t, x).
∗
∗
n
. Возможны два случая: (j) суще-
Рассмотрим случай (j). Функция H(s) непрерывна, поэтому
H(s) > 0 для s ∈ B(s
∗
; ε),
где ε>0 — достаточно малое число. Принимая во внимание (17.42), получаем
∗∗
(s, t) ω∗(s),s∈ B(s∗; ε).
μ
236 ГЛАВА IV
Из (17.36) и (17.41) вытекает
∗
(s),s∈ Rn,
т. е. ω
нию μ
μ(s, t) ω
∗
является выпуклой минорантой функции μ(·,t). По определе-
∗∗
(·,t), эта функция — наибольшая выпуклая миноранта функ-
ции μ(·,t).Поэтому
∗∗
μ
(s, t) ω∗(s),s∈ Rn.
Таким образом, получаем равенство
∗∗
μ
(s, t)=ω∗(s),s∈ B(s∗; ε). (17.46)
Принимая во внимание, что s
u(t, x)=max
s∈R
=max
s∈B(s∗;ε)
=max
s∈B(s∗;ε)
Функция s → [s, x−ω
мума в центре шара B(s
,x−ω∗(s∗)=max
s
∗
∈ S∗(t, x), выводим из (17.46) и (17.43)
∗
[s, x−μ∗∗(s, t)] =
n
[s, x−μ∗∗(s, t)] =
[s, x−ω∗(s)] = s∗,x−ω∗(s∗).
∗
(s)] является вогнутой и достигает своего макси-
; ε). Значит, это глобальный максимум, т. е.
∗
[s, x−ω∗(s)] = ω(x).
n
s∈R
Таким образом, в случае (j) имеем равенство u(t, x)=ω(x). Следовательно,
в этом случае, (t, x,u(t, x)) ∈ Ω, и неравенство (17.37) проверять не нужно.
Рассмотрим случай (jj). В этом случае для всех s ∈ S
во неравенство H(s) 0. Из (17.36) и (17.45) следует, что H
для всех s ∈ S
(t, x). Следовательно, формула (17.40) совпадает с форму-
0
(t, x) справедли-
∗
−
(s)=H(s)
лой (10.9). Поэтому, таким же образом, как при доказательстве утверждения 10.2, получается неравенство (17.37).
По предположению, множество dom ω
∗
ограничено. Мы установили,
согласно этому предположению, что функция u (17.35) удовлетворяет условиям (17.31), (17.32), (17.37) и (17.38). Следовательно, эта функция — минимаксное решение задачи (17.31)–(17.34). В общем случае, когда не предполагается ограниченность множества dom ω
∗
, формула (17.35) может быть
доказана с помощью предельного перехода, как это было сделано при доказательстве утверждения 10.2.
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 237
Можно также проверить следующее утверждение. Пусть гамильтони-
ан H(s) удовлетворяет предположению (C1.1), и пусть функция ω : R
n
→ R
вогнута. Тогда функция
u(t, x):= inf
[s, x +(θ −t)H−(s) −ω∗(s)],
n
s∈R
(t, x) ∈ (0,θ] ×R
n
(17.47)
является минимаксным решением задачи (17.31) – (17.34). Здесь
(s)= inf
ω
∗
[s, x−ω(x)].
n
x∈R
Проверка этого факта опущена, так как она подобна доказательству утверждения 10.2 и формулы (17.35).
17.12. Некоторые замечания
Минимаксные решения задачи (17.2) – (17.5) также связаны с дифференциальная играми на оптимум времени, которые определяются здесь следующим образом.
Пусть движение управляемой системы описано уравнением (17.6), где
функция f удовлетворяет предположениям (A1)–(A3) (см. пункт 11.1).
Здесь мы полагаем g =0, θ =1. Пусть задано замкнутое множе-
ство M ⊂ [0, 1] × R
τ(x(·)) :=
n
. Рассмотрим функционал платы вида
θ
, если (t, x(t)) ∈ M, ∀t ∈ [t0, 1],
min{t ∈ [t
, 1] : (t, x(t)) ∈ M}, в иных случаях,
0
(17.48)
где θ
— произвольное число, большее 1, а функция x(·): [t0, 1] → R
описывает движение системы (17.6). Как известно, для любой начальной
точки (t
) дифференциальная игра (17.6), (17.48) имеет цену T (t0,x0)
0,x0
(см., например, [122, 123]).
Рассмотрим также дифференциальную игру (17.6) с платой вида (17.7),
где полагаем
ω(t, x)=dist((t, x); M),g(t, x,p, q)=0,θ 1. (17.49)
Предположим, что цена дифференциальной игры (17.6), (17.7), (17.49) равняется нулю. Тогда оптимальная стратегия игрока, который минимизирует
плату (17.7), (17.49), обеспечивает встречу точки (t, x(t)) смножествомM
не позже, чем за время t = θ. Обратное утверждение также верно. Если в
n
238 ГЛАВА IV
дифференциальной игре (17.6), (17.48) существует стратегия преследователя, которая обеспечивает встречу не позднее, чем за время t = θ 1,то
цена дифференциальной игры (17.6), (17.7), (17.49) равна нулю.
