Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
стороны, результаты эксперимента являются исходными
для формирования аналитических моделей надежности,
так как ряд существенных особенностей может быть выявлен только в результате наблюдения за процессом функционирования. С другой стороны, эксперимент служит критерием правильности аналитических моделей и используется для их проверки.
Аналитическое построение модели возможно как для
уже существующих, так и для проектируемых систем.
Экспериментальный способ возможен только для реально
существующих систем. На этапе проектирования построение модели надежности позволяет прогнозировать ожидаемые показатели надежности, а также выбрать технические
средства, составляющие систему, и определить необходимость в резервировании. На этапе эксплуатации построение моделей проводится с целью определения соответствия показателей надежности испытываемой системы
заданным требованиям, а также для обоснования объема
запасных частей и планирования профилактического обслуживания.
Контрольные вопросы к главе 1
1.
На какие виды делятся все события по своим свой-
ствам?
2. Приведите пример совместных и несовместных со-
бытий.
3. Что такое вероятность наступления события? Каковы
ее основные свойства?
4. Вероятность отказа датчика температуры равна 0,1.
Вероятность отказа датчика давления равна 0,2.
Найдите вероятность того, что хотя бы один из двух
датчиков находится в состоянии отказа.
31
5. Через 2 000 часов после ввода в эксплуатацию из 300 оди-
наковых систем регулирования отказ зафиксирован
у 50 систем. Найдите оценку вероятности того, что через 2 000 часов после ввода в эксплуатацию система данного типа будет находиться в работоспособном состоянии.
6. Технологический объект управления оснащен двумя ав-
томатическими системами регулирования: АСР уровня
и АСР давления. Вероятность того, что АСР уровня работоспособна, равна 0,8. Вероятность работоспособности АСР давления равна 0,9. Найдите вероятность того,
что работоспособны будут обе АСР.
7. Дайте определение надежности и ее составляющих.
8. На что влияет надежность систем автоматизации?
Приведите соответствующие примеры.
9. Поясните разницу между исправным и работоспособ-
ным состоянием системы автоматизации.
10. Приведите пример восстанавливаемой и невосстанавли-
ваемой системы (элемента).
11. Что может считаться отказом системы автоматиче-
ского управления? Приведите конкретный пример.
12. Поясните различие между внезапным и постепенным
отказом.
13. Дайте определение наработки до отказа. Объясните,
чем вызван ее случайный характер.
14. Что такое показатели надежности?
15. В чем разница между аналитическими и статистиче-
ским показателями надежности?
16. Какова взаимосвязь между аналитическим и экспери-
ментальным исследованием надежности систем автоматизации?
32
ГЛАВА 2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ СИСТЕМЫ
В данной главе мы будем говорить о надежности систем, для которых восстановление сразу после отказа невозможно. Также к невосстанавливаемым системам мы будем условно относить системы, при рассмотрении надежности которых нас будет интересовать только интервал
времени от момента ввода в эксплуатацию до момента
наступления первого отказа.
2.1. Показатели надежности невосстанавливаемых
систем
Основными показателями надежности невосстанавли-
ваемых систем являются показатели безотказности.
1. Функция распределения наработки до отказа.
Наработка до отказа Т является случайной величиной.
Мы не в состоянии дать точный прогноз о том, сколько часов проработает то или иное техническое средство. Можно
говорить только о некоторых вероятностных показателях,
характеризующих свойства наработки до отказа. Как и для
любой случайной величины, для наработки до отказа можно определить закон распределения, которому она подчиняется. Наиболее удобной формой записи закона распределения является интегральная, также называемая функцией распределения F(t):
F(t) = P{T < t}.
Функция распределения наработки до отказа F(t) — это
вероятность того, что наработка до отказа Т будет меньше некоторой заданной наработки t, то есть вероятность того, что
рассматриваемая система (элемент) отказала до момента t.
Так как F(t) соответствует вероятности, то функция распределения изменяется в пределах от 0 до 1. Естественно, что
33
в начальный момент времени (t = 0) в процесс функцио-
t
(t)
нирования включается заведомо работоспособная система,
поэтому F(0) = 0. Так как ни одна техническая система не способна работать бесконечно, то F( ) 1 . С увеличением про-
должительности работы системы вероятность ее отказа не
может снижаться, поэтому функция F(t) является неубывающей. Один из возможных видов графика F(t) показан
на рис. 2.1.
