Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
отказов показывает, какая часть систем выходит из строя в
единицу времени по отношению к среднему числу элементов, оставшихся работоспособными.
Изменение интенсивности отказов во времени наглядно показывает изменение безотказности. Весь жизненный
цикл работы системы можно разделить на три этапа, каждый из которых четко просматривается на графике интенсивности отказов (см. рис. 2.4).
( t)
этап
приработки
Рис. 2.4. Изменение интенсивности отказов во времени
этап нормальной
эксплуатации
этап
износа
t
На этапе приработки выявляются скрытые дефекты изготовления системы и отдельных ее элементов, а также дефекты, возникшие в процессе монтажа и наладки. Как правило,
такие дефекты проявляются достаточно быстро, поэтому на
этом этапе интенсивность отказов непрерывно снижается.
После выявления скрытых дефектов для системы
наступает этап нормальной эксплуатации, на котором интенсивность отказов изменяется несущественно и может
считаться постоянной. Этот этап является основным для
работающей системы и, следовательно, наиболее полно
изучается в теории надежности.
41
После продолжительной работы системы в нормальном режиме она неизбежно подвергается процессу старения. Поэтому наступает этап износа системы, в связи с чем
интенсивность отказов возрастает.
Рассмотрим каждый этап с точки зрения возможности
и необходимости влияния на его продолжительность.
Естественно, что длительность этапа приработки желательно снижать. Это может быть сделано за счет проведения более тщательного входного контроля элементов перед их монтажом, а также с помощью проверки качества
монтажа. Продолжительность этапа нормальной эксплуатации необходимо увеличивать. Этому способствуют соблюдение режима эксплуатации технических средств и
проведение профилактических работ. Наконец, выход на
этап износа означает нерациональность дальнейшей эксплуатации системы.
Поясним связь и различие между плотностью распределения наработки до отказа и интенсивностью отказов. Из
формулы
(t) = f(t)/p(t) следует, что при p(t)1 (t) f(t),
то есть для высоконадежных систем функции плотности
распределения наработки до отказа и интенсивности отказов практически совпадают. Различие между этими функциями состоит в следующем. Величина f(t)
dt характеризу-
ет вероятность отказа за интервал времени (t, t + dt) для
системы, произвольным образом выбранной из группы подобных систем, причем неизвестно, в каком состоянии эта
система находилась в момент времени t. Величина
(t)dt
характеризует вероятность отказа за интервал времени
(t, t + dt) для системы, выбранной из группы подобных систем, оставшихся работоспособными к моменту времени t.
8.
Средняя наработка до отказа.
Такие показатели, как F(t), p(t) и f(t) полностью описывают величину Т с вероятностной точки зрения. Но, как
42
правило, при анализе надежности гораздо более удобным и
понятным является переход от понятия «вероятность» к
понятию «время работы». Поэтому часто используют основную числовую характеристику случайной величины
Т — ее математическое ожидание М[T]. Оно характеризует
то среднее значение, около которого разбросаны все возможные значения случайной величины — наработки до
отказа. Допустим, что для какого-то прибора средняя
наработка до отказа равна 5 000 часов. Это означает, что в
среднем для большого количества этих приборов, работающих в одинаковых условиях, отказы будут наступать через 5 000 часов после их ввода в эксплуатацию.
Для нахождения математического ожидания наработки
до отказа необходимо применять аналитические методы
расчета и знать закон распределения наработки. Это не
всегда является реальным, поэтому можно получить оцен-
ку математического ожидания
ˆ
на основе экспери-
М[T]
ментальных данных. Строго говоря, средней наработкой до
отказа корректно называть именно оценку
ˆ
М[T]
, а не само
математическое ожидание. Тем не менее в технической литературе и ГОСТе название «средняя наработка» соответствует понятию математического ожидания наработки, а
не его оценке, поэтому в дальнейшем средней наработкой
до отказа
будем называть = M[T].
