Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
A6. ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 301
В случае, когда tk=0, соотношение (A6.8) может быть получено из
неравенства
ϕ
(λ, y, zk) −ϕk(0,y,zk) 0,
k
которое справедливо для всех λ ∈ [0, 1] и y ∈ Q.
Для всех z из некоторой окрестности z
справедливо
k
v(z)+kz −t
2 v(zk)+kzk− tkyk2.
kyk
Поэтому
v(z) v(z
)+sk,z−zk−kz −zk2,
k
что приводит к требуемому заключению, в силу определения проксимального субградиента, для z
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ A6.1. Можно снова принять, без потери
общности, что y
=0. Так как функция h → d−v(0; h) полунепрерывна
0
= zkи s∗= sk. Теорема A6.2 доказана.
∗
снизу, а множество H компактно, из условия (A6.1) вытекает, что
−
v(0; h) >ρ, ∀h ∈ H, (A6.9)
D
для некоторого положительного числа ρ.
Зафиксируем ε>0. Из (A6.9) и полунепрерывности снизу функции v
следует, что существуют такие α ∈ (0,ε/2) и τ>0,чтоρτ < ε, B
τH ⊂ B
и для любого h ∈ H , t ∈ (0,τ], y ∈ B2αсправедливо
α
2α
⊂ Y ,
v(th) >v(0) + tρ, v(y) >v(0) −ε. (A6.10)
Пусть Q = τH и β<α. Тогда из первого соотношения в (A6.10)
вытекает r
y
∈ [0,Q]+Bβ⊂ Bεи sε∈ D−v(yε) таких, что
ε
>τρ. Применяя теорему A6.2, выводим существование
0
,τh >τρ, ∀ h ∈ H.
s
ε
Следовательно, соотношение (A6.2) доказано.
Чтобы получить оценку (A6.3), сошлемся на доказательство теоремы A6.2, которая справедлива для D =[0,Q]+B
для r
∈ (ρτ, ε).Отметим,чтоD ⊂ B2α.Точкаyεвведена в текущем доказа-
∗
тельстве, как z
, (для некоторого k, см. доказательство теоремы A6.2), где z
k
при μ ∈ (0,α) и
μ
минимизирует функцию ϕk(tk,yk, ·) на множестве D. Из (A6.7) вытекает
k
) −r∗ v(zk) −r∗tk ϕk(tk,yk,zk) v(0).
v(z
k
Поэтому v(z
)=v(yε) v(0) + ε. Таким образом, эта оценка, вместе со
k
вторым неравенством в (A6.10), доставляет (A6.3). Теорема A6.1 доказана.
302 ПРИЛОЖЕНИЕ
A7. Дифференциальные включения
Рассмотрим многозначное отображение [0,θ] ×Rm (t, y) →
→ E(t, y) ⊂ R
(a) E(t, y) — выпуклое компактное множество в R
×R
m
, удовлетворяющее следующим условиям:
m
m
;
при всех (t, y) ∈ [0,θ]×
(b) многозначное отображение E полунепрерывно сверху в смысле Хаус-
дорфа.
Пусть (t
) ∈ [0,θ] × Rm.Дляν>0 полагаем
0,y0
I
):=[t0− ν, t0+ ν] ∩ [0,θ].
ν(t0
Известно, что существуют положительное число ν и абсолютно непрерыв-
ная функция y(·): I
) → Rm, которая удовлетворяет условию y(t0)=y
ν(t0
и дифференциальному включению
˙y(t) ∈ E(t, y(t)) (A7.1)
при почти всех t ∈ I
Этот факт будет доказан ниже. Для этого удобно ввести некоторые
обозначения. Для ε ∈ (0, 2] и (t, y) ∈ [0,θ] ×R
ν(t0
).
m
обозначим через Oε(t, y)
множество
{(τ,η) ∈ [0,θ] ×R
m
: |t −τ| ε, y −η ε}.
Определим множество
E(t, y; ε):=co{e + b: e ∈ E(τ, η), (τ, η) ∈ O
Выберем и зафиксируем точку (t
E
:= E(t0,y0;2),λ:= max{e: e ∈ E},ν:= λ−1.
