Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
20. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ .. . 281
ЗАДАЧИ 1 И 2. Пусть заданы некоторые линейно независимые вектора a
и b. В задаче 1 (в задаче 2) требуется построить минимаксное решение
задачи (20.10), (20.11), (20.21) при σ = σ
+
(при σ = σ−).
Можно показать, что решениями этих задач являются функции
+
ϕ
(y)= max
ϕl(y),ϕ−(y)= min
l∈[a,b]
l∈[a,b]
ϕl(y),
где
[a, b]:={λa +(1− λ)b : λ ∈ [0, 1]},ϕ
З
АДАЧИ 3 И 4. Пусть заданы некоторые линейно независимые векто-
(y)=l, y+ H(l).
l
ра a, b ичислоr>0.Пусть
=max{ϕa(y),ϕb(y)},ϕ=min{ϕa(y),ϕb(y)},
ϕ
G
= {y ∈ R2: ϕ(y) <r},G= {y ∈ R2: ϕ(y) <r}.
В задаче 3 требуется построить непрерывную функцию ϕ
0
: G→ R,удо-
влетворяющую следующим соотношениям
0
ϕ
(y) <r, ∀y ∈ G; ϕ0(y)=r, ∀ y ∈ ∂G,
и уравнению
0
H(Dϕ
(y)) + Dϕ0(y),y−ϕ0(y)=0,y∈ G,
которое понимается в минимаксном смысле. Точно так же в задаче 4 требуется построить непрерывную функцию ϕ
: G→ R, удовлетворяющую
0
соотношениям
ϕ
(y) <r, ∀y ∈ G,ϕ0(y)=r ∀y ∈ ∂G,
0
и уравнению
H(Dϕ
(y)) + Dϕ0(y),y−ϕ0(y)=0,y∈ G,
0
которое понимается в минимаксном смысле.
Решением задачи 3 является функция
0
(y)=maxsϕs(y) при s ∈ Sr(a, b),
ϕ
где
S
(a, b)={s ∈ con (a, b): ϕs(w0)=r},
r
con (a, b):={λa + μb: λ 0,μ 0},
282 ГЛАВА IV
аточкаw0является решением системы двух линейных уравнений
a, w
+ H(a)=r, b, w0 + H(b)=r.
0
Решение ϕ
задачи 4 в общем случае (т. е. для произвольных a, b и r)
0
может не существовать. Однако в рассматриваемых случаях решение ϕ
существует и имеет вид
ϕ
(y)=ϕ(y)=min{ϕa(y),ϕb(y)}.
0
Алгоритм построения решения ϕ в задаче (20.10), (20.11), (20.21) состоит из конечного числа шагов, на каждом из которых конструируются так называемые простые кусочно-линейные функции (ПКЛФ). Мы опускаем здесь
формальное определение ПКЛФ (это сделано в работах [183, 195, 201]).
Упомянем только главное свойство ПКЛФ. Если ψ — ПКЛФ, то, для произвольной точки y
ность B(y
где s
; ε), в который ψ имеет одно из следующих трех представлений
∗
, sj— некоторые векторы из R2,аhi, hj— некоторые числа. Таким
i
из ее области определения, существует ее окрест-
∗
ψ(y)=s
ψ(y)=max{s
ψ(y)=min{s
,y + hi,
i
,y + hi, sj,y + hj},
i
,y + hi, sj,y + hj},
i
образом, можно сказать, что область определения ПКЛФ не содержит точек,
в малой окрестности которых эти функции представимы в виде склейки из
трех или более линейных функций.
В первом шаге мы строим ПКЛФ ϕ
из (c
, ∞). В конечном счете, функция ϕ1оказывается сужением искомой
1
функции ϕ на некоторую область. Функция ϕ
, которая принимает значения
1
получается в результате
1
склейки решений элементарных задач типов 1 и 2.
На i-м шаге (i ∈
элементарных задач типов 3 и 4. Она определена в области D
c
<ϕi(y) <c
i
i−1
2,m) очередная ПКЛФ ϕiконструируется из решений
= {y ∈ R2:
i
},ивDiэта ПКЛФ совпадает с искомым решением ϕ.
Число шагов заранее неизвестно. Построение завершено, когда происходит одно из двух событий: или c
i ∈
1,m, покрывают полностью всю плоскость R2.