Воспользуемся формулой для нахождения математического ожидания:
М[T] t f(t) dt t dp(t)
00
.
Интегрируя по частям, находим
t p(t) p(t)dt
0
0
.
43
Заметим, что
tp(t) 0
. При подстановке нижнего пре-
0
дела интегрирования получаем 0
новке верхнего предела имеем ∞
p(0) = 0 1 = 0. При подста-
p(∞), что, с учетом свойств
функции надежности, также дает ноль. Следовательно,
p(t)dt
0
.
Таким образом, геометрически средняя наработка до
отказа представляет собой площадь под кривой функции
надежности (см. рис. 2.5).
Рис. 2.5. Связь функции надежности и средней наработки до отказа
В заключение заметим, что все графики, представленные в данном разделе, отражают только некоторые из возможных вариантов видов изучаемых функций. Более полно мы познакомимся с ними при рассмотрении различных
законов распределения наработки до отказа.
2.2. Статистические показатели надежности
невосстанавливаемых систем
При аналитическом описании свойств наработки до
отказа как случайной величины можно получить вероят-
44
ностные (аналитические) определения показателей надежности. Однако не всегда такой способ является возможным или достаточно простым (обязательным условием является знание закона распределения наработки до отказа).
Поэтому часто используют статистические показатели
надежности, получаемые в процессе испытаний на надежность. Для этого необходимо собрать статистические
данные о поведении технического средства с точки зрения надежности и соответствующим образом их обработать. Отметим, что при бесконечно большом количестве
испытаний статистические показатели приближаются к
вероятностным.
Будем наблюдать за N одинаковыми системами, причем условия испытаний будут одинаковы, моменты начала
наблюдений будут соответствовать моментам ввода систем
в эксплуатацию, а наблюдения за каждой системой будут
вестись до момента ее отказа. Обозначим как N(t) число
систем, отказавших к моменту времени t, как R(t) —
число систем, оставшихся к моменту t в работоспособном
состоянии. Естественно, что N(t) + R(t) = N. Так как на испытания ставятся заведомо работоспособные системы, то
N(0) = 0. С течением времени число отказавших систем
возрастает и N( ) N
.
Для невосстанавливаемых систем статистические показатели надежности имеют следующий вид.
1.
Функция распределения наработки до отказа.
ˆ
t) N(t) / N
.
F(
График ˆF(t) (см. рис. 2.6) представляет собой сту-
пенчатую линию со скачками, кратными 1/N в моменты
отказов. Чем больше число N, тем более гладкой и близкой
к F(t) становится функция ˆF(t) .
45
Рис. 2.6. Статистическая оценка функции распределения
2. Вероятность отказа до момента t
ˆ
q(t) N(t)/N
11
3.
Функция надежности.
R(t) N N(t)
ˆ
p(t) 1 F(t)
ˆ
График
график
ВБР до момента времени t1.
4.
5.
ВБР на интервале времени (t1, t2).
6.
Плотность распределения наработки до отказа.
ˆ
f(t)
где N(t t / 2, t t /2)
p(t)
соотносится с графиком p(t) так же, как и
ˆ
F(t)
с графиком F(t).
ˆ
p(t , t ) :
N(t t / 2) N(t t / 2) N(t t / 2,t t / 2)
12
— число испытываемых систем,
отказавших на интервале (t t / 2,t t / 2)
ˆ
ˆ
p(t )
1
R(t ) R(t ) R(t ) N N(t )
21 2 2
NNR(t)NN(t)
Nt Nt
NN
R(t ) N N(t )
11
NN
11
.
.
1
.
.
.
.
,
46
7. Интенсивность отказов.
N(t t/ 2,t t / 2) R(t)
ˆ
ˆ
(t) f(t)/p(t) :
N(t t/ 2,t t / 2) N(t t / 2,t t / 2)
8.
Средняя наработка до отказа определяется как
ˆ
tR(t) t[N N(t)]
Nt N
.
