Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Состоянию «0» соответствует работоспособность всех
элементов схемы (и, следовательно, работоспособность
всей системы), состоянию «1» — работоспособность всей
системы при одном неработоспособном элементе, состоянию «i» — работоспособность системы при i неработоспособных элементах, состоянию «n» — неработоспособность
системы.
Рис. 4.23. Структурная схема (а) и граф
состояний метода переходных
интенсивностей (б) для расчета надежности
резервированной системы из n элементов,
для работоспособности которой достаточно
работоспособности хотя бы одного
элемента
Система
стей:
уравнений метода переходных интенсивно-
dP (t)
0
dt
dP (t)
1
dt
...
dP (t)
n
dt
P (t) P (t) ... P (t) 1.
01 n
nP(t) P(t);
n P (t)- (n-1) P (t) 2 P (t);
01
012
P(t)n P(t);
n1 n
1
41
Введем промежуточные переменные
nn(n1)
1; ; ;
01 2
n(n1)(n2)
3
i1
(n j)
j0
in
i! (n i)!i!
23
iin
n!
2
; ...;
; ...; .
Решение системы в общем виде можно получить толь-
ко для установившегося режима. Оно позволяет найти:
предельные вероятности для каждого состояния
–
P ; ... ; P P ;...; P P .
1
0ii0nn0
nn n
jj j
j0 j0 j0
коэффициент готовности
–
in
n1
n1
KP
Гi
i0
i0
n
i0
i
.
i
Считая неработоспособное состояние поглощающим,
находим среднюю наработку до отказа
n1 i
i0 j0
(n i)
j
.
i
Дать общие рекомендации по нахождению показателей
надежности для систем, не соответствующим двум рассмотренным частным случаям, не представляется возможным
142
в связи с большим многообразием систем дифференциальных уравнений метода.
Тем не менее в качестве наиболее удобного способа для
решения систем дифференциальных уравнений метода переходных интенсивностей все же укажем способ решения, основанный на преобразовании Лапласа. Сущность метода состоит в следующем. Для системы с (n + 1) состояниями (0, 1,
…, n) запишем систему уравнений метода в виде
dP (t)
i
dt
n
m P (t), i 0,1, ..., n
ji j
j0
.
В матричном виде эта система запишется как
d
PPM,
(t) = (t)dt
где
P(t) — вектор вероятностей состояния системы
(t) P1(t) … Pn(t)];
[P
0
М — матрица интенсивностей переходов, ее элементы мо-
гут быть как положительными, так и отрицательными,
а сумма элементов каждой строки равна 0.
Применяя преобразование Лапласа к рассматриваемому матричному уравнению и учитывая, что преобразованием Лапласа матрицы является матрица, составленная из
преобразований Лапласа компонент исходной матрицы,
получим
VPVM,
s (s) (0)= (s)
V(s) — преобразование Лапласа вектора P(t).
где
Приводя подобные члены, получим
VIMP,
(s) [s ] (0)
I — единичная матрица.
где
Окончательное решение находится из обратного пре-
образования Лапласа выражения
1
(s) = (0) [s ]
VP IM.
1
43
Данное выражение, кроме всего прочего, показывает
схожесть марковских процессов с дискретным и непрерывным временем. Матрица [s
I − M]
является полным аналогом матрицы [
–1
в данном случае
I − zM]
–1
, рассмат-
риваемой при анализе процессов с дискретным временем.
Для примера рассмотрим применение метода переходных интенсивностей для описания надежности дублированного элемента (более подробно, включая аналитические выражения показателей надежности, этот вопрос
разобран в разд. 5.4). Граф состояний системы приведен
на рис. 4.24.
0,0002
0
0,1
Рис. 4.24. Граф состояний для расчета надежности дублированного
восстанавливаемого элемента
0,0001
1 2
0,2
В состоянии «0» система полностью работоспособна, в
состоянии «1» один элемент системы работоспособен, а
второй находится в состоянии восстановления. Состояние
«2» является неработоспособным. Интенсивности отказов
и восстановлений показаны на графе.
Записываем систему уравнений:
dP (t)
dP (t)
dP (t)
0
dt
1
dt
2
dt
0,0002 P (t) 0,1 P (t);
0,0002 P (t) (0,0001 0,1) P (t) 0,2 P (t);
0,0001 P (t) 0,2 P (t);
01
012
12
144
В матричном виде система приобретет следующий вид:
0,0002 0,0002 0
d
PP
(t)= (t) 0,1 0,1001 0,0001
dt
00,20,2
.
Заметим, что коэффициенты в «строках» обычной системы уравнений составляют столбцы матрицы интенсивности переходов.
Находим матрицу
1
[s ]
IM .
[s ]IM и обратную матрицу
1 0 0 0,0002 0,0002 0
[s ] s 0 1 0 0,1 0,1001 0,0001
IM
2
s +0,3001s+0,02 0,0002s+4 10 210
0,1s+0,02 s +0,2002s+4 10 0,0001s+2 10
где Y = s(s
001 0 0,2 0,2
s 0,0002 0, 0002 0
YY Y
YY Y
0,02 0,0002s+4 10 s +0,1003s+2 10
YY Y
2
+ 0,3003s + 0,02004002).
0,1 s 0,1001 0, 0001 .
0 0,2 s 0,2
2
1
IM
[s ]
58
58
58
,
2
1
45
Проводя разложение на простые дроби, получим
1
IM
[s ]
0,998003 0,001996 0,000001
1
0,998003 0,001996 0, 001996
s
0,998003 0,001996 0, 001996
0,001996 0, 001994 0,000002
1
s 0,1001
1
s 0,2002
0,997005 0,996008 0,000997
1, 996006 1,99401 0,001996
0,000001 0,000002 0,000001
0,000998 0,001996 0,000998 .
0,998003 1, 996006 0,998003
Обратное преобразование Лапласа этой матрицы дает
матрицу S(t) такую, что Р(t) = Р(0) S(t):
0,998003 0,001996 0,000001
(t) 0,998003 0,001996 0, 001996
S
0,1001t
e 0,997005 0,996008 0,000997
0,2002t
e
0,998003 0,001996 0,001996
0,001996 0,001994 0, 000002
1,996006 1,99401 0,001996
0,00
0001 0,000002 0,000001
0,000998 0,001996 0,000998 .
0,998003 1,996006 0,998003
При векторе начального состояния Р(0) = [1 0 0] для
рассматриваемого примера имеем
146
(t) = (0) (t)= 0,998003 0, 001996 0,000001
PPS
0,1001t
e 0,001996 0, 001994 0,000002
e 0,000001 0,000002 0,000001 .
0,2002t
Отсюда
0,1001t 0,2002t
P (t) 0,998003 0,001996 e 0,000001 e
;
0
P (t) 0,001996 0,001994 e 0,000002 e
1
P (t) 0,000001 0,000002 e 0,000001 e
.
2
0,1001t 0,2002t
0,1001t 0,2002t
;
Заметим, что свойства матрицы S(t) аналогичны свойствам матрицы S(i), полученной нами в методе переходных
вероятностей.
Матрица, соответствующая члену матрицы [sI − M]
с сомножителем 1/s есть «стационарная часть», то есть S
–1
ст
со строками, состоящими из предельных вероятностей.
При наличии в системе поглощающих состояний строки
матрицы S
выми. Остальные «слагаемые» матрицы [sI − M]
ствуют «переходной части» S
будут разными, в противном случае — одинако-
ст
(t) и являются дифферен-
пер
–1
соответ-
циальными матрицами, домноженными на коэффициенты,
содержащие в себе экспоненциальную функцию. Таким
образом,
S(t) = S
ст
+ S
пер
(t).
Приведенный анализ матрицы S(t) еще раз подчеркивает «схожесть» марковских процессов с дискретным и
непрерывным временем и показывает общие элементы
двух переходных методов.
Изложенный матричный метод решения более удобен
в случае, если необходимо получить выражения для вероятностей пребывания в состояниях при различных началь-
1
47
ных условиях. Если такой необходимости нет и начальное
состояние задано однозначно, то легче решать систему
уравнений, записанную в обычном (не матричном) виде.
Подобное решение будет показано в разд. 5.3 и 5.4.
4.8. Расчет надежности с использованием
полумарковского процесса
В практических расчетах часто приходится отказываться
от предположения об экспоненциальности законов распределения наработок и восстановлений. Например, время восстановления или замены чаще всего распределено по равномерному закону. При произвольных законах распределения расчет показателей надежности можно провести с использованием так называемого полумарковского процесса. Он может
быть применен при следующих условиях:
1. Смена состояний системы образует марковскую
цепь, вероятности и направления переходов в которой не
зависят от времени.
2. Время пребывания в каждом состоянии — случайная величина с произвольным законом распределения.
В соответствии со сформированным графом состояний
записывается матрица переходов
где n — количество возможных состояний,
p — вероятность перехода из i-го состояния в j-е, причем
ij
pF(t)dt
ij ij
0
где
F(t) — функция распределения длительности нахож-
ij
,
дения процесса в состоянии i при условии перехода в состояние j.
148
Если из состояния i возможен только один переход —
в состояние j, то
p1 . Естественно, что сумма всех веро-
ij
ятностей переходов в каждой строке матрицы M должна
быть равна единице.
Предельные вероятности пребывания системы в ее со-
стояниях находятся из решения системы уравнений
n
PPp;
1kk1
k1
...
n
PPp;
nkkn
k1
n
P1.
j
j1
Среднее время пребывания полумарковского процесса
в i-м состоянии определяют как
P(t)dt
ii
0
где
P(t) — вероятность нахождения системы в i-м состоя-
i
,
нии с учетом всех возможных выходов из него.
Зная значения Р
и i, можно найти следующие показа-
i
тели:
1. Средняя наработка на отказ и среднее время про-
стоя, связанное с восстановлением и заменой:
1
49
kr
P
ir ir
ir 1
kr kn
Pp
ir ir in
ir 1 in 1
kn
п
in 1
kr kn
Pp
ir 1 in 1
P
in in
ir irin
,
,
где индексом ir отмечены работоспособные состояния
(в количестве kr), а индексом in — неработоспособные
(в количестве kn).
Коэффициент готовности
2.
К
Г
Среднее число попаданий процесса в состояние i
3.
.
п
за время t
Pt
MN(t)
i
4.
Суммарная продолжительность пребывания систе-
n
i1
i
P
ii
.
мы в i-м состоянии на интервале (0, t)
T(t) MN(t)
5.
Параметр потока отказов
iii
kn
in 1
(t)
MN (t)
.
in
.
t
Пример расчета с использованием полумарковского
процесса будет показан в разд. 10.2.2.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]