Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Средняя наработка до отказа системы с резервом
k
k
k
k
k1
1
ir
i
.
рез
На графиках (рис. 5.12) показаны показатели надежности для системы из шести одинаковых элементов с экспоненциальным законом распределения наработки до отказа
для случая резервирования целой кратности (k=5), случая
без резерва (k=0) и различных случаев резервирования
с дробной кратностью.
p(t)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 100 200 300 400 500 600
=0
(t)
0,06
0,05
0,04
=5
k =4/2
k
=3/3
k
=2/4
k
=1/5
=0
k
=1/5
=2/4
k
t
=3/3
0,03
0,02
0,01
0
0 50 100 150 200 250 300 350
k
=4/2
k
=5
t
Рис. 5.12. ВБР и интенсивность отказов для системы с общим
резервированием с дробной кратностью
171
5.2.3. Поэлементное резервирование
р
случае поэлементного (так же как и раздельного)
В
резервирования для расчета применяют формулы для общего резервирования с целой или дробной кратностью.
При этом расчет ведется для каждой резервированной
ячейки отдельно, а затем рассматривается последовательное соединение этих ячеек.
На рис. 5.13
представлена система, образованная из n эле-
1
0
1
1
2
0
2
1
…
n
0
n
1
ментов, каждый
из которых заре-
1
k
2
k
n
k
зервирован с помощью k элементов. При це-
Рис. 5.13. Структурная схема поэлементного
пассивного
езервирования
лой кратности резервирования (если характеристики резервных и основных элементов совпадают) вероятность
отказа резервированной системы
n
q11q
рез i
— вероятность отказа i-го элемента системы.
где q
i
i1
k1
,
Организовать поэлементно-резервированную систему
гораздо
сложнее, чем систему с общим резервированием.
Но показатели эффективности резервирования для поэлементного резервирования выше, чем для общего. Так, если
принять, что в рассмотренной системе все элементы равнонадежны с вероятностями отказа q, и организовать систему из такого же количества элементов, но с помощью
общего резервирования, то по отношению к снижению вероятности отказа система с поэлементным резервированием будет эффективнее в пределе в n
72
1
k
раз. Заметим, что для
систем автоматического управления резервирование осуществляется или с помощью общего, или с помощью раздельного резервирования.
Графики показателей надежности для системы с различным резервом целой кратности (для случая экспоненциального закона распределения наработки до отказа основного и резервных элементов системы) показаны
на рис. 5.14.
p(t)
1
Поэлементное
0,8
0,6
Общее
0,4
Без резерва
0,2
0
0 5 10 15 20 25
(t)
Без резерва
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0 5 10 15 20
Общее
Поэлементное
Рис. 5.14. ВБР и интенсивность отказов для разных резервных схем
t
t
173
5.3. Активное резервирование невосстанавливаемых
систем
расчете надежности невосстанавливаемых систем
При
с активным резервированием используется
метод пере-
ходных интенсивностей. Для упрощения всех дальнейших
рассуждений будем считать, что элемент, осуществляющий отключение основного и подключение резервного
элемента к схеме, является абсолютно надежным, а замещение производится мгновенно.
5.3.1. Общее резервирование
Нагруженный резерв.
1.
этом случае все элементы схемы (и основной, и ре-
В
зервные) находятся в равных условиях. Рассмотрим
резервирование
с целой
кратностью (рис. 5.15) и
0
1
изобразим граф состояний
системы (рис. 5.16) для случая, когда наработки до отказа у всех элементов распределены экспоненциально
с параметром . Общее количество элементов в си-
Рис. 5.15. Структурная схема
общего активного резервирования
(целая кратность)
2
k
…
стеме n = k + 1.
(k+1)
0
Рис. 5.16. Граф состояния для случая общего активного
резервирования невосстанавливаемой системы
(целая кратность, нагруженный резерв)
k
(k–1)
1 2
74
1
...
k+1
В нулевом состоянии все элементы схемы работоспособны, затем происходит отказ какого-либо из элементов и
система переходит в первое состояние. Если отказавший
элемент являлся основным, то мгновенно вместо него вводится в действие резервный элемент. Если отказавший
элемент являлся резервным, то никаких переключений не
производится и основной элемент продолжает свою работу. Так будет продолжаться до тех пор, пока не откажут
n = k + 1 элементов и система не перейдет в состояние
k + 1, являющееся неработоспособным.
Система дифференциальных уравнений выглядит следующим образом:
dP (t)
0
dt
dP (t)
1
dt
dP (t)
i
dt
dP (t)
k1
dt
k1
P(t) 1.
i0
(k 1) P (t);
(k 1) P (t) k P (t);
(k i 2) P (t) (k i 1) P (t);
P(t);
k
i
0
01
...
i1 i
...
Для
решения данной системы применим к ней преобразование Лапласа, предполагая, что в начальный момент
времени все элементы схемы исправны, то есть полагая
P
(0) = 1;
0
P
(0) = P2(0) = … = P
1
75
1
(0) = 0.
k+1
В результате получим
sP (s) 1 (k 1) P (s);
sP (s) (k 1) P (s) k P (s);
sP (s) (k i 2) P (s) (k i 1) P (s);
sP (s) P (s).
