Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
3. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ 31
Таким же образом доказывается, что существует траектория
(2)
(x
δ
(2)
для которой z
за шагом, для i =2, 3,...,[τ/δ],топридемкзаключению,чтосуществует
(t2)=u(x
δ
(·),z
(2)
(·)) ∈ Sol (t1,x
δ
(2)
(t2)). Если мы продолжим этот процесс, шаг
δ
(1)
δ
(t1),z
(1)
δ
(t1)),
такая траектория
(x
(·),zδ(·)) ∈ Sol (0,x0,z0,s),
δ
для которой справедливо
z
(iδ)=u(xδ(iδ)) i ∈ 0, [τ/δ]. (3.3)
δ
Итак, для любого δ ∈ (0,τ) существует такая траектория (x
которая удовлетворяет равенствам (3.3). Рассмотрим последовательность
чисел { δ
тельность траекторий {(x
∞
}
, которая стремится к нулю, и соответствующую последова-
k
1
δ
k
(·),z
δ
(·))}
k
∞
. Как известно (см. параграф A7),
1
(·),zδ(·)),
δ
указаннаяпоследовательностьтраекторийсодержитподпоследовательность,
сходящуюсяк некоторойпредельной траектории (x(·),z(·))∈Sol (0,x
0,z0
,s),
и для предельной траектории условие z(t)=u(z(t)) справедливо
при t ∈ [0,τ]. Таким образом, мы видим, что график функции u слабо ин-
вариантен относительно дифференциального включения (2.6). Теорема 3.2
доказана.
3.3. Верхние и нижние характеристические дифференциальные
включения
Как уже было упомянуто в пункте 2.5, существует большая свобода
выбора многозначных отображений E для характеристических включений,
участвующих в определении минимаксных решений. Подобная же ситуация имеет место и для верхних и нижних решений. Это обстоятельство
оказывается полезным во многих случаях. Оно делает возможным выбрать
дифференциальное включение, наиболее удобное для каждого конкретного
случая уравнения в частных производных первого порядка.
Рассмотрим следующее дифференциальное включение
+
(x(t),z(t),ψ), (3.4)
+
где E
— произвольное многозначное отображение, удовлетворяющее усло-
виям (i), (ii), (iii
(˙x(t), ˙z(t)) ∈E
+
), (iv+), определенным в пункте 2.5.
Ниже, в теореме 4.3, будет доказано, что верхнее решение уравнения (2.1) может быть определено, как полунепрерывная снизу функция u : G → R, такая, что для любого ψ ∈ Ψ ее надграфик слабо инвариантен относительно дифференциального включения (3.4).
32 ГЛАВА I
Аналогично, нижнее решение может быть определено как полунепрерывная сверху функция u: G → R, подграфик которой слабо инвариантен
относительно дифференциального включения
(˙x(t), ˙z(t)) ∈ E
для любого ψ ∈ Ψ.ЗдесьE
−
обладающее свойствами (i), (ii), (iii
−
(x(t),z(t),ψ), (3.5)
— произвольное многозначное отображение,
−
), (iv−).
Эти определения эквивалентны определению 3.1.
3.4. Уравнения, выпуклые относительно производных
Рассмотрим характеристические включения для случая, когда функция F (x, z, s) выпукла относительно переменной s. Чтобы определить
верхние, нижние и минимаксные решения, можно использовать общие
определения, в частности, использовать характеристические включения вида (2.5), (2.7). С другой стороны, выпуклость функции F (x,z, ·) позволяет
ввести конструкции, более удобные для данного случая, и демонстрирует
некоторые связи с динамической оптимизацией.
Определим сопряженную функцию к функции F (x, z, ·)
∗
F
(x, z, f ):= sup
А также определим эффективное множество функции F
f,s−F(x, z, s).
n
s∈R
∗
(x, z, ·) спомощью
соотношения
D(x, z):=domF
∗
(x, z, ·)={f ∈ Rn: F∗(x, z, f ) < ∞}.