0,y0
) ∈ [0,θ] × Rm.Пусть
(t, y), b ε}.
ε
0
Обозначим через Sol
y(·): I
) → Rm, которые удовлетворяют условию y(t0)=y0идиф-
ν(t0
множество абсолютно непрерывных функций
ε
ференциальному включению
˙y(t) ∈ E(t,y(t); ε), для почти всех t ∈ I
). (A7.2)
ν(t0
A7.1. Утверждение
Пусть ε
∈ (0, 1], yk(·) ∈ Sol
k
Тогда из последовательности {y
(k =1, 2,...) и εk→ 0,когдаk →∞.
ε
k
∞
(·)}
k
можно извлечь сходящуюся подпо-
1
следовательность, предел y(·) которой удовлетворяет включению (A7.1)
при почти всех t ∈ I
ν(t0
).
A7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ 303
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нетрудно проверить, что yk(t) − y0 1 для
всех t ∈ I
− y
> 1 для некоторого k и t∗∈ Iν(t0).Предположим,чтоt∗>t0.
0
Тогда существует такой момент τ ∈ [t
(t) −y0 1 для любого t ∈ [t0,τ].Справедливо,что
и y
k
Поэтому y
− y
< 1, что противоречит выбору τ .
0
) и k =1, 2,... Предположим противное: пусть yk(t∗) −
ν(t0
+ ν),чтоyk(τ) − y0 =1
0,t0
(t)) ∈ O1(t0,y0),
(t, y
k
E(t, y
(τ) − y0 λ(τ − t0) <λν 1. Следовательно, yk(τ) −
k
(t); εk) ⊂ E(t0,y0;1+εk) ⊂ E(t0,y0;2),
k
(t) λ, для почти всех t ∈ [t0,τ].
˙y
k
Таким образом, получили, что
yk(t) −y0 1, ˙yk(t) λ
max
t∈Iν(t0)
для почти всех t ∈ I
ность {y
интервале I
k
∞
(·)}
содержит подпоследовательность, которая равномерно на
1
) сходится к пределу y(·). Чтобы упростить обозначения,
ν(t0
). Согласно теореме Арцела, последователь-
ν(t0
полагаем
lim
max
k→∞
t∈Iν(t0)
Предельная функция y(·): I
yk(t) −y(t) =0.
) → Rmудовлетворяет условию Лип-
ν(t0
шица, поэтому она абсолютно непрерывна. Пусть τ — внутренняя точка I
), в которой функция y(·) является дифференцируемой. Выберем
ν(t0
положительное число α. Так как многозначное отображение E полунепрерывно сверху в смысле Хаусдорфа, заключаем, что для достаточно большого
номера K и для достаточно малого δ>0 выполняется
(t); εk) ⊂ E(τ, y(τ)) + Bα,
E(t, y
k
∀k K, ∀t ∈ [τ − δ, τ + δ].
Тем самым получено, что ˙y
−δ, τ +δ].Пустьτ
∈ [τ −δ, τ +δ], τ= τ. Из вышеупомянутого соотношения
и выпуклости множества E(τ, y(τ )) + B
y
(t) ∈ E(τ,y(τ)) + Bαдля почти всех t ∈ [τ −
k
следует, что
α
(τ) −yk(τ)
k
τ− τ
∈ E(τ,y(τ)) + B
.
α
Очевидно, что, переходя здесь к пределу при k →∞, получаем
) −y(τ)
y(τ
τ− τ
∈ E(τ,y(τ)) + B
.
α
304 ПРИЛОЖЕНИЕ
Множество E(τ, y(τ)) + Bαзамкнуто, следовательно, ˙y(τ) ∈ E(τ, y(τ)) +
+ B
. Из того, что α — произвольное положительное число, заключаем, что
α
˙y(τ) ∈ E(τ,y(τ)). Таким образом, утверждение A7.1 доказано.
Используя это утверждение, можно доказать существование решений дифференциального включения (A7.1). Пусть задана точка (t
∈ [0,θ] ×R
ни I
m
. Как и в утверждении A7.1, определим интервал време-
). Выберем последовательность положительных чисел δk(k =
ν(t0
0,y0
) ∈
=1, 2,...), которая сходится к нулю, когда k →∞. Введем последователь-
ность кусочно-линейных функций y
y
(t)=yk(t0+ iδk)+e
k
при t ∈ [t
(i,k)
где e
∈ E(t0+ iδk,yk(t0+ iδk)),и
(·): Iν(t0) → Rmследующим образом:
k
)=y0;
y
k(t0
(i,k)
(t −t0− iδk),
+ iδk,t0+(i +1)δk),
0
где e
(t)=yk(t0− iδk)+e
y
k
при t ∈ (t
∈ E(t0−iδk,yk(t0−iδk)). Как и в доказательстве утверждения A7.1,
i,k
− (i +1)δk,t0− iδk],
0
(t −t0+ iδk),
i,k
получаем, что
(t) −yk(t) λ|t− t| для любых t,t∈ Iν(t0).
y
k
По определению, для t ∈ (t
(t)=e
(i,k)
где ε
˙y
k
= λδk(отметим, что λ 2). Точно так же, ˙yk(t) ∈ E(t, yk(t); εk)
k
для почти всех t ∈ [t
довательность y
(·) содержит сходящуюся подпоследовательность, предел
k
которой y(·) удовлетворяет условию (A7.1) при почти всех t ∈ I
+ iδk,t0+(i +1)δk), имеем
0
∈ E(t0+ iδk,yk(t0+ iδk)) ⊂ E(t, yk(t); εk),
− ν, t0] ∩ [0,t0]. В силу утверждения A7.1, после-
0
).Таким
ν(t0
образом, доказана справедливость следующего утверждения.
A7.2. Утверждение
Пусть многозначное отображение (t, y) → E(t, y) удовлетворяет условиям (a), (b). Тогда для любой точки (t
) ∈ [0,θ] × R
0,y0
существуют положительное число ν и абсолютно непрерывная функ-
ция y(·): I
ференциальному включению (A7.1) при почти всех t ∈ I
) → Rm, которая удовлетворяет условию y(t0)=y0идиф-
ν(t0
ν(t0
).
m
A8. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ 305
А теперь предположим, что, в дополнение к условиям (a), (b), многозначное отображение E удовлетворяет следующей оценке
max{e: e ∈ E(t, y)} r(t)(1 + y), (A7.3)
где [0,θ] t → r(t) ∈ R
+
— некоторая интегрируемая функция. Отметим, что это условие гарантирует, что решения дифференциального включения (A7.1) могут быть продолжены на весь интервал [0,θ]. Условие про-
должимости решений может быть сформулировано различными способами.
Например, неравенство (A7.3) может быть заменено неравенством
2
max{x, e: e ∈ E(t, y)} r(t)(1 + y
),
где, как и выше, r(·) — интегрируемая функция.
Пусть (t
абсолютно непрерывных функций y(·): [0,θ] → R
ют условию y(t
) ∈ [0,θ] × Rm.ОбозначимчерезSol (t0,y0) множество
0,y0
)=y0и дифференциальному включению (A7.1) при почти
0
m
, которые удовлетворя-
всех t ∈ [0,θ].
Из приведенных выше утверждений можно получить справедливость
следующей теоремы.
A7.3. Утверждение
Пусть многозначное отображение E удовлетворяют условиям (a), (b),
иоценке(A7.3). Тогда, для любой точки (t
ство Sol (t
Пусть (τ
(τ
) → (t0,x0), при k →∞. Тогда из последовательности функций yk(·)
k,ηk
) непусто и компактно в C([0,θ]; Rm).
0,y0
) ∈ [0,θ] × Rm, yk(·) ∈ Sol (τk,ηk)(k =1, 2,...) и
k,ηk
) ∈ [0,θ] × Rm,множе-
0,x0
(k =1, 2,...) можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел
которой содержится в Sol (t
Пусть M ⊂ [0,θ] ×R
m
).
0,y0
— компактное множество. Тогда множество
компактно в C([0,θ]; R
Sol (M ):=
m
).
(τ,η)∈M
Sol (τ, η) (A7.4)
Дифференциальные включения изучались многими авторами (см., например, [6, 32, 60, 229]). Доказательство утверждений A7.1 и A7.2 позаимствовано из книги [74].
A8. Критерии слабой инвариантности
Пусть W — локально компактное, непустое множество в Rm,т.е.для
любого w ∈ W существует такое число ε>0, что пересечение W ∩B(w; ε)
306 ПРИЛОЖЕНИЕ
замкнуто в Rm. Рассмотрим многозначное отображение
W y → P (y) ⊂ W
с локально компактным графиком
gr P := {(y,w): w ∈ P (y),y∈ W }.
Будем также предполагать, что многозначное отображение P является рефлексивным и транзитивным, т.е. оно удовлетворяет следующим условиям:
x ∈ P(x) ⊂ W, ∀x ∈ W, (A8.1)
P (y) ⊂ P (x), ∀ x ∈ W, ∀y ∈ P (x). (A8.2)
Это многозначное отображение P порождает на множестве W предпорядок следующим образом
w y ⇔ w ∈ P (y).
Пусть многозначное отображение
m
W y → Y (y) ∈ conv(R
)
полунепрерывно сверху в смысле Хаусдорфа, т. е. для любых y ∈ W и ε>0
существует δ>0,такое,чтоY (y
Напомним, что символ conv (R
выпуклых и компактных множеств в R
) ⊂ Y (y)+Bεдля всех y∈ B(y; δ) ∩ W .
m
) означает совокупность всех непустых,
m
. Рассмотрим дифференциальное
включение
˙y(t) ∈ Y (y(t)). (A8.3)
Будем использовать следующие понятия. Множество W ⊂ R
m
называется слабо инвариантным относительно дифференциального включения (A8.3), если для любой точки y
∈ W существуют положительное
0
число θ и абсолютно непрерывная функция (выживающая траектория)
y(·): [0,θ] → W , удовлетворяющая начальному условию y(0) = y
идиф-
0
ференциальному включению (A8.3) при почти всех t ∈ [0,θ].(Вэтомслучае
говорят также, что множество W обладает свойством выживаемости.)
Абсолютно непрерывная функция y(·): [0,θ] → W называется моно-
тонной траекторией дифференциального включения (A8.3), если она удовлетворяет (A8.3) при почти всех t ∈ [0,θ], и обладает следующим свой-
ством монотонности: y(t) y(s) для всех (s, t) ∈ Θ
y(t) ∈ P (y(s)), ∀(s, t) ∈ Θ
где
+
:= {(s,t) ∈ [0,θ] × [0,θ]: s t}. (A8.5)
Θ
+
,т.е.
+
, (A8.4)
A8. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ 307
Следует упомянуть, что исследования слабо инвариантных множеств
формируют большой раздел теории дифференциальных уравнений и включений и, в значительной степени, связаны с приложениями к теории управления и теории дифференциальных игр (см., например, [5, 45, 53, 84, 87,
134, 152, 186] и библиографию в этих работах).
Ниже мы докажем следующие утверждения.
A8.1. Теорема
Пусть W ⊂ R
значное отображение Y : W → conv R
m
— локально компактное множество. Пусть много-
m
полунепрерывно сверху в смысле
Хаусдорфа. Пусть W y → P (y) ⊂ W — многозначное отображение, график которого локально компактен. Предположим также, что выполнены
условия (A8.1) и (A8.2). Тогда эквивалентны следующие три условия:
(a1) T (y; P (y)) ∩ Y (y) = ∅, ∀y ∈ W , (A8.6)
где T (y; P (y)) — контингентный конус к множеству P (y) вточкеy,
т. е.
T (y;P (y)) :=h : lim inf
dist (y + δh; P (y))
δ↓0
δ
=0;
(b1) co T(y; P(y)) ∩ Y (y) = ∅, ∀y ∈ W ; (A8.7)
(c1) для любой точки y
∈ W существуют число θ>0 и монотонная
0
траектория y(·): [0,θ] → W дифференциального включения (A8.3),
удовлетворяющая начальному условию y(0) = y
.