=0, или замыкания областей Di,
m
Полагаем
0
= ∅,Wi= W
W
0
∪Di,i∈ 1,m.
i−1
Тогда минимаксное решение задачи (20.10), (20.11), (20.21) может быть
20. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ .. . 283
записано в следующем виде
⎧
ϕ
(y),y∈ Di,i∈ 1,m,
⎪
i
⎨
,y∈ ∂Wi,i∈ 1,m,
ϕ(y)=
c
i
⎪
⎩
0,y∈ R
2
\ Wm.
Числа c
делены следующим условием: D
на которой ϕ
ϕ(y)=0для y ∈ ∂W
для произвольного ε>0 функция ϕ на множестве B(y
в результате склейки не менее чем трех линейных функций. Чтобы вычис-
лить критические уровни c
j ∈
1,l, конечного числа систем из трех линейных алгебраических уравне-
ний. Эти системы и их количество l определены функцией ϕ
c
=max{0,r1,...,rl},и,когдаci= rq, q ∈ 1,l,точки(w
i
, i ∈ 1,m, которые называются критическими уровнями, опре-
i
— максимальная область в R2\ W
является неотрицательной и ПКЛФ. Это означает, что или
i
, или найдется сингулярная точка y0∈ ∂Wi, такая, что
i
i
; ε) ∩Diполучается
0
, необходимо рассмотреть решения (w
i
q
,w
1
. А именно,
i
q
2
i−1
j
j
,w
,rj),
1
2
) являются
точками сингулярности.
Полное описание и обоснование алгоритма приведены в работах
[183, 201], где показано, что число шагов m конечно, а значит, конечно
и число арифметических операций, используемых при реализации алгоритма. Заметим также, что структуры, используемые в этих статьях (матрицы
смежности, клеточные разбиения и т. д.) являются несколько упрощенными и модифицированными версиями известных понятий из теории графов
и комбинаторной топологии (см., например, [2, 89, 180]). Они оказались
удобными при разработке данного алгоритма и соответствующих вычислительных программ.
,
Приложение
A1. Доказательство классического метода характеристик
В параграфе А.1 приводится доказательство хорошо известного результата классической теории УЧП первого порядка, согласно которому решение задачи Коши
F (x, u(x),Du(x)) = 0,x∈ X ⊂ R
n
, (A1.1)
{(x, u(x)): x ∈ X}⊃C
:= {(x0(y),z0(y)) : y ∈ R
0
n−1
} (A1.2)
может быть сведено к решению характеристической системы
˙x = D
F (x, z, s),
s
˙s = −D
˙z = s, D
F (x, z, s) − DzF (x, z, s) · s,
x
F (x, z, s).
s
Решения (x(t),s(t),z(t)) этой системы подчинены условиям
(x(0),s(0),z(0)) = (x
(y) и z0(y) — функции, использующиеся в определении начального
где x
0
многообразия C
(A1.2). Напомним также, что s0(y) — это вектор, удовле-
0
(y),s0(y),z0(y)), (A1.4)
0
творяющий системе из n уравнений
(y),z0(y),s0(y)) = 0,
F (x
0
∂z
∂y
0
(y)
i
−
(y)
∂x
0
,s0(y)=0,
∂y
i
1,n− 1. (A1.5)
i ∈
Предполагается, что для любого значения параметра y ∈ R
(y) существует и единственен. Помимо этого, предполагается, что
тор s
0
функции y → s
0
(y): R
n−1
→ Rnдолжны быть достаточно гладкими.
n−1
(A1.3)
век-
A1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КЛАССИЧЕСКОГО МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК 285
Для каждого значения параметра y ∈ R
n−1
обозначим через t →
→ (x(t, y), s(t, y), z(t, y)) решение системы (A1.3), (A1.4). Отображение
(t, y) → (x(t, y), s(t, y), z(t, y))
рассматривается в некоторой открытой области D ⊂ R
гиперплоскость {(0,y): y ∈ R
n−1
}. В методе характеристик постулируется,
n
, которая содержит
что функции x и z дважды непрерывно дифференцируемы в области D.
Согласно методу характеристик, решение задачи (A1.1), (A1.2) получается
в форме параметрических равенств
x = x(t, y),u= z(t, y).
Отображение (t, y) → x(t, y): D → X должно быть взаимно однозначным.
Предполагается также, что
C
⊂{(x(t, y), z(t, y)) : (t, y) ∈ D}.
0
Решение задачи (A1.1), (A1.2) может быть получено также в виде явной
функции u(x), заданной равенством
u(x)=z(τ(x),η(x)),x∈ X, (A1.6)
где X := {x(t, y): (t,y) ∈ D}, а отображение x → (τ (x),η(x)): X → D —
это обратное отображение к x(·).
Проверим эту конструкцию. По определению функции u (A1.6), она
удовлетворяет условию (A1.2). Справедливо
∂x/∂t = D
∂s/∂t = −D
∂z/∂t = s, D
(x(0,y), z(0,y), s(0,y)) = (x
F (x, z,s),
s
F (x, z, s) −DzF (x, z, s)s,
x
F (x, z,s),
s
(y), z0(y), s0(y)). (A1.8)
0
(A1.7)
Так как функция F является первым интегралом характеристической системы, то из первого уравнения системы (A1.5), вместе с соотношениями (A1.7), (A1.8), следует
F (x(t, y), z(t,y), s(t, y)) = 0, (t, y) ∈ D. (A1.9)
Подставляя t = τ(x) и y = η(x), получаем
F (x, u(x), s(τ (x),η(x))) = 0,x∈ X.
286 ПРИЛОЖЕНИЕ
Следовательно, остается проверить равенство
s(τ (x),η(x)) = Du(x),x∈ X,
которое может быть также записано следующим образом
s(t, y)=Du(x(t, y)), (t, y) ∈ D. (A1.10)
Так как z(t,y)=u(x(t, y)),тосправедливо,что
∂z/∂y
−Du,∂x/∂yi =0,i∈ 1,n− 1,
i
∂z/∂t −Du,∂x/∂t =0.
Полагаем
U
= ∂z/∂yi−s, ∂ x/∂ yi,i∈ 1,n− 1,
i
V = ∂z/∂t −s, ∂x/∂t. (A1.11)
В методе характеристик постулируется, что якобиан
∂x(t, y
,...,y
1
∂(t, y1,...,y
n−1
n−1
)
)
не равен нулю при всех (t, y) ∈ D. Поэтому требуемое равенство (A1.10)
следует из равенств V =0, U
=0, i ∈ 1,n− 1.
i
Равенство V =0непосредственно следует из первого и третьего уравнений системы (A1.7). Докажем равенство U
=0. Будем использовать
i
соотношение
∂U
/∂t − ∂V/∂yi= ∂s/∂yi,∂x/∂t−∂s/∂t, ∂ x/∂ yi.
i
Из того, что V (t,y)=0для всех (t, y) ∈ D, имеем ∂V (t, y)/∂y
i
=0.
Используя уравнения (A1.7), получаем
∂U
/∂t = (DxF + DzF s),∂x/∂yi+ DsF, ∂s/∂yi.
i
Дифференцируя (A1.9) относительно y
, получаем
i
D
F, ∂x/∂yi + DzF∂z/∂yi+ DsF, ∂s/∂yi =0.
x
В результате имеем уравнение
∂U
/∂t = −DzF · Ui. (A1.12)
i
A2. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 287
Согласно (A1.5), (A1.8) и (A1.11), получаем Ui(0,y)=0для всех y ∈ R
Из (A1.12) следует, что U
(t, y)=0для всех (t, y) ∈ D.
i
n−1
Таким образом, показано, что функция u (A1.6), построенная с помощью классического метода характеристик, является решением задачи Коши (A1.1), (A1.2).
Отметим, что решение u построено в некоторой (возможно малой)
окрестности X множества {x
(y): y ∈ R
0
n−1
}.
Описанная конструкция обоснована при условии, что отображение
(t, y) → x(t, y): D → X взаимно однозначно. Как правило, эта гипотеза
не выполняется, если решение рассматривается не локально, а в достаточно большой области.
Доказательство, приведенное в этом параграфе, заимствовано из книги
Р. Куранта и Д.Гильберта [52]. Более подробное описание классического
метода характеристик можно найти также во многих других учебниках (см.,
например, [167, 190]).