Из условия Липшица (2.2) следует, что
f ρ(x, z).
sup
f∈D(x,z)
Заметим, что множество D(x, z) выпукло. Предположим дополнительно,
что существует такая непрерывная действительная функция r(x, z),дляко-
торой
∗
(x, z, f ) r(x, z), ∀f ∈ D(x, z).
F
Считаем также, что функция r(x, z) является неубывающей по переменной z.
Введем в рассмотрение множество
−
E
(x, z)={(f,g): f ∈ D(x, z),F∗(x, z, f ) g r(x, z)}.
∗
Это множество является частью надграфика функции F
ство gr(x, z) выделяет некоторое ограниченное множество в epi F
(x, z, ·), а неравен-
∗
(x, z, ·).
3. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ 33
Покажем, что многозначное отображение (x, z) → E−(x, z) удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii
Действительно, функция F
−
), (iv−).
∗
(x, z, f ) является верхней огибающей семейства непрерывных функций. Следовательно, она является полунепрерывной сверху. Значит многозначное отображение (x, z) → E(x, z) полунепрерывно сверху. Из того, что функция F
жество E
функция z → F
для z
условию (iii
ного факта выпуклого анализа, имеет место равенство
Это равенство может быть переписано в следующем виде
−
(x, z) выпукло тоже. Условие монотонности влечет за собой, что
∗
z. Таким образом, многозначное отображение E−удовлетворяет
(x, z, f ) —неубывающая,азначит,E−(x, z) ⊆ E−(x, z)
−
). Так как функция F(x, z, ·) выпукла, то, вследствие извест-
f,s−F
sup
n
f∈R
max
(f,g)∈E−(x,z)
f,s−g= F(x, z, s).
Так как в рассматриваемом случае многозначное отображение E
сит от параметра ψ, то последнее равенство показывает, что многозначное
отображение E
Итак, мы доказали, что многозначное отображение E
всем условиям (i), (ii), (iii
−
удовлетворяет условию (iv−).
−
), (iv−). Следовательно, нижнее решение мо-
∗
(x, z, ·) выпукла, следует, что мно-
∗
(x, z, f )= F(x, z, s).
−
не зави-
−
удовлетворяет
жет быть определено как полунепрерывная сверху функция u: G → R,
надграфик которой слабо инвариантен относительно дифференциального
включения
(˙x, ˙z) ∈ E
−
(x, z). (3.6)
Для дифференциального включения (3.6) можно сформулировать задачу динамической оптимизации таким образом, что функция оптимального
результата для нее совпадет с минимаксным решением следующей краевой
задачи
F (x, u, Du)=0,x∈ G, u(x)=σ(x),x∈ ∂G, (3.7)
где ∂G — это граница области G,аσ(x) — заданная краевая функция.
Опуская детали, опишем эту задачу следующим образом. Пусть траектория (x(t),z(t)) (0 t τ ) дифференциального включения (3.6) удовле-
творяет начальному условию x(0) = x
∈ G и терминальному (конечному)
0
условию z(τ)=σ(x(τ)).Здесьτ — момент времени, в который впервые выполняется условие x(τ ) ∈ ∂G. На множестве траекторий, которые удовлетворяют упомянутым краевым условиям, мы определим функционал вида
τ
γ(x(·),z(·)) := z(0) = σ(x(τ)) −
˙z(t)dt.
0
34 ГЛАВА I
Пусть u(x0) — максимальное значение этого функционала на рассматриваемом множестве траекторий. Таким образом, определена функция G x
→ u(x
) ∈ R, которая оказывается минимаксным (и вязкостным) решением
0
→
0
в задаче (3.7).
Отметим еще раз, что это описание является только схемой и некоторые
детали требуют дальнейших разъяснений. С другой стороны, множество
типичных краевых задач и задач Коши хорошо укладываются в эту схему
(они будут рассмотрены в последующих параграфах).
В предложенных конструкциях можно выбрать любую функцию r(x,z),
которая удовлетворяет сделанным выше предположениям. Величина u(x
)
0
не зависит от выбора допустимой в этом смысле функции r(x, z).Мы
ввели ограничение g r(x,z), чтобы иметь дело с дифференциальным
включением с компактным множеством E
ствительности же в качестве этого множества рассматривается надграфик
функции F
∗
(x, z, ·).