0
A8.1. Следствие
Пусть Y : W → conv(R
отображение, и пусть W ⊂ R
m
) — полунепрерывное сверху многозначное
m
— локально компактное множество. Тогда
эквивалентны следующие три условия:
(a2) T (y; W )) ∩ Y (y) = ∅, ∀y ∈ W ;(A8.8)
(b2) coT (y;W )) ∩ Y (y) = ∅, ∀y ∈ W;(A8.9)
(c2) множество W слабо инвариантно относительно дифференциального
включения (A8.3).
Эти утверждения расширяют и усиливают известные критерии слабой
инвариантности (см., например, работу Дж. Хаддада [87]). Отметим, что
в [87] предполагалось, что многозначное отображение P непрерывно. Здесь
это предположение заменено более слабым условием полунепрерывности
308 ПРИЛОЖЕНИЕ
сверху. Заметим также, что теорема Хаддада не содержит критерия для
монотонности и инвариантности в форме соотношений (b1) и (b2).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ A8.1. Без потери общности, можно предпо-
лагать, что множество W замкнуто в R
m
.
Импликация (c1)⇒(a1) следует немедленно из определений конуса T (y; P (y)) и монотонной траектории. Импликация (a1)⇒(b1) также очевидна. Доказательство импликаций (b1)⇒(a1)⇒(c1) состоит из нескольких
шагов.
Ш
АГ 1. Введем следующие обозначения
0
W
(y):=Arg min
E(y):=coY (W
Отметим, что многозначное отображение R
y − w;
w∈W
0
(y)). (A8.10)
m
y → E(y) ∈ conv (Rm)
полунепрерывно сверху в смысле Хаусдорфа.
Выберем точку y
∈ W . Далее используются конструкции, подобные
0
тем, что были введены в параграфе A7. Итак, определим множества
E(y; ε):=co{e + b: e ∈ E(η),η∈ B(y; ε), b ε}; (A8.11)
E
:= E(y0;2)
ичисла
λ := max{e: e ∈ E
Пусть ζ ∈ [0,θ] и η ∈ B(y
; λζ).ОбозначимчерезSolε(ζ,η) множество аб-
0
солютно непрерывных функций y(·): [0,θ] → R
},θ= λ−1.
m
, которые удовлетворяют
условию y(ζ)=η и дифференциальному включению
˙y(t) ∈ E(y(t); ε), для почти всех t ∈ [0,θ]. (A8.12)
В частности, используем обозначение Sol
(ζ,η) вслучаеε =0.Изутвер-
0
ждений A7.1 и A7.2 следует, что
Sol
(ζ,η) = ∅, ∀ε ∈ [0, 1],ζ∈ [0,θ],η∈ B(y0; λζ).
ε
АГ 2. Рассмотрим индикаторную функцию множества gr P
Ш
v(y, η):=
0, (y, η) ∈ gr P,
1, (y, η) ∈ R
m
× Rm\ gr P.
(A8.13)
A8. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ 309
Обратим внимание, что функция v : Rm× Rm→{0, 1} полунепрерыв-
на снизу. Обозначим символом d
−
v(y, η; h) нижнюю производную функ-
ции η → v(y, η) по направлению h,т.е.
−
d
v(y, η; h) := liminf
v(y, η + tf) −v(y,η)
δ↓0
t
: t ∈ (0,δ],f∈ B(h; δ).
Полагаем также
−
D
v(y, η):={p ∈ Rm: p, h−d−v(y, η; h) 0, ∀h ∈ Rm}. (A8.14)
Ясно, что условие (A8.6) эквивалентно следующему
{h ∈ R
m
: d−v(y, y; h) 0}∩E(y) = ∅, (A8.15)
∀y ∈ R
m
.
Отметим также, что условие (A8.7) эквивалентно условию
co {h ∈ R
m
: d−v(y, y; h) 0}∩E(y) = ∅, (A8.16)
∀y ∈ R
m
.
Таким образом, справедливы импликации (a1)⇔(A8.15), (b1)⇔(A8.16).