Пусть u(t, x, θ) — минимаксное решение задачи (17.2) – (17.5), где функ-
ция ω определена соотношением (17.49), а гамильтониан задан равенством
H(t, x, s)=min
p∈P
max
s, f (t, x,p, q) =max
q∈Q
q∈Q
min
s, f (t, x,p, q).
p∈P
Заметим, что здесь θ — это параметр, который изменяется на интервале (0, 1]. Чтобы отметить, что решение задачи (17.2) –(17.5) зависит от этого
параметра, включаем его в определение. Из вышесказанного следует
T (t
T (t
0,x0
)=θ, если u(t0,x0,θ) =0, ∀ θ ∈ [t0, 1],
0,x0
)=min{θ ∈ [t0, 1] : u(t0,x0,θ)=0}, в ином случае.
Заметим, что функционал платы γ вида (17.7), (17.49) и соответствующая функция цены (минимаксное решение задачи (17.2)– (17.5)) непрерывны, в то время, как в дифференциальной игре на оптимум времени, функционал платы и функция цены только полунепрерывны снизу. Поэтому дифференциальная игра с платой вида (17.7), (17.49) (и/или задача (17.2)– (17.5),
(17.49)) может рассматриваться как регуляризация дифференциальной игры
на оптимум времени до встречи с целевым множеством M.
Отметим, что E. Н. Баррон в работе [23] развил исследования дифференциальных игр вида (17.6), (17.7) на случай платы вида
γ(t
,x(·),p(·),q(·)) = ess min
0
ω(t, x(t),p(t),q(t)),
t∈[t0,θ]
где ω и g — непрерывные функции. Как показано в его работе [23], функция цены этой дифференциальной игры может быть разрывной, и она удовлетворяет в вязкостном смысле уравнению Гамильтона–Якоби–Айзекса,
связанному с этой дифференциальной игрой.
В заключении раздела заметим,что для решения задач вида (17.2)–(17.5)
был разработан ряд вычислительных алгоритмов и компьютерных программ. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть
$
2
n =2,θ=6,ω(t, x)=
2
x
+ x
,
1
2
H(t, x, s)=(x
− 5)s1+ |s1|−(sin x1− 1.91)s2−|s2|.
2
На рис. 17.1 изображены линии, которые выделяют множества {x ∈ R
,x)=0} и {x ∈ Rn: u(ti,x) > 0}, ti=0.1, 0.2, ..., 6.0.Здесьu(t, x) —
u(t
i
n
:
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 239
Рис. 17.1
минимаксное решение задачи (17.2) – (17.5) с указанными функциями ω и H.
Пример моделировался с помощью компьютерной программы, разработанный A.Хрипуновым.
Заметим, что этот пример связан с дифференциальная игрой вида (17.6), (17.7), (17.49), в которой движение управляемой системы описано
уравнениями
˙x
= x2+ q, − 6 q −4,
1
= −sin x1+ p, 0.91 p 2.91.
˙x
2
Терминальное множество задается выражением
M = {(t, x
): t 0,x1= x2=0}.
1,x2
Ранее в статье [217] вышеупомянутый пример дифференциальной игры использовался в качестве иллюстрации применения численных методов
для решения следующей задачи: сконструировать такую область D,чтодля
любой начальный точки (x
0
0
,x
) ∈ D существует стратегия U преследова-
1
2
теля (игрока, который выбирает управление p), которая гарантирует встречу
с терминальным множеством за конечное время. Линии, ограничивающие
множество на рис. 17.1, покрытое построенными линиями уровня цены
игры, совпадают с частью границы области D.
240 ГЛАВА IV
18. Разрывные решения краевой задачи типа Дирихле
В этом разделе изучаются минимаксные решения для краевой задачи
типа Дирихле, которые могут быть разрывными. Введение таких решений
мотивировано некоторыми проблемами теории оптимального управления
и, особенно, теории сингулярно возмущенных эллиптических уравнений.
Главный результат этого параграфа — теорема 18.6 о существовании и единственности минимаксного решения краевой задачи типа Дирихле. Этот результат проиллюстрирован простым примером, в котором демонстрируется
сходимость решений в задаче Дирихле для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений к разрывному минимаксному решению. В следующем
параграфе будет рассмотрена дифференциальная игра на оптимум времени
(игра преследования–уклонения), функция цены которой совпадает с минимаксным решением задачи Дирихле для уравнения Айзекса – Беллмана.
18.1. Постановка задачи
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
F (x, u, Du)=0,x∈ G ⊂ R
с граничным условием
u(x)=σ(x),x∈ ∂G. (18.2)
n
Здесь G —открытоемножествовR
. Напомним, что символом ∂G обо-
значается граница G, u(x) — вещественная функция, определенная на
= G ∪∂G. Вещественные функции (x, z, s) → F (x, z, s) и x → σ(x) опре-
делены на G ×R ×R
n
и ∂G соответственно.
В последующем будем полагать, что функция z → F (x, z, s) строго
убывающая. Тогда можно вместо вышеупомянутой задачи рассматривать
следующую
H(x, Du) −u =0,x∈ G ⊂ R
u(x)=σ(x),x∈ ∂G. (18.4)
Отметим, что конструкции, представленные ниже, могут применяться и к
уравнениям вида
H(x, u, Du) −u =0,
с убывающими функциями z → H(x, z, s). Однако, чтобы избежать несу-
щественных деталей, ограничимся изучением случая, когда УЧП первого
порядка записано в виде (18.3).
Задача (18.3), (18.4) будет рассматриваться при следующих предположениях:
n
, (18.1)
G :=
n
, (18.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]