−
(x, z) в правой части, в дей-
3.5. Уравнения, линейные по части производных
Линейные уравнения вида (2.12) и уравнения Гамильтона – Якоби (1.6)
являются специальными случаями уравнений вида
m
∂u
hi(ξ,x)+H(ξ, x,z,Dxu)=0. (3.8)
∂ξ
i
i=1
m
Здесь ξ ∈ R
непрерывны, G — открытая область в R
на G × R ×R
, x ∈ Rn. Предполагается, что функции G (ξ, x) → hi(ξ,x))
n
, не возрастает по переменной z и удовлетворяет условию
m+n
; функция H непрерывна
Липшица
|H(ξ,x,z, p) −H (ξ, x,z,q)| ρ(ξ, x,z)p −q (3.9)
n
для всех (p, q) ∈ R
Пусть x := (ξ,x) ∈ R
× Rn,гдеρ(ξ,x,z) — непрерывная функция на G × R.
m
× Rn, s := (ζ,s) ∈ Rm× Rn.
Ясно, что при названных условиях функция
m
F (x, z, s)=
hi(ξ,x)ζi+ H(ξ, x, z, s)
i=1
удовлетворяет предположениям, сформулированным в пункте 2.1. Заметим,
что функция F удовлетворяет условию Липшица
|F (x, z, s
) −F(x, z, s)| ρ(ξ, x,z) s− s,
где ρ(ξ, x,z)=h(ξ,x)+ ρ(ξ,x, z).
3. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ 35
Для уравнения (3.8) мы можем рассмотреть следующее дифференциальное включение
(˙ξ, ˙x, ˙z) ∈E(ξ, x, z, ζ, s),
E(ξ, x, z, ζ, s)={(h, f, g) ∈ R
m
× Rn× R :h2+ f2 ρ(ξ, x, z),
g = ζ,h+ s,f−H(ξ,x,z,s)}.
Эта конструкция следует из общей схемы, предложенной в пункте 2.3. Однако, принимая во внимание структуру уравнения (3.8), мы можем ввести
для этого уравнения более удобное характеристическое включение вида
˙
ξ = h(ξ,x),
(˙x, ˙z) ∈ E(ξ, x,z,ψ). (3.10)
Верхнее решение уравнения (3.8) может быть определено как такая
полунепрерывная снизу функция G (ξ, x) → u(ξ, x) ∈ R, у которой при
каждом ψ ∈ Ψ подграфик слабо инвариантен относительно дифференциального включения (3.10), где многозначное отображение E удовлетворяет
условиям (j), (jj), (jjj
+
), (jv+), данным ниже (они аналогичны соответству-
ющим условиям из пункта 2.5).
Таким же образом нижнее решение уравнения (3.8) может быть определено как полунепрерывная сверху функция u(ξ, x), такая, что при любом ψ ∈ Ψ ее подграфик слабо инвариантен относительно дифференциального включения (3.10), где многозначное отображение E удовлетворяет
условиям (j), (jj), (jjj
−
), (jv−).
График минимаксного решения должен быть слабо инвариантен относительно дифференциального включения (3.10), в котором E удовлетворяет
условиям (j), (jj), (jjj
Итак, пусть (ξ,x,z, ψ) → E(ξ, x,z, ψ) ⊂ R
+
), (jv+), (jjj−), (jv−).
