Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 51
функции u слабо инвариантен относительно дифференциального включения (4.26). Из следствия A8.1 мы имеем
T ((x, u(x)); epi u) ∩ E(x, u(x),s,α,ρ) = ∅.
Полагаем
α
Γ
(x, z, s):={(f,g) ∈ Rn× R : |g −s,f + F(x, z, s)| α}. (4.30)
Заметим, что
E(x, z, s, α, ρ) ⊂ Γ
Поэтому
T ((x, u(x)); epi u) ∩ Γ
Покажем, что из этого соотношения, которое имеет место при
всех α>0, вытекает (4.27). Обозначим F
случая: F
0 и F> 0.
Рассмотрим случай F
0. Принимая во внимание определение гипер-
плоскости Γ (4.2), мы можем видеть, что (f
g
= −F. С другой стороны, из определений надграфика и контингентного
0
конуса вытекает, что (f
,g) ∈ T ((x,u(x)); epi u) для любых g 0.Таким
0
α
(x, z, s).
α
(x, u(x),s) = ∅. (4.31)
= F (x, u(x),s).Возможныдва
) ∈ Γ(x, u(x),s),гдеf0=0,
0,g0
образом, мы получаем, что в рассматриваемом случае
) ∈ T ((x, u(x));epi u) ∩Γ(x, u(x),s),
(f
0,g0
т. е. условие (4.27) выполняется.
Рассмотрим случай F
> 0. Выберем 0 <α<F. Из условия (4.31)
вытекает, что
(f
) ∈ T ((x, u(x));epi u) ∩Γα(x, u(x),s).
α,gα
Из (4.30) следует, что
,s−gα− F −α.
f
α
Полагаем
(f(λ),g(λ)) := (λf
Заметим, что h(0) = −F
,λgα),h(λ):=f (λ),s−g(λ) −F.
α
< −α<0, h(1) −α, так что функция h(λ)
возрастающая. Следовательно, для некоторогоλ>0 имеет место h(λ)=0,
т. е.
(f(λ),g(λ)) ∈ Γ(x, u(x),s).
52 ГЛАВА I
Из того, что
(f(1),g(1)) ∈ T ((x, u(x)); epi u),
амножествоT ((x, u(x)); epi u) является конусом, мы получаем
(f(λ),g(λ)) ∈ T ((x, u(x)); epi u) ∩ Γ(x, u(x),s).
Таким образом, доказано, что условие (4.27) является необходимым для
того, чтобы функция u была верхним решением в смысле определения 4.8.
Докажем теперь, что условие (4.27) является достаточным для того,
чтобы надграфик полунепрерывной снизу функции u был слабо инвариантен относительно дифференциального включения (4.26).
Выберем произвольно Λ > 0 и α>0. Полагаем
ρ
:= sup
0
(x,z,s,p)
|F (x, z, s) −F (x, z, p)|−α
s −p
(4.32)
для (x, z) ∈ D
функции F (x,z, s) вытекает, что ρ
, s∈BΛ, p ∈ Rn, p = s. Из оценки (4.24) и непрерывности
Λ
0
< ∞.
Покажем, что
) ∩Γ(x,z, p) = ∅ (4.33)
0
для любых (x, z) ∈ D
E(x, z, s, α, ρ
, s ∈ BΛ, p ∈ Rn. Ясно, что это соотношение имеет
Λ
место для s = p. Таким образом, нам осталось рассмотреть случай s = p.
Полагаем
∗
f
Из (4.25) мы получаем, что (f
ния величины ρ
∗
g
−p, f∗ + F(x, z, p)=f∗,s− p + F(x, z, p) −F (x,z, s)+α =
(s −p)
:= ρ
0
s −p
вытекает, что
0
∗
,g
:= f∗,s−F (x, z, s)+α.
∗,g∗
) ∈ E(x, z, s,α, ρ0). А из определе-
= ρ
s −p+ F(x, z, p) − F(x, z, s)+α 0.
0
Аналогично, для
(p −s)
:= ρ
f
∗
0
s −p
следует, что (f
) ∈ E(x, z,s, α) и g∗−p, f∗ + F (x, z, p) 0.Таккак
∗,g∗
E(x, z, s, α) — выпуклое множество, оно содержит такую точку (f
−p, f0 + F(x, z, p)=0. В итоге мы получаем, что (f0,g0) ∈ Γ(x, z, p).
g
0
,g
:= s,f∗−F (x, z, s) −α
∗
0,g0
),что
Соотношение (4.33) доказано.