Перепишем систему
Перемножим
00
101
...
ii1i
...
k1 k
в более удобном виде:
P(s) s (k 1) 1;
0
P (s) s k (k 1) P (s);
10
...
P(s) s (k i 1) (k i 2) P (s);
ii1
...
sP (s) P (s).
k1 k
все уравнения этой системы. В результа-
те получим
k1 k1 k1 k
P(s) s (k i 1) k i 2 P(s)
ii
i0 i0 i1 i0
k1
.
Разделив левую и правую часть этого уравнения
k
на
i0
и приняв во внимание, что
P(s)
i
k1
ki2 (k1)k(k1)...1(k1)!
i1
,
имеем
k1
P(s) s(k1i) (k1)!
k1
i0
76
1
k1
.
Вероятность P
соответствует вероятности отказа
k+1
всей резервированной системы. Так как k + 1 = n, то перепишем последнее уравнение в виде
n
P(s) s (n i) n!
n
i0
n
,
откуда
n
n!
P(s)
n
n
s(ni)
i0
.
Представим это изображение как отношение двух мно-
гочленов: многочлена нулевой степени D
n
и многочлена степени (n + 1)
D(s) s (n i)
i0
(s) = n n!
1
. То-
гда, учитывая, что все корни уравнения D (s) = 0 — простые, для нахождения обратного преобразования Лапласа
функции P
(s) воспользуемся разложением Хевисайда:
n
D(s) D(s)
1
Le
11i
D(s) D (s )
n
i0
st
i
,
i
(i = 0, 1, 2, …, n) — корни уравнения D (s) = 0.
где s
i
Найдем общий вид D(s
nn
D(s )
D(s ) s s
iij
j0 j0
i
ss ss
ij ij
):
i
n
ss
j0
ij
n
j0,ji
Решение уравнения
n
D(s) s (n i) 0
i0
77
1
.
есть
s (n i), i 0,1,..., n .
i
Подставляя эти значения в формулу для D(s
nn
D (s ) s s (n i) (n j)
iij
j0,ji j0,ji
nn
j0,ji j0,ji
(i j) (i j).
n
), получим
i
Таким
(s) будет
P
n
P(t)
n
образом, обратным преобразованием Лапласа
n(ni)t (ni)t
nn
i0 i0
n!e n!e
nni
n
j0,ji
(i j)
(1) i!(n i)!
Сделаем замену y = n – i. Тогда
yyt
n
(1)n!e
P(t)
n
n
y0
yy yt t
(1) C e 1 e .
P(t)1e .
k1
y0
(n y)!y!
n
n
k1
t
Итак, мы нашли вероятность пребывания в (k + 1)-м
состоянии P
(t). Фактически эта вероятность равна веро-
k+1
ятности отказа резервированной системы:
k1
t
q(t)P(t)1e
рез k 1
.
.
78
1
Нетрудно заметить, что это выражение совпадает с выражением, полученным для случая общего пассивного резервирования с целой кратностью при экспоненциальном
законе распределения наработки до отказа.
Следовательно, формулы для расчета показателей
надежности рассматриваемой схемы будут аналогичны
формулам общего пассивного резервирования с целой
кратностью.
0
r–1
r
…
Для дробной крат-
ности резервирования
(рис. 5.17) при необходимости одновременной
работы r элементов из
общего числа элементов
r+1
…
n граф состояний показан на рис. 5.18. Система
n–1
Рис. 5.17. Структурная схема общего
активного резервирования
(случай дробной кратности)
dP (t)
0
dt
dP (t)
1
dt
dP (t)
i
dt
dP (t)
kr 1
dt
kr 1
i0
nP(t);
n P (t) (n 1) P (t);
0
01
...
(ni1)P(t)(ni)P(t);
...
P(t) 1.
i
rP(t);
kr
уравнений приобретает
следующий вид:
i1 i
79
1
р
n
(n–1)
(n–2) r
0
Рис. 5.18. Граф состояния для случая общего активного
резервирования невосстанавливаемой системы
(дробная кратность, нагруженный резерв)
В
льтате решения системы уравнений получаем
резу
1 2 kr+1
...
для показателей надежности те же формулы, что и для
случая общего пассивного резервирования с дробной
кратностью.
2.
Ненагруженный резерв.
В этом случае резервные элементы находятся в отключенном состоянии и включаются в работу только после отказа основного элемента. Будем считать, что в состоянии
ненагруженного резерва элемент не может отказать, и его
характеристики за время нахождения в резерве не изменяются. В любой момент времени (исключая состояние отказа системы) в работе находится один (при целой кратности
резервирования) или r элементов (при дробной кратности).
Для целой кратности резервирования k общее коли-
чество элементов составляет n = k + 1. При любых законах
распределения времени безотказной работы элементов
средняя наработка до отказа резервированной системы со-
k
ставит
, где i — средняя нара-
ез 0 1 к i
...
i0
ботка до отказа i-го элемента. При одинаковых элементах
со средней наработкой до отказа
отказа системы составит
= 0 (k + 1). Следовательно,
рез
средняя наработка до
0
эффективность по повышению средней наработки
(k 1)
до отказа
Эk1
0
0
.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]