n
×R — многозначное отоб-
ражение, определенное для всех (ξ, x) ∈ G, z ∈ R, ψ ∈ Ψ,гдеΨ —некоторое непустое множество. Упомянутые выше требования к многозначному
отображению E формулируются следующим образом:
(j) для любых (ξ,x) ∈ G, z ∈ R, ψ ∈ Ψ множество E(ξ,x,z, ψ) выпукло и
компактно в R
n
× R;
(jj) для любого ψ ∈ Ψ многозначное отображение (ξ, x, z) → E(ξ,x,z, ψ)
полунепрерывно сверху;
+
(jjj
) для любого ψ ∈ Ψ, (ξ,x) ∈ G, z zилюбых(f,g) ∈ E(ξ, x,z,ψ)
существуют (f, g
) ∈E(ξ, x,z,ψ),такие,чтоg g;
36 ГЛАВА I
(jjj−) для любого ψ ∈ Ψ, (ξ, x) ∈ G, z zилюбых(f, g) ∈
∈ E(ξ,x,z
+
(jv
) для любых (ξ,x) ∈ G, z ∈ R и s ∈ Rnнайдется ψ0∈ Ψ такое, что
H(ξ,x,z, s)=min{f,s−g :(f,g) ∈ E(ξ,x,z, ψ
,ψ) существуют (f, g) ∈E(ξ, x,z,ψ),такие,чтоg g;
0
)}
min{f, s−g :(f,g) ∈ E(ξ,x,z, ψ)}
при всех ψ ∈ Ψ;
−
(jv
) для любых (ξ,x) ∈ G, z ∈ R и s ∈ Rnнайдется ψ0∈ Ψ такое, что
H(ξ,x,z, s)=max{f,s−g:(f,g) ∈ E(ξ,x,z, ψ
)}
0
max{f, s−g :(f,g) ∈ E(ξ,x,z, ψ)}
при всех ψ ∈ Ψ.
Если многозначное отображение E удовлетворяет свойствам (j), (jj),
+
(jjj
) (соответственно, (j), (jj), (jjj−)), тогда, очевидно, многозначное отоб-
ражениеE, определенное равенством
E(x, z,ψ):={h(ξ,x)}×E(ξ, x,z,ψ)
удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii
мулированным в пункте 2.5.
Нетрудно установить, что (jv
нение (iv
z ∈ R, s =(ζ,s) ∈ R
+
) (соответственно (iv−)). Действительно, пусть x =(ξ,x) ∈ G,
m
× Rn.Следуя(jv+), мы имеем
+
) (соответственно, (i), (ii), (iii−)), сфор-
+
) (соответственно (jv−)) влечет выпол-
min{h, ζ + f,s−g :(h, f, g) ∈E(x, z,s)} =
max
ψ∈Ψ
= h(ξ,x),ζ +max
min{f,s−g:(f,g) ∈ E(ξ,x,z, ψ)} =F (x, z, s).
ψ∈Ψ
Заметим в заключение, что множество E(ξ,x,z,s) вида
E(ξ, x, z, s):={(f, g) ∈ R
удовлетворяет всем условиям (j), (jj), (jjj
чае ψ = s ∈ R
n
=Ψ.
n
×R : f ρ(ξ,x,z),g= f,s−H(ξ,x,z, s)}
+
), (jjj−), (jv+), (jv−). В этом слу-
(3.11)
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 37
4. Критерии слабой инвариантности минимаксных
решений
Исследования минимаксных решений существенно опираются на методы негладкого анализа и, одновременно, обогащают последний новыми
результатами. На инфинитезимальном уровне можно заметить двойственность различных форм определений при различных подходах к определению понятия обобщенного решения, включая двойственность определений
минимаксного и вязкостного решений. Так, ниже, мы дадим определения
минимаксных решений в инфинитезимальной форме, использующие контингентные конуса и неравенства для производных по направлению. Доказана эквивалентность определений в различных формах. Доказано также,
что вязкостные решения, введенные М. Дж. Крэндаллом и П. Л. Лионсом,
эквивалентны минимаксным решениям.
4.1. Определения
Напомним некоторые концепции негладкого анализа и приведем необходимые нам определения. Эти конструкции более подробно представлены
в приложении, в параграфе A5.
Пусть u : G → R — некоторая вещественная функция, определенная на
открытом множестве G ⊂ R
гентный (тангенциальный) конус к надграфику epi u вточке(x, z) (см. приложение, параграф A5). Аналогично, символ T ((x, z); hypo u) обозначает
контингентный (тангенциальный) конус к подграфику hypo u вточке(x, z).
Мы обозначаем через T (u)(x) контингентный (тангенциальный) конус
к графику функции u вточке(x,u(x)) ∈ G×R, т.е., следуя (A5.12), (A5.13)
мы полагаем
T (u)(x):={(f,g) ∈ R
где gr u := {(x, u(x)): x ∈ G} — график функции u.