F
q(t2) = F(t2)
q(t1) = F(t1)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 5000 10000 15000 20000
P{t1≤ T < t2}
t
t
1
2
Рис. 2.1. Функция распределения наработки до отказа
Вероятность попадания наработки до отказа в интервал
, t2) равна P{t1≤ T < t2} = F(t2) – F(t1).
(t
1
2.
Вероятность отказа.
В практических задачах расчета надежности чаще всего нам нужна не сама функция F(t), а ее конкретное значение в некоторый момент времени. Возьмем определенное
значение времени t
нам вероятность отказа системы до момента t
ется как q(t
1
)):
(см. рис. 2.1). Тогда значение F(t1) даст
1
(обознача-
1
q(t1) = F(t1) = Р{T < t1}.
34
Значение q(t1) дает нам общее представление о вероятности, с которой система до момента времени t1 перейдет
в неработоспособное состояние. При этом мы ничего не
знаем о том, насколько близок или далек будет момент отказа от момента t
. Например, значение q(2 000) = 0,3
1
означает, что рассматриваемая система с вероятностью
30 % «не доживет» до момента времени 2 000 часов после
ее ввода в эксплуатацию, но никак не указывает на время возможного наступления отказа. Сразу же отметим одно важнейшее обстоятельство. Мы уже упоминали о случайном характере наработки до отказа. Это значит,
что любой показатель надежности никогда не характеризует свойства одного конкретного экземпляра технического средства: он относится к совокупности одинаковых
элементов или систем, находящихся в одинаковых условиях эксплуатации. Поэтому значение q(2 000) = 0,3 на практике проявится следующим образом: для 100 одинаковых приборов, работающих в одних и тех же условиях,
к моменту времени 2 000 часов примерно 30 приборов откажут.
3. Функция надежности.
Функция распределения наработки до отказа отражает
вероятность наступления отказа системы. В расчетах нас
также будет интересовать вероятность того, что отказ еще
не наступил. Введем понятие функции надежности:
p(t) P{T t}
.
р(t) — это вероятность того, что наработка до отказа Т
больше или равна некоторой заданной наработке t, то есть
вероятность того, что рассматриваемая система не откажет
до момента времени t. С течением времени отказ системы
становится все более вероятным, поэтому функция надежности является невозрастающей. Один из возможных видов графика р(t) показан на рис. 2.2.
35
При t = 0 система заведомо работоспособна и р(0) = 1.
t
p(t)
С течением времени вероятность того, что система работает безотказно, снижается, и в бесконечно удаленный момент времени p( ) 0 .
1
0,8
0,6
0,4
p(t1)
0,2
0
0 5000 10000 15000 20000
t
1
Рис. 2.2. Функция надежности
4. Вероятность безотказной работы.
Вероятность того, что система проработает без отказов
с момента времени t = 0 до момента времени t1, называется
вероятностью безотказной работы (ВБР) до момента t1:
p(t ) P{T t }.
11
Так же как вероятность отказа представляет собой конкретное значение функции распределения наработки до
отказа, ВБР является конкретным значением функции
надежности (см. рис. 2.2).
Выясним, как соотносятся вероятность безотказной работы и вероятность отказа. Обозначим наступление отказа
некоторой системы до момента времени t1 как событие А.
Под событием В будем понимать отсутствие отказа рассматриваемой системы до момента времени t1. Естественно, что события А и В являются противоположными, поэтому сумма вероятностей их наступления равна единице:
36
р(А) + р(В) = 1. Но (как следует из приведенных определений) вероятность наступления события А соответствует
вероятности отказа, а вероятность наступления события
В — ВБР до момента t
. Следовательно,
1
) + q(t1) = 1 и
p(t
1
p(t1) = 1 – q(t1).
Заметим, что таким же образом связаны и функция
распределения наработки до отказа и функция надежности:
F(t) + p(t) = 1.
Вероятность безотказной работы является одним из основных и наиболее часто используемых показателей надежности. В энергетике принято вести расчет ВБР на 2 000 часов
(тепловые станции) и на 8 000 часов (атомная энергетика).
Заметим, что в дальнейшем мы не всегда будем разделять понятия функции надежности и ВБР (в отличие от понятий функции распределения наработки до отказа и вероятности отказа). Договоримся, что под термином «ВБР» мы будем понимать функциональную зависимость p(t), а под термином «ВБР на столько-то часов» — численный показатель.