A2. Многозначные отображения
Пусть X и Y — два метрических пространства, метрики в которых будут обозначаться с помощью символов dist (·, ·). Для подмноже-
ства C ⊂ Y иточкиy ∈ Y ,обозначимсимволомdist (y; C) величину, равную inf{dist (y, η): η ∈ C}.Дляε 0 обозначаем через C
ε-окрестность множества C,т.е.
ε
C
:= {y ∈ Y :dist(y; C) ε}.
ε
замкнутую
.
Под Φ: X → 2
Y
подразумевается многозначное отображение (отображение, значениями которого являются множества элементов), которое сопоставляет точке x ∈ X множество Φ(x) ⊂ Y . Рассмотрим множества
gr Φ := {(x, y): x ∈ X, y ∈ Φ(x)},
dom Φ := {x ∈ X :Φ(x) = ∅},
которые называются, соответственно, графиком и эффективным множеством (или областью определения) многозначного отображения Φ.Дляподмножества D ⊂ X обозначим через Φ(D) множество
Для заданных многозначного отображения Φ: X → 2
+
Φ(y).
y∈D
Y
иточкиx0∈ X,
верхним топологическим пределом называется множество
lim sup
Φ(x):={y ∈ Y : lim inf
x→x
0
dist (y;Φ(x)) = 0}.
x→x
0
288 ПРИЛОЖЕНИЕ
Точно так же нижним топологическим пределом многозначного отображения Φ: X → 2
Y
вточкеx0∈ X называется множество
lim inf
Φ(x):={y ∈ Y : lim sup
x→x
0
x→x
0
dist (y, Φ(x)) = 0}.
Можно проверить, что верхний и нижний топологические пределы являются замкнутыми множествами. Ясно также, что
lim inf
Φ(x) ⊂lim sup
x→x
0
x→x
Φ(x).
0
Многозначное отображение Φ называется полунепрерывным сверху
(снизу) в точке x
∈ X, если выполняется включение (A2.1) ((A2.2)):
0
lim sup
Φ(x) ⊂ Φ(x0), (A2.1)
x→x
0
lim inf
Φ(x) ⊃ Φ(x0). (A2.2)
x→x
0
Многозначное отображение Φ называется замкнутым, если оно полунепрерывно сверху в любой точке x ∈ X.Отметим,чтоΦ замкнуто тогда, и
только тогда, когда его график замкнут. Многозначное отображение называется непрерывным (в смысле Какутани) в точке x, если оно одновременно
является полунепрерывным сверху и снизу в этой точке.
Многозначное отображение Φ называется полунепрерывным сверху
(снизу) в смысле Хаусдорфа в точке x
существует такое δ>0, что для каждого x ∈ B(x
чение (A2.3) ((A2.4)):
Φ(x) ⊂ Φ
∈ X, если для любого ε>0
0
ε
(x0), (A2.3)
; δ) выполняется вклю-
0
Φ(x
) ⊂ Φε(x). (A2.4)
0
Многозначное отображение Φ называется непрерывным в смысле Хаусдорфа, если это одновременно является полунепрерывным сверху и снизу в
смысле Хаусдорфа.
Многозначное отображение Φ: X → 2
пактным в точке x
ство Φ(B(x
; δ)) компактно в Y .
0
∈ X, если существует такое δ>0,чтомноже-
0
Y
называется локально ком-
Как правило, многозначные отображения, рассматриваемые в этой книге, локально компактны, и множества Φ(x) замкнуты при каждом x ∈ X.
Для таких многозначных отображений определения полунепрерывности посредством топологических пределов и в смысле Хаусдорфа оказываются
эквивалентными. А именно, нетрудно проверить следующий факт.
A3. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 289
Пусть многозначное отображение Φ: X → 2Yлокально компактно
вточкеx
∈ X, и пусть множество Φ(x0) замкнуто. Тогда соотноше-
0
ние (A2.1) ((A2.2)) эквивалентно полунепрерывности сверху (снизу)Φв
точке x
в смысле Хаусдорфа.
0
Принимая во внимание это замечание, обычно мы не различаем вышеупомянутые понятия полунепрерывности. Также просто доказать следующее утверждение.
Пусть многозначное отображение Φ: X → 2
Y
полунепрерывно сверху
(снизу) в смысле Хаусдорфа, и Φ(x) компактно для каждого x ∈ X .Тогда
для любого компактного множества D ⊂ X его образ Φ(D) является
компактным подмножеством Y .