При формулировке критериев, характеризующих минимаксные решения, мы используем также следующее определение
Γ(x, z, s):={(f,g) ∈ R
Напомним определения верхних и нижних производных по направлению, субдифференциалов и супердифференциалов. Рассмотрим величины
−
d
u(x; f ) := lim
+
u(x; f ) := lim
d
inf{δ−1[u(x+δf)−u(x)] : δ ∈ (0,ε), f −f ε}, (4.3)
ε↓0
sup{δ−1[u(x+δf)−u(x)] : δ ∈ (0,ε), f −f ε}. (4.4)
ε↓0
n
.СимволT ((x, z); epi u) обозначает контин-
n
×R : lim inf
δ↓0
δ−1dist ((x+δf, u(x)+δg); gr u)=0},
n
× R : g = f,s−F (x, z, s)}. (4.2)
(4.1)
38 ГЛАВА I
Эти соотношения определяют нижнюю и верхнюю производные функции u
вточкеx ∈ G по направлению f ∈ R
Множество D
−
u(x) (соответственно множество D+u(x))), определен-
n
.
ное равенством (4.5) (соответственно равенством (4.6)),
−
D
u(x):={s ∈ Rn: s, f −d−u(x; f ) 0, ∀f ∈ Rn}, (4.5)
+
u(x):={s ∈ Rn: s, f −d+u(x; f ) 0, ∀f ∈ Rn} (4.6)
D
называется субдифференциалом (соответственно супердифференциалом)
функции u вточкеx ∈ G. Элементы множества D
ства D
+
u(x)) называются субградиентами (соответственно суперградиен-
−
u(x) (множе-
тами).
4.2. Эквивалентные критерии
Рассмотрим различные определения верхних, нижних и минимаксных
решений. Ниже приведены три списка. Первый (соответственно, второй и
третий) список содержит различные определения верхнего (соответственно, нижнего и минимаксного) решения. Теорема 4.3 утверждает, что все
критерии в этих списках эквивалентны. Определения в различных (двойственных) формах позволяют нам взглянуть на одно и то же понятие с
различных точек зрения и выработать дополнительные представления для
изучения обобщенных решений.
Рассмотрим следующие свойства полунепрерывной снизу функции u: G → R.
О
ПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРХНИХ РЕШЕНИЙ:
(U1) для любых x
∈ G, z0 u(x0) и s ∈ Rnсуществует липшицевая
0
функция (x(·),z(·)) : [0,τ] → G ×R, определенная на интервале [0,τ]
(где τ — некоторое положительное число), такая, что выполняется на-
чальное условие (x(0),z(0)) = (x
t
z(t)=z
+
[˙x(ζ),s−F(x(ζ),z(ζ),s)]dζ u(x(t)) (4.7)
0
0
), и неравенство
0,z0
имеет место для t ∈ [0,τ];
(U2) для произвольно выбранного параметра ψ ∈ Ψ надграфик функции u
слабо инвариантен относительно дифференциального включения
+
(˙x(t), ˙z(t)) ∈E
(x(t),z(t),ψ), (4.8)
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 39
здесь и в (U3), (U4), (U6) мы обозначаем через E+произвольное мно-
гозначное отображение, которое удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii
+
(iv
), сформулированным в пункте 2.5;
+
(U3) T((x, u(x)); epi u) ∩E
(U4) co T((x, u(x)); epi u) ∩E
(U5) F(x, u(x),s) 0 для всех x ∈ G и s ∈ D
−
(U6) inf{d
u(x; f ) − g :(f, g) ∈ E+(x, u(x),ψ)} 0 для всех x ∈ G
(x, u(x),ψ) = ∅ для всех x ∈G и ψ ∈ Ψ;
+
(x, u(x),ψ) = ∅ для всех x ∈G и ψ ∈ Ψ;
−
u(x);
и ψ ∈ Ψ;
−
(U7) inf{d
и s ∈ R
u(x; f ) −s, f + F (x, u(x),s): f ∈ Rn} 0 для всех x ∈ G
n
.
Аналогично, для полунепрерывной сверху функции u: G → R мы
рассмотрим следующие свойства, которые определяют нижнее решение.
ПРЕДЕЛЕНИЯ НИЖНИХ РЕШЕНИЙ:
О
(L1) для любых x
∈ G, z0 u(x0) и s ∈ Rnсуществует липшицевая
0
функция (x(·),z(·)): [0,τ] → G × R, определенная на некотором ин-
тервале [0,τ], τ>0, такая, что (x(0),z(0)) = (x
t
z(t)=z
+
[˙x(ζ),s−F(x(ζ),z(ζ),s)]dζ u(x(t)) (4.9)
0
0
), и неравенство
0,z0
+
),
имеет место для t ∈ [0,τ];
(L2) для произвольно выбранного параметра ψ ∈ Ψ подграфик функции u
слабо инвариантен относительно дифференциального включения
−
(˙x(t), ˙z(t)) ∈ E
здесь и в (L3), (L4), (L6) символ E
ное отображение, которое удовлетворяет всем условиям (i), (ii), (iii
−
(iv
), перечисленным в пункте 2.5;
−
(L3) T((x, u(x)); hypo u) ∩E
(L4) co T((x, u(x)); hypo u) ∩E
(x, u(x),ψ) = ∅ для всех x ∈ G и ψ ∈ Ψ;
−
(x, u(x),ψ) = ∅ для всех x ∈ G и ψ ∈ Ψ;
(L5) F(x, u(x),s) 0 для всех x ∈ G и s ∈ D
(x(t),z(t),ψ), (4.10)
−
означает произвольное многознач-
+
u(x);
−
),
40 ГЛАВА I
(L6) sup{d+u(x; f ) − g :(f,g) ∈ E−(x, u(x),ψ)} 0 для всех x ∈ G
и ψ ∈ Ψ;
и s ∈ R
+
u(x; f ) −s, f + F(x, u(x),s): f ∈ Rn} 0 для всех x ∈ G
n
.
(L7) sup{d
Наконец, пусть u : G → R — непрерывная функция. Рассмотрим свойства, каждое из которых может быть принято за определение минимаксного
решения.
ПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ:
О
(M1) для любых (x
) ∈ gr u и s ∈ Rnсуществует число τ>0 и
0,z0
липшицевая функция (x(·),z(·)) : [0,τ] → G×R, котораяудовлетворяет
уравнению
˙z(t)=˙x(t),s−F (x(t),z(t),s),
начальному условию (x(0),z(0)) = (x
) и равенству z(t)=u(x(t))
0,z0
для всех t ∈ [0,τ];
(M2) при произвольном выборе вектора ψ ∈ Ψ график функции u слабо
инвариантен относительно дифференциального включения
(˙x(t), ˙z(t)) ∈ E(x(t),z(t),ψ), (4.11)
здесь и в (M3), (M4) символ E означает произвольное многозначное
отображение, которое удовлетворяет всем условиям (i) – (iv), перечис-
ленным в пункте 2.5;
(M3) T(u)(x) ∩E(x, u(x),ψ) = ∅ для всех x ∈G и ψ ∈ Ψ;
(M4) co T(u)(x) ∩E(x, u(x)
,ψ) = ∅ для всех x ∈ G и ψ ∈ Ψ;
(M5) функция u — одновременно верхнее и нижнее решения;
(M6) T(u)(x) ∩ Γ(x, u(x),s) = ∅ для всех x ∈ G и s ∈ R
n
(напомним,
что конус T(u)(x) и гиперплоскость Γ(x, z, s) определены равенствами (4.1) и (4.2));
(M7) co T(u)(x) ∩Γ(x, u(x),s) = ∅ для всех x ∈ G и s ∈ R
n
.
Заметим, что в параграфе 2 мы рассматривали определения минимакс-
ных решений с помощью условий (M1) and (M2). Аналогично, в параграфе 3 мы рассматривали определения верхних (нижних) решений с помощью
условий (U1) и (U2) ((L1) и (L2)).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]