среднее арифметическое
N
ˆ
i1
— наработка до отказа i-ой системы.
где
i
i
/N
,
Заметим, что в данном подразделе приведены лишь простейшие формулы для расчета статистических показателей.
Более полно этот вопрос рассматривается в 9-й главе.
2.3. Законы распределения наработки до отказа
Закон распределения
наработки до отказа выбирается
в зависимости от свойств системы и ее элементов, условий
работы и характера отказов. При отсутствии точных аналитических данных все предположения о виде закона распределения являются всего лишь гипотезами, которые требуют специальной проверки на непротиворечивость опытным данным.
2.3.1. Экспоненциальное распределение
Наиболее часто в теории надежности использует-
ся
экспоненциальное распределение. Оно является самым
простым и описывает свойства наработки до отказа в системах, находящихся на этапе нормальной эксплуатации. Для
нас это наиболее важный этап, так как большинство средств
47
автоматического регулирования относится к системам, для
которых можно не учитывать этапы приработки и износа.
Также это распределение хорошо описывает сложные многокомпонентные системы.
Приведем выражения для показателей надежности системы, наработка до отказа которой подчинена экспоненциальному закону.
Функция распределения наработки до отказа
t
F(t) 1 e
где
— параметр экспоненциального распределения.
Вероятность отказа
Ф
ункция надежности
q(t ) 1 e
ность безотказной работы
Плотность распредел
f(t) e
ения наработки до отказа
dF(t)
.
,
t
.
1
p(t) 1 F(t) e
p(t ) e
.
1
1
, вероят-
t
1
t
t
dt
Интенсивность отказов
f(t) e
(t) const
p(t)
e
t
.
t
Таким образом, интенсивность отказов в случае экспоненциального распределения равна параметру этого распределения и постоянна. Так как этап нормальной эксплуатации характеризуется постоянством интенсивности отказов, то полученная формула подтверждает правильность
выбора экспоненциального закона распределения для описания надежности на этом этапе.
Такое постоянство свойств приводит к тому, что ВБР
системы на интервале времени определяется только шириной этого интервала, но не зависит от его начала. Действительно,
48
(t t)
1
t
1
e
(t t)
2
t
2
e
.
t
,
t
.
Отсюда
p(t t) e
p(t , t t) e
p(t , t t) e
p(t , t t) p(t ,t t)
11
22
11 2 2
1
p(t )
1
p(t t) e
2
p(t )
2
Средняя наработка до отказа
t
p(t)dt e dt 0 1
00
t
e1111
0
.
Следовательно, для экспоненциального распределения
средняя наработка до отказа обратна интенсивности отказов.
Покажем, что для экспоненциального распределения
математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение наработки до отказа равны друг другу.
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
второго центрального момента распределения:
D(t)f(t)dttf(t)dt
00
2t22t
tedt tedt
00
22
t2t2 1 2 1 1
2222
222
2
1
t2
e0 .
0
2
Среднеквадратическое отклонение наработки до отказа
D .
Графики основных показателей надежности для
экспоненциального распределения показаны на рис. 2.7.
(сплошной линии соответствует случай с параметром
49
распределения , пунктиру — случай с параметром распределения 3
).
1
0,8
0,6
0,4
0,2
f(t)
0
0 2 4 6 8 101214161820
Рис. 2.7. Показатели надежности экспоненциального распределения
F(t)
(t)
p(t)
Увеличение параметра распределения приводит к тому, что графики F(t), p(t) и f(t) быстрее приходят к своим
установившимся значениям (соответственно 1, 0 и 0).
Наклон графиков возрастает. Увеличение
повышает
начальное значение функции f(0), снижает ВБР и среднюю
наработку и повышает вероятность отказа.
2.3.2. Нормальное распределение
Для описания систем и элементов, подверженных действию износа, используют
нормальное распределение
(распределение Гаусса). Функция распределения наработки до отказа
2
(x m)
t
1
F(t) e dx
2
50
2
2
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]