Подробное изложение понятий и результатов многозначного анализа
можно найти в многих книгах (см., например. [7, 39, 151]).
A3. Полунепрерывные функции
Пусть ϕ : X → R — функция, со значениями из расширенной числовой
прямой, где X — метрическое пространство,
:= [−∞,∞] — расширенная числовая прямая.
Для такой функции символ gr ϕ обозначает множество {(x, z) ∈ X ×R:
z = ϕ(x)}, которое называется графиком функции ϕ.Символомepi ϕ
обозначается множество {(x, z) ∈ X × R : z ϕ(x)}, которое называется надграфиком функции ϕ;символомhypo ϕ обозначается множество {(x, z) ∈ X ×R : z ϕ(x)}, которое называется подграфиком функции ϕ.
Функция ϕ: X →
ке x
∈ X,если,длялюбогоr<ϕ(x∗),существуетδ>0,такое,что
∗
из dist (x
,x) <δследует ϕ(x) r. Функция ϕ называется полунепрерыв-
∗
R называется полунепрерывной снизу в точ-
ной снизу, если она полунепрерывна снизу в каждой точке x
Наряду с вышеупомянутым определением может использоваться любое
из следующих эквивалентных условий:
(1) lim inf
ϕ(x) ϕ(x∗);
x→x
∗
(2) для любого r ∈ R множество {x ∈ X : ϕ(x) r} замкнуто;
(3) epi ϕ — замкнутое множество.
Функция ϕ : X →
R называется полунепрерывной сверху, если функция −ϕ полунепрерывна снизу. Отметим, что функция ϕ: X → R непрерывна тогда, и только тогда, когда она является полунепрерывной и сверху,
и снизу.
Справедливо следующее утверждение (теорема Вейерштрасса).
R := R ∪{−∞}∪{∞}:=
∈ X.
∗
290 ПРИЛОЖЕНИЕ
Полунепрерывная снизу (сверху) функция ϕ: X → R достигает своего
минимума (максимума) на любом компактном множестве D ⊂ X .
Вещественная функция ϕ: X → R называется локально ограниченной,
если sup
|ϕ(x)| < ∞ для любого ограниченного подмножества D ⊂ X.
x∈D
Для локально ограниченной функции ϕ ее нижнее замыкание ϕ
определяется следующим образом
: X → R
(x):=sup
ϕ
Пусть x
— произвольная точка из X,ипустьr<ϕ(x∗). Выберем δ>0,
∗
такое, что inf{ϕ(ξ): ξ ∈ B(x
inf{ϕ(ξ): ξ ∈ B(x; ε)}. (A3.1)
ε>0
;2δ)} >r. Тогда для любого x ∈ B(x∗; δ)
∗
имеем
(x) inf{ϕ(ξ): ξ ∈ B(x; δ)} inf {ϕ(ξ): ξ ∈B(x∗;2δ)} >r.
ϕ
Поэтому нижнее замыкание ϕ
является полунепрерывной снизу функцией.
Аналогично, для любой локально ограниченной функции ϕ : X → R
ее верхнее замыкание
ϕ, определенное формулой
ϕ(x):=inf
sup{ϕ(ξ): ξ ∈ B(x; ε)}, (A3.2)
ε>0
является полунепрерывной сверху функцией.
A4. Выпуклые функции
Функция ϕ : Rn→ R называется собственной, если domϕ := {x ∈ Rn:
ϕ(x) < ∞} = ∅ и ϕ(x) = −∞ для всех x ∈ R
пуклой (замкнутой), если множество epi ϕ выпукло (замкнуто) в простран-
n
стве R
× R.Еслиϕ — собственная функция, то условие выпуклости этой
функции эквивалентно следующему неравенству:
(1)
ϕ(λx
+(1−λ)x
которое удовлетворяется при всех x
Функция ϕ
∗
: Rn→ R, определенная равенством
ϕ
(2)
) λϕ(x
∗
(s):= sup
x∈R
(1),x(2)
[x, s−ϕ(x)], (A4.1)
n
n
. Функция ϕ называется вы-
(1)
)+(1− λ)ϕ(x
(2)
),
∈ Rnи λ ∈ [0, 1].
называется сопряженной к функции ϕ. Справедливо следующее утверждение относительно взаимосвязи между функцией ϕ и сопряженной к ней
функцией ϕ
∗
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]