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 53
А сейчас докажем справедливость соотношения
co T ((x, z); epi u) ∩ E(x, z, s, α, ρ
для всех (x, z) ∈ D
такие (x, z) ∈ D
, s ∈ BΛ. Предположим противное, пусть существуют
Λ
и s ∈ BΛ,что
Λ
co T ((x, z); epi u) ∩ E(x, z, s, α, ρ
Тогда, согласно теореме Хана – Банаха, существуют такие (p, a)∈R
) = ∅ (4.34)
0
)=∅. (4.35)
0
n
×R
ичислоε>0,что
p, f
−ag+ ε<p, f−ag− ε (4.36)
для всех
,g
(f
) ∈ co T ((x, z); epi u), (f,g) ∈ E(x, z, s,α, ρ0).
Заметим, что (f
=0,g) ∈ co T ((x, z); epi u),гдеg— произвольное поло-
жительное число. Поэтому a 0.
Покажем теперь, что a>0. Предположим противное, т. е. пусть имеет
место a =0. Подставим в (4.36) вектора
,g
(f
) ∈ co T ((x, z); epi u)(f=0,g> 0),
,g
(f
) ∈ E(x, z, s,α, ρ0)(f=0,g= −F(x, z, s)).
Мы получаем ε<−ε, что, очевидно, является неверным. Таким образом,
мы доказали, что a>0.
Полагаем
η := max{p, f−g:(f,g) ∈ co T ((x,z); epi u)},
ν := min{p, f −g :(f, g) ∈ E(x, z,s, α,ρ
)},
0
где p = p/a. Докажем следующее:
0=η<ν. (4.37)
Действительно, из того, что множество co T((x, z); epi u) является конусом,
вытекает либо η =0,либоη = ∞. Однако равенство η = ∞ противоречит
оценкам
η<ν<∞,
первая из которых следует из (4.36), а вторая — из ограниченности множества E(x, z, s, α,ρ
). Таким образом, соотношения (4.37) доказаны.
0
54 ГЛАВА I
Используем сейчас (4.27). Пусть
,g
) ∈ co T ((x, z); epi u) ∩Γ(x, z, p).
(f
Из (4.2) получаем g
оценка p, f
−g 0.Поэтому
= p, f−F (x, z, p). Из равенства η =0вытекает
F (x, z, p) 0. (4.38)
С другой стороны, из (4.37) следует оценка ν>0. Далее, используя (4.33),
можно выбрать (f
получаем, что
,g
) ∈ E(x, z, s, α, ρ0) ∩ Γ(x, z, p). Из (4.37), (4.2) мы
F (x, z, p)=p, f
−g ν>0.
Это неравенство противоречит неравенству (4.38). Таким образом, предположение (4.35) приводит к противоречию. Соотношение (4.34) доказано.
Согласно следствию A8.1, из соотношения (4.34) вытекает, что надграфик функции u слабо инвариантен относительно дифференциального
включения (4.26), где ρ = ρ
.
0
Подобным же образом можно доказать, что полунепрерывная сверху
функция u: G → R является нижним решением уравнения (2.1) (в смысле
определения 4.8) тогда и только тогда, когда имеет место условие (4.28).
Теми же рассуждениями, что и в теоремах 3.2 и 4.3, мы получим, что и
в рассматриваемом случае минимаксное решение является одновременно
верхним и нижним решением уравнения (2.1). Непрерывная функция u
удовлетворяет паре условий (4.27) и (4.28) тогда и только тогда, когда выполняется условие (4.29). Теорема 4.9 доказана.
Заметим, в заключение, что вязкостное решение и минимаксное решение (в смысле определения 4.8) эквивалентны.
5. Кусочно-гладкие решения
Определение 4.4 рассматривает минимаксные решения в классе непрерывных функций. В то же время известны условия, при которых обобщенное (минимаксное и/или вязкостное) лежит в более узком классе функций.
