Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Пользуясь полученными выражениями для вероятностей пребывания системы в состояниях, находим функцию
готовности системы.
Ф (t) P (t) P (t) 1 P (t)
1.
Г0l 2
tt
AAe AA e AA
10 10 10
()()
11 2 2 1 2 12
12
Так как
12 1 2 0 2 0 1
BB A B AA AA
К1
Г
С
учетом этого выражение для функции готовности
принимает вид
Ф(t) К
ГГ
К(ee).
Параметр
от времени:
BB A B A A , то
12 02 12 10 10
12 12 12
и
AA 1 К .
10 Г 12
К
AA
Г
()
12 1 2
1К
Г
12
tt
AAe AA e
10 10
()()
11 2 21 2
10
Г
12
tt
12
ee
-t -t
21
12
потока отказов в общем случае зависит
AA
(t)
01
()
12 12
B( )
2
12
BB
-t -t
2
221
21
21
ee,
2
01
но с течением времени процесс эксплуатации устанавлива-
ется и в стационарном режиме
AAB
BB AB AA
12 02 01
012
.
Для целей определения вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа состояние «2» считается
поглощающим и В
приравнивается к нулю. Вероятность
2
безотказной работы системы
pt e e
1
12
tt
21
12
,
где
BA A BA A
101 101
101
201
22
BA A BA A
101 101
22
2
2
AA
AA
;
.
Для определения средней наработки до отказа поступим следующим образом. Перепишем систему дифференциальных уравнений, удалив из нее неработоспособные
состояния (в данном случае — состояние «2»):
dP (t)
Применяем
(0) = 1):
P
0
0
dt
dP (t)
1
dt
преобразование Лапласа (принимая, что
P (s) (s+A ) 1 B P (s);
0011
P (s) (s+A B ) A P (s).
11100
AP(t)BP(t);
00 11
A P (t) (A B ) P (t).
00 1 1 1
2
02
Так как
L P (t) P (s) P (t) e dt
, то подстанов-
ii i
0
st
ка s = 0 дает
P(0) P(t) e dt P(t)dt
ii ii
— среднее время пребывания в i-м состоянии. После
где
i
00
0t
,
подстановки s = 0 система приобретает вид
A1B ;
00 11
(A B ) A .
111 00
Среднее время нахождения в состоянии «0»
BA
0
11
AA
01
.
Среднее время нахождения в состоянии «1»
1
.
1
А
1
Средняя наработка системы до отказа
AAB
.
01
011
AA
01
Рассмотрим
нагрузкой. Тогда А
случай резервирования с неизменной
= 2, А1 = . Если восстановление
0
является неограниченным (т. е. одновременно восстановлению могут подвергаться любое количество отказавших
элементов), то B
= , B2 = 2. При ограниченном восста-
1
новлении (когда независимо от числа отказавших элементов восстановлению подвергается только один элемент)
B
= , B2 = .
1
В случае
нагрузки А
резервирования с перераспределением
= 2, А1 = v, где коэффициент v показывает,
0
2
03
насколько возрастает интенсивность отказа элемента, если
он работает один, по сравнению с вариантом, когда работоспособны были оба элемента.
5.4.2. Общее активное резервирование
Приведенные выше формулы могут быть применены к
случаю общего активного резервирования при одном запасном элементе.
для нагруженного резерва А
женного резерва А
А
= (1 + h), А1 = .
0
При целой кратности резервирования
= 2, А1 = , для ненагру-
0
= А1 = , для облегченного резерва
0
При дробной кратности резервирования для нагру-
женного резерва А
ного резерва А
А
= (r + h); А1 = r .
0
= n; А1 = (n − 1) , для ненагружен-
0
= А1 = r , для облегченного резерва
0
5.4.3. Поэлементное резервирование
Показатели надежности для каждого поэлементно резервированного элемента рассчитываются по рассмотренным формулам общего резервирования. Общие показатели
надежности системы, состоящей из n последовательно соединенных поэлементно резервированных элементов,
определяются как
n
Ф (t) Ф (t);
Грез Гi
КК;
p (t) p (t),
х
где
— значение соответствующего показателя х для i-го
i
i1
n
i1
n
i1
Грез Гi
рