Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
n( t) = N (t) t,
где n(t) складывается из двух составляющих: n
(t) опре-
0
деляет число отказавших систем из числа тех, что были
поставлены на испытания в момент t = 0, а n
(t) — число
з
отказавших систем из числа тех, что были заменены в процессе испытаний.
Составляющую n
Для определения n
(t) можно найти как
0
n ( t) = N f (t) t.
0
(t) рассмотрим временной интер-
з
вал (z, z + z), предшествующий t. В течение этого интервала выйдут из строя и будут заменены N(z)z систем. Из них в промежуток времени (t, t + t) будут вновь
заменены (N(z) z)f(t – z)t систем. Просуммировав по
всем интервалам z, получим
t
n ( t) = N t (z) f (t z)dz.
з
0
Подставляя полученные выражения в формулу
n(t) = n
(t) + nз(t),
0
имеем
t
N (t) t =N f(t) t+ N t (z) f(t z)dz,
t
(t)=f(t)+ (z) f(t z)dz.
получили интегральное уравнение теории восста-
Мы
0
0
новления, определяющее связь между параметром потока
и плотностью распределения. Так как второе слагаемое в
полученном интегральном уравнении есть свертка функций
и f, то преобразование Лапласа для уравнения имеет вид
71
(s) = f(s) + (s)f(s).
Полученное выражение позволяет найти
то
(s) ; (t) L .
f(s) f(s)
1f(s) 1f(s)
1
Так как
st
st
st
,
0
0
M[T ]
1
i
lim (t) lim s (s)
ts0
sf(t)edt
lim (t) lim
ts0
f(t) e dt s f(t) t e dt
00
lim
s0
s0
00
lim ,
00
f(t) e dt 0 f(t) dt
f(t) t e dt f(t) t dt
0
1f(t)edt
0
st st
f(t) t e dt
0
st
st
M[T ] — математическое ожидание наработок между
где
i
отказами.
Таким образом, процесс восстановления в общем случае является нестационарным потоком, но с течением времени параметр потока отказов в процессе восстановления
стремится к константе, значение которой обратно математическому ожиданию наработок между отказами.
72
Если от плотности распределения f(t) перейти к функции распределения F(t), то вероятность наступления n отказов до момента времени t можно найти как
p(n,t) P{ (t) n} F (t) F (t)
F(t) P{t t} — функция распределения момента
где
nn
наступления n-го отказа
,
tT
ni
nn1
n
i1
, может быть найдена
рекуррентно как
t
F(t) F (t x)dF(x),
nn1
0
F(t) F(t).
1
Если наработки между отказами распределены по экспоненциальному закону, то процесс восстановления сводится к простейшему потоку:
s
f(t) e ;
f(s) ;
t
(s) ;
f(s)
1f(s) s
(t) const.
s
1
s
При нормальном распределении наработок до отказа
(t) e
11
i
2
i1
(t i m)
2i
2
2
.
Отметим следующие свойства процесса восстановле-
ния:
1. Для любого закона распределения наработок до от-
каза Т
в любой момент времени (t) > f(t).
i
73
2. Если (t) есть возрастающая функция времени, то
–
(t)
> (t) > f(t).
3. Если (t)
— убывающая функция времени, то
(t) > (t) > f(t).
Если рассматривать в процессе восстановления не
только наработки между отказами, но и длительности восстановлений и считать, что функции распределения этих
величин являются взаимонезависимыми, то такой процесс
будет называться
альтернирующим процессом восста-
новления.
Зависимость параметра потока отказов от времени для
различных потоков показана на рис. 3.2.
(t
)
3,00E-01
2,50E-01
2,00E-01
3
1,50E-01
4
2
1,00E-01
1
5,00E-02
0,00E+00
0102030405060708090
100
t
Рис. 3.2. Параметр потока отказов:
1 – процесс восстановления при нормальном законе распределения
наработок между отказами;
2 – процесс восстановления при наработках между отказами,
распределенными по закону Вейбулла (при > 1);
3 – неоднородный пуассоновский поток;
однородный пуассоновский поток
4
74
3.4. Выбор модели потока отказов
Для решения многих задач надежности, при которых
система и ее элементы рассматриваются как восстанавливаемые, необходимо построить некую приближенную модель, описывающую свойства потока отказов. При этом
желателен некоторый компромисс между желанием повысить точность и достоверность создаваемой модели и ее
простотой.
Основой для выбора модели потока является изучение
его основных свойств: стационарности, ординарности и
наличия последействия. Но необходимо иметь в виду, что
все выдвинутые предположения являются лишь гипотезами. Окончательное решение о корректности модели для
описания потока может быть сделано только после статистической проверки выдвинутой гипотезы.
В большинстве практических случаев можно принять
решение об ординарности потока, которая нарушается в
основном из-за наличия вторичных отказов. Пренебрежение свойством неординарности, как правило, незначительно влияет на качество создаваемой модели, но значительно
ее упрощает.
Если неординарностью можно пренебречь, то нестационарность и последействие значительно влияют на закон
распределения числа отказов. К нестационарности и последействию в потоке может привести отличие закона распределения времени безотказной работы элементов от экспоненциального.
Если поток отказов системы образован суперпозицией
потоков отказов ее элементов, причем каждый из этих потоков является стационарным, то и суммарный поток будет
обладать свойством стационарности. Если наработки между отказами подчиняются экспоненциальному закону
распределения, то поток отказов каждого элемента —
75
простейший. В этом случае суммарный поток отказов нескольких элементов независимо от их числа также будет
простейшим.
Влияние внешних воздействий является главной причиной нестационарности и последействия в потоках. Внешние воздействия, изменяющиеся во времени по неслучайному закону, приводят к нестационарности. К таким воздействиям относятся:
плановое отключение автоматики или технологиче-
–
ского оборудования или плановый переход на новый режим работы;
–
неслучайное изменение условий эксплуатации во
времени.
Последействие в потоках обусловливают случайные
внешние воздействия. Такими воздействиями в основном
являются случайные изменения параметров окружающей
среды и условий эксплуатации. При этом меняется и интенсивность потока отказов, но эти изменения происходят
не мгновенно. Если на каком-либо отрезке времени интенсивность имеет повышенное значение, то весьма вероятно,
что на смежном отрезке интенсивность также будет повышена. Это и объясняет наличие последействия. Дисперсия
числа отказов в таком потоке будет также больше, чем при
неизменных условиях работы.
Если распределение наработок между отказами не относится к классу экспоненциальных и поток отказов является стационарным без последействия, то в качестве модели потока удобно выбрать процесс восстановления. В случае экспоненциального закона распределения наработок
между отказами такой поток сводится к простейшему
пуассоновскому. Для описания потоков отказов в период
приработки и в период нормальной эксплуатации при неслучайных внешних воздействиях удобно применять модель неоднородного пуассоновского потока.
76
Так как время восстановления изделий промышленной
автоматики обычно значительно меньше наработки между
отказами, то при выборе модели потоков отказов можно
пренебречь этим временем и считать, что восстановление
происходит мгновенно.
3.5. Показатели надежности восстанавливаемых
систем
3.5.1. Аналитические показатели надежности
восстанавливаемых систем
В отличие от невосстанавливаемых систем, для систем
с возможностью восстановления рассчитывают три группы
показателей:
– показатели безотказности;
– показатели ремонтопригодности;
– комплексные показатели.
1.
Показатели безотказности.
Выбор показателя, характеризующего безотказность,
напрямую зависит от способа, с помощью которого мы
описываем поток отказов.
Если поток отказов описан как дискретный случайный
процесс (t), то показателем безотказности будет являться
параметр потока отказов
dM (t)
(t)
.
Если поток отказов описан как последовательность
случайных наработок между отказами, то показателем безотказности будет являться
M[T ] t f (t)dt
dt
средняя наработка на отказ
i
0
77
.
Для невосстанавливаемых систем мы уже ввели похожий показатель — среднюю наработку до отказа. Она характеризовала среднее время, которое прорабатывали до
отказа системы данного класса, находящиеся в одинаковых
условиях эксплуатации. В отличие от этого показателя
средняя наработка на отказ характеризует время, которое в
среднем проходит в системе после завершения очередного
восстановления (для первой наработки — момент ввода в
эксплуатацию) до наступления следующего отказа.
Для процесса восстановления, у которого все наработки взаимонезависимы и одинаково распределены, средняя
наработка на отказ равна средней наработке до отказа:
.
Для простейшего потока средняя наработка на отказ
обратна параметру потока.
При любом способе описания потока отказов одним из
важнейших показателей безотказности, как и в случае систем без восстановления, остается
вероятность безотказ-
ной работы системы до заданного момента времени. Для
восстанавливаемых систем она отличается от вероятности
нахождения в работоспособном состоянии, так как дает
представление только о вероятности того, что до рассматриваемого момента времени отказы в системе еще не
наступали:
p(t ) P{T t }.
111
2. Показатели ремонтопригодности.
В практических расчетах надежности систем автоматики часто удобно считать, что время восстановления
намного меньше времени безотказной работы и принимать
допущение о том, что восстановление производится мгновенно. Но при решении задач, связанных с определением
количества ремонтного персонала, необходимо отказываться от этого допущения. По аналогии с наработкой
78
между отказами рассмотрим еще одну величину — время
восстановления Т
. Оно будет определяться сложностью
В
требуемого ремонта, квалификацией ремонтного персонала, наличием запасных частей и т. п. Время восстановления рассматривается как случайная величина, так как
предсказать ее точное значение невозможно вследствие
случайного изменения влияющих факторов.
Как и для любой другой случайной величины, для Т
В
мы можем записать функции распределения и плотности
распределения:
dF (t)
F(t) P{T t};f (t) .
ввв
в
dt
Наиболее часто считают, что время восстановления
подчиняется экспоненциальному или нормальному закону
распределения.
Конкретное значение функции распределения соответствует такому показателю, как
вероятность восстановле-
ния работоспособности к заданному моменту времени:
P(t) P{T t}.
в1 в 1
По аналогии со средней наработкой на отказ введем
понятие
среднего времени восстановления
M[T ] t f (t) dt
вв в
Комплексные показатели надежности характери-
3.
0
.
зуют совместно безотказность и ремонтопригодность.
Одним из важнейших показателей является
готовности Ф
(t), характеризующая вероятность нахожде-
Г
функция
ния системы в работоспособном состоянии в заданный
момент времени.
В рассматриваемый момент времени система может
находиться в работоспособном состоянии, если до этого
момента в ней вообще не было отказов или произошло i
79
отказов и уже завершено i-е восстановление. Обозначим
вероятность отсутствия отказов до момента времени t как
P
(t), а вероятность завершения i-го восстановления к мо-
0
менту t при условии, что (i + 1)-й отказ еще не наступил,
как P
(t). Тогда
i
Ф (t) P (t) P (t) P (t) P (t) P (t)
Г012 0 i
.
i1
В практических расчетах этим выражением пользоваться
неудобно. Для нахождения функции готовности по подобной
методике необходимо знать законы распределения всех
наработок между отказами и длительностей восстановления и использовать для расчета интегро-дифференциальные
уравнения надежности.
Как правило, нам важно не столько то, сколько именно
произошло отказов и восстановлений, как сам факт нахождения системы в работоспособном или неработоспособном
состоянии. Поэтому если в системе возможно несколько работоспособных состояний (например, в системе с одинаковыми одним основным и двумя резервными элементами при
достаточности работоспособности одного элемента для работоспособности схемы таких состояний три), то функция
готовности
кр
Ф(t) P (t) 1 P (t)
Гр н
ij
i1 j1
кн
,
где
P(t) — вероятность нахождения системы в i-м рабо-
р
i
тоспособном состоянии;
P (t) — вероятность нахождения системы в j-м неработо-
н
j
способном состоянии;
кр и кн — соответственно количество возможных работоспособных и неработоспособных состояний.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]