Вероятность безотказной работы на интервале
5.
времени.
Пусть некоторая система проработала безотказно до момента времени t
1. Событие А
проработает на интервале времен
2. Событие А
проработает на интервале времени (t
3. Событие В состоит в том, что система без
проработает на интервале времен
События А
. Рассмотрим следующий набор событий:
1
состоит в том, что система безотказно
1
1
, t2).
1
).
и (0, t
состоит в том, что система безотказно
2
отказно
и (0, t
и А2 являются совместными. Поэтому ве-
1
).
2
роятность их совместного наступления может быть найдена как
наступление А
P{A A } P{A } P{A } . Отметим, что совместное
12 1 2
и А2 фактически соответствует наступле-
1
37
нию события В, поэтому
p
p
P{B} P{A } P{A }. Вероятно-
12
сти наступления рассмотренных событий соответствуют
вероятностям безотказной работы: для события А
до момента t
роятность наступления события А
интервале времени (t
, для события В это ВБР до момента t2, а ве-
1
и есть искомая ВБР на
2
, t2). Поэтому
1
p(t ) p(t ) p(t , t ) ,
2112
это ВБР
1
откуда
(t )
2
p(t ,t )
12
(t )
1
.
6. Плотность распределения наработки до отказа.
Случайную величину Т можно также описать с помощью дифференциального вида закона распределения, то
есть с помощью функции плотности распределения наработки до отказа:
f(t)dt .
dF(t)
Так как F(t) является неубывающей, то f(t) всегда положительна. Максимальное значение плотности распределения соответствует наиболее вероятному значению наработки до отказа. Вероятность попадания наработки до отказа в интервал времени (t
f(t) на участке (t
, t2):
1
P{t T t } f (t )dt
12
, t2) равна площади под кривой
1
t
2
t
1
.
Один из возможных видов графика f(t) показан на
рис. 2.3. Вероятность отказа q(t
площади под кривой f(t), взятой слева, а ВБР p(t
щади, взятой справа от момента времени t
tt
11
q(t ) f(t) dt; p(t ) 1 f(t) dt f(t) dt
11
00t
) будет соответствовать
1
) — пло-
1
:
1
.
1
38
0
t
(t)
f
0
0
0
0
0
0
0
Рис. 2.3. Функция плотности распределения наработки до отказа
q(t1)
0 20406080100
t
1
p(t1)
Так как функция f(t) «покрывает» весь возможный интервал изменения наработки до отказа, то
f(t)dt 1.
0
7.
Интенсивность отказов.
Интенсивность
вероятности
отказов
отказа системы, определяемая для рассматри-
(t) — это условная плотность
ваемого момента времени t при условии, что до этого момента отказ не наступил.
Воспользовавшись связью вероятности отказа и ВБР, а
также применив формулу нахождения ВБР на интервале,
запишем вероятность отказа системы на интервале времени (t, t+
t):
q(t, t t 1 p(t, t t 1
p( t t
p( t
p(t p(t, t t p(t, t t p(t)
p( t p( t
Разделим обе части этого равенства на
39
.
t:
q(t, t t p(t, t t p(t) 1
ttp(t)
.
Для получения плотности вероятности отказа устремим
t к нулю:
(t)
lim lim
t0 t0
1 p(t, t t p(t) dp(t) 1
p(t) t dt p(t)
ttp(t)
lim
t0
q(t, t t p(t, t t p(t) 1
.
Полученная зависимость представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные и интегрируем:
;
(t) dt
dp(t)
p(t)
tt
(t)dt lnp(t) lnp(t) ln(p(0))
00
dp(t)
p(t)
ln p(t) ln(1) ln p(t);
p(t) e .
t
t0
t
0
(t)dt
Так как p(t) = 1 – F(t), то
.
(t)
dp(t) 1 d[1 F(t)] 1 dF(t) 1 f(t)
dt p(t) dt p(t) dt p(t) p(t)
Интенсивность отказов определяет, насколько часто
наступают отказы. Ее можно рассматривать как характеристику совокупности одинаковых невосстанавливаемых систем, находящихся в одних и тех же условиях эксплуатации. Таким образом, можно считать, что интенсивность
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]