Ш
АГ 3. Теперь докажем эквивалентность
(A8.15) ⇔ (A8.16). (A8.17)
Импликация (A8.15)⇒(A8.16) очевидна. Докажем импликацию
(A8.16)⇒(A8.15). Пусть выполнено условие (A8.16). Предполагаем обратное: пусть существует такая точка y ∈ R
всех h ∈ E(y). Из полунепрерывности снизу функции h → d
получаем, что
−
v(y, y; h) > 0, ∀h ∈ E(y)+Bβ,
d
m
,чтоd−v(y, y; h) > 0 для
−
v(x, x;h)
где β — некоторое положительное число. Так как многозначное отображение E полунепрерывно сверху, то существует такое число δ>0,что
E(η) ⊂ E(y)+B
ют также точка η ∈ B(y; δ) и субградиент p ∈ D
для всех η ∈ B(y; δ). Согласно теореме A6.1, существу-
β
p, h > 0, ∀h ∈ E(y)+B
−
v(y, η),такие,что
. (A8.18)
β
Рассмотрим два случая: (i) η ∈ P (y), (ii) η ∈ P (y).
310 ПРИЛОЖЕНИЕ
Случай (i). Покажем, что
v(y, η + δf) v(η, η + δf), ∀f ∈ R
Напомним, что v(y, η) ∈{0, 1} для всех y,η ∈ R
m
, ∀δ>0. (A8.19)
m
.Еслиv(η, η+δf)=1,то
неравенство (A8.19) выполнено. Пусть v(η,η +δf)=0,т.е.η + δf ∈ P (η).
Тогда из условия η ∈ P (y) и свойства транзитивности (A8.2) вытекает, что
η + δf ∈ P (y),т.е.v(y, η + δf)=0. Таким образом, неравенство (A8.19)
доказано.
Так как η ∈ P (y), а многозначное отображение P рефлексивно
(см. A8.1)), справедливо v(y, η)=0и v(η,η)=0. Из этих равенств и
неравенства (A8.19) получаем оценку
−
d
v(y, η; h) d−v(η, η; h), ∀h ∈ Rm. (A8.20)
Согласно (A8.14), имеем
−
v(y, η; h), ∀h ∈ Rm. (A8.21)
Поэтому p, h d
co {h ∈ R
p, h d
−
v(η, η; h) при всех h ∈ Rmи
m
: d−v(η, η; h) 0}⊂{h ∈ Rm: p, h 0}.
Теперь из (A8.18) и соотношения E(η) ⊂ E(y)+B
co {h ∈ R
m
: d−v(η, η; h) 0}∩E(η)=∅,
следует, что
β
что противоречит (A8.16).
Случай (ii). В этом случае v(y, η)=1. Из полунепрерывности снизу
функции v вытекает, что v(y, w)=1для всех w ∈ B(η; α),гдеα>0 —
достаточно малое число. Поэтому d
лу (A8.21), для всех h ∈ R
m
−
v(y, η; h)=0для всех h ∈ Rm.Вси-
имеет место p, h d−v(y, η; h)=0,что
противоречит (A8.18).
Эти противоречия доказывают эквивалентность (A8.17).
АГ 4. Докажем теперь, что из условия (A8.15) вытекает следующее
Ш
условие (d1): для любых (ζ, τ) ∈ Θ
существует такая траектория y(·) ∈ Sol
Пусть выполнено условие (A8.15). Предположим обратное к (d1), т.е.
пусть существуют (ζ, τ) ∈ Θ
+
y(τ ) ∈ P (η)) для всех y(·) ∈ Sol
0
(y(·)) := max{t ∈ [ζ,τ]: y(t) ∈ P (η)},
t
τ
:= max{t0(y(·)) : y(·) ∈ Solε(ζ,η)}.
∗
+
, η ∈ B(y0; λζ) ∩ W и ε ∈ (0, 1]
(ζ,η),чтоy(τ ) ∈ P (η).
ε
, η ∈ B(y0; λζ) ∩W и ε ∈ (0, 1] такие, что
(ζ,η). Полагаем
ε
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]