Например, известно, что решение задачи Коши для уравнения Гамильтона – Якоби является липшицевой функцией, если гамильтониан и начальная функция удовлетворяют условию Липшица. Известно также, что для
большого числа задач обобщенные решения оказываются кусочно-гладкими. При этом область определения разбивается на гладкие подмногообразия,
и сужения рассматриваемой функции на эти подмногообразия дифференцируемы. Ниже показано, что кусочно-гладкая функция является обобщенным
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ 55
решением (в минимаксном и/или вязкостном смысле) тогда и только тогда, когда на всех упомянутых многообразиях эта функция удовлетворяет в
классическом смысле некоторым, определенным ниже, дифференциальным
уравнениям в частных производных первого порядка.
5.1. Кусочно-гладкие функции
Пусть u: G → R — некоторая непрерывная функция. Мы полагаем, что
эта функция является кусочно-гладкой в следующем смысле.
Предполагается, что открытая область G разбита на дифференцируемые подмногообразия M
G =
(i ∈I), т. е.
i
Mi,M
i∈I
= ∅, если i = j. (5.1)
M
i
j
Здесь I — конечное множество индексов, нумерующих подмногообра-
.
зия M
i
Обозначим
J := {i ∈ I : M
Так как G —открытоемножествовR
n-мерное подмногообразие M
является n-мерным многообразием}. (5.2)
i
n
,тосуществуетпокрайнеймереодно
,т.e.J = ∅.Еслиi ∈ I \ J,тосимволM
i
обозначает k-мерное подмногообразие, где k ∈ 0,n−1.
Введем множество
J(x):={j ∈ J : x ∈
где
Mjобозначает замыкание Mj. Поясним, что запись J (x)={i} означает,
что x ∈ M
Обозначим
, i ∈ J.Мытребуем,чтобы
i
)=J(x) для любых x,x∈ Miдля любых i ∈ I. (5.4)
J(x
J
:=
i
x∈M
J(x)=
i
Mj}, (5.3)
J(x) (5.5)
x∈M
i
(последнее равенство следует из (5.4)).
Чтобы проиллюстрировать это требование, рассмотрим два разбиения
на плоскости R
рое представлено на рис. 5.1(a), не удовлетворяет условию (5.4). Действительно, для точек x
2
, которые показаны на рис. 5.1(a) и 5.1(b). Разбиение, кото-
∈ M4и x∈ M4мы имеем J(x)={1, 2} = J(x)=
= {1, 3}. На рис. 5.1(b) показано другое разбиение. В отличие от первого
случая, многообразие M
разбито на 1-мерные подмногообразия M6, M
4
i
7
56 ГЛАВА I
Рис. 5.1a. Рис. 5.1b.
и 0-мерное подмногообразие (точку) M8. Это второе разбиение удовлетворяет условию (5.4).
Пусть i ∈ J,ипустьu
Предполагается, что функция u
стве
Mi, т. е. существует такая непрерывная функция s
u
(y) − ui(x)=s
i
o(y − x)
lim
y − x
(i)
(s
= Dui—градиентui). В этом параграфе символ X∗означает про-
странство, сопряженное к пространству X = R
обозначение M := {M
i}i∈I
ваемой функции u.
Функцию u: G → R
— сужение функции u на множество Mi.
i
непрерывно дифференцируема на множе-
i
(i)
(x),y−x+ o(y − x),
=0, когда y → x, y ∈
(i)
: Mi→ X∗,что
M
i
n
. Мы используем также
для разбиения, определенного для рассматри-
n
, удовлетворяющую приведенным выше требова-
ниям, будем называть кусочно-гладкой.
5.2. Утверждение
Кусочно-гладкая функция u дифференцируема по любому направлению,
т. е. для любых x ∈ G и f ∈ X существует предел
du(x; f ) := lim
δ↓0
u(x + δf) − u(x)
δ
. (5.6)
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ 57
Пусть M — разбиение, определенное для функции u, и пусть Mi∈M—
одно из ненульмерных многообразий, принадлежащих к этому разбиению.
Обозначим через L
зию M
вточкеx ∈Mi.Еслиx ∈ Miи f ∈ Li(x),то
i
(x) касательное подпространство к этому многообра-
i
du(x; f )=Du
для любых μ, ν ∈ J(x) сужение u на M
на M
. (Напомним, что множество J(x) определено соотношением (5.3).)
i
(x),f = Duν(x),f (5.7)
μ
непрерывно дифференцируемо
i
Заметим, что в этом определении кусочно-гладкой функции требуется,
чтобы для каждого n-мерного многообразия M
ции u на множество
Mjбыло непрерывно дифференцируемым на этом
(j ∈ J ) сужение функ-
j
множестве. Согласно утверждению 5.2, сужение функции u на многообразие M
произвольной размерности непрерывно дифференцируемо на этом
i
многообразии.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Пусть заданы x ∈ G, f ∈ X. Покажем, что значения
+
d
u(x; f ) := lim sup
−
d
u(x; f ) := lim inf
u(x + δf) − u(x)
δ↓0
u(x + δf) − u(x)
δ↓0
δ
,
δ
совпадают.
Выберем величину ε>0 так, чтобы J (y) ⊂ J(x) для любых
y ∈ B(x; ε). Выберем также сходящиеся к нулю последовательности
{α
∈ (0, 1)}
k
∞
, {βk∈ (0, 1)}
1
+
u(x; f ) = lim
d
∞
, такие, что имеют место равенства
1
u(x + αkf) −u(x)
k→∞
α
k
,
u(x + βkf) −u(x)
k→∞
β
k
,
и включения x + α
−
u(x; f ) = lim
d
f ∈ B(x;ε), x + βkf ∈ B(x; ε) имеют место для
k
всех k ∈ N (здесь N — множество всех целых положительных чисел). Так
как множество J (x) конечно, то существуют μ ∈ J (x) и ν ∈ J (x),такие,
что множества
{k ∈ N : x + α
f ∈ Mμ}, {k ∈ N : x + βkf ∈ Mν}
k
58 ГЛАВА I
являются счетными. Можно предположить, без потери общности, что
f ∈ Mμ,x+ βkf ∈ Mν∀k ∈ N.
x + α
k
Докажем, что
(μ)
,f= s
s
(μ)
где s
(ν)
и s
— градиенты функций uμ: Mμ→ R и uν: Mν→ R вточкеx.
Для определенности, предположим, что α
=0, 1,...,r
γ(k, 0) := α
Так как {x + γf : γ ∈ [α
) определены следующим образом. Полагаем
k
,γ(k, 1) := max{γ ∈ [γ(k, 0),βk]: x + γf ∈ Mμ}.
k
k,βk
(ν)
,f, (5.8)
βk.Числаγ(k, m)(m =
k
]}⊂B(x; ε), то существует индекс
j(k, 1) ∈ J(x) такой, что
x + γ(k, 1)f ∈
Mμ∩ M
j(k,1)
.
Далее, полагая,
γ(k, 2) := max{γ ∈ [γ(k, 1),β
]: x + γf ∈ M
k
j(k,1)
имеем
x + γ(k, 2)f ∈
M
j(k,1)
∩M
j(k,2)
,
где j(k,2) ∈ J (x). Продолжая эти построения, мы получим
x + γ(k, r
Заметим, что величина r
)f = x + βkf ∈ M
k
не превосходит наибольшего из элементов мно-
k
j(k,rk−1)
∩Mν.
жества J(x).
Из приведенной конструкции следует, что
}
x + γ(k, m)f ∈
M
M
j(k,0)
j(k,m−1)
= Mμ, M
∩M
j(k,m)
= Mν,
j(k,rk)
,x∈ M
j(k,m−1)
∩ M
для всех m =1, 2,...,rk.
Непрерывная дифференцируемость сужений функции u на множе-
Mjвлечет
ства
u(x + γ(k, m)f) −u(x)=[s(k, m −1),f+ h
u(x + γ(k, m)f) −u(x)=[s(k,m),f+ h
(k, m)]γ(k, m),
1
(k, m)]γ(k, m),
2
j(k,m)
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ 59
где hi(k, m) → 0 при γ(k,m) → 0,аs(k, m) —градиентвточкеx сужения
функции u на множество
M
. Мы приходим к соотношениям
j(k,m)
s(k, 0),f = s(k, 1),f+ h(k, 1) = s(k,2),f+h(k,1)+h(k,2) = ··· =
= s(k,r
),f+ h(k,1) + h(k, 2) + ···+ h(k, rk),
k
где h(k, m)=h
(k, m) − h1(k, m).Таккакs(k,0) = s
2
(μ)
, s(k, rk)=s
(ν)
то, переходя к пределу при k →∞, получаем равенство (5.8).
Напомним, что x ∈
Mμ, x ∈ Mν, x + αkf ∈ Mμи x + βkf ∈ Mν.
Таким образом,
u(x + α
u(x + β
где h
(k) → 0 при k →∞. Требуемое равенство d+u(x; f )=d−u(x; f )
i
f) −u(x)=[s
k
f) −u(x)=[s
k
(μ)
,f+ h1(k)]αk,
(ν)
,f+ h2(k)]βk,
следует из равенства (5.8). Итак, доказано, что функция u дифференцируема
по направлениям.
Докажем теперь равенство (5.7). Пусть x ∈ M
и f ∈ Li(x). Соглас-
i
но определению касательного вектора, для любого δ>0 найдется такой
вектор h(δ) ∈ X,что
x +(f + h(δ))δ ∈ M
Выберем произвольно j ∈ J(x). При выполнении условия (5.4) существует
такой вектор h
Так как x ∈
(δ) ∈ X,что
x +(f + h
(δ))δ ∈ Mj, lim
Mjи сужение u на Mjнепрерывно дифференцируемо, то
u(x + δ(f + h(δ)) −u(x)
lim
δ↓+0
, lim
i
δ
h(δ) =0.
δ→0
h(δ) =0.
δ→0
= s
(j)
,f,
,
(j)
здесь s
—градиентвточкеx сужения функции u на множество Mj.Функция u удовлетворяет условию Липшица, поэтому этот предел совпадает с
производной по направлению du(x; f ). Этим равенство (5.7) доказано.
Пусть u
— сужение u на Mi. Требуется доказать, что функция u
i
непрерывно дифференцируема на дифференцируемом многообразии Mi.
Пусть m — размерность многообразия M
m
⊃ Y y → ui(ψ(y)) ∈ R,гдеY — некоторое открытое множество
R
. Рассмотрим функцию
i
i
60 ГЛАВА I
из Rm,иψ : Y → Mi⊂ Rn— непрерывно дифференцируемая функция, которая определяет систему локальных координат на M
где η ∈ R
m
,иDyψ(y): Rm→ Rn— производная функции ψ вточкеy. Заметим, что f — это касательный вектор к многообразию M
Выберем произвольно индекс μ ∈ J
условием (5.5)). Полагаем ζ(y)=s
(множество Jiбыло определено выше
i
(μ)
(ψ(y)). Как было доказано выше, мы
.Пустьf = Dyψ(y)η,
i
вточкеξ = ψ(y).
i
имеем
ui(ψ(y + δη)) − ui(ψ(y))
lim
δ↓0
δ
= lim
δ↓0
=
ui(ψ(y)+δf + δh(δ)) −ui(ψ(y))
δ
= ζ(y),f.
Таким образом мы получили, что линейное отображение
m
η →ζ(y),Dψ(y)η∈R
R
m
является производной функции y → ui(ψ(y)). Оно может быть переписано
в следующем виде
(ψ(y))
∂u
ζk(y)
i
∂y
∂ψ
∂y
,η∈ Rm,
j
(y)
k
,j=1,...,m.
j
где
∂u
R
(ψ(y))
i
∂y
j
m
η →
n
=
k=1
Преобразование этого выражения, соответствующее изменению локальных
координат на M
, является тензором типа (0,1) (см., например, [156]).
i
Поэтому последнее равенство определяет компоненты градиента функции y → u
(ψ(y)). Отметим также, что этот градиент непрерывен по па-
i
раметру y ∈ Y .
Утверждение 5.2 доказано.
5.3. Утверждение
Пусть x ∈ M
, Li(x) — касательное пространство к многообразию M
i
вточкеx, ui— сужение кусочно-гладкой функции u на Mi, Dui(x) —
градиент функции u
где E
p
— алгебраическое дополнение Eв X∗. Пусть p∈ E, s∈ Eи
+ s∈ D−u(x) ∪D+(x).Тогдаp= Dui(x).
: Mi→ R вточкеx. Введем следующие обозначения
i
:= {s ∈ X∗: s, f =0, ∀f ∈ Li(x)}, (5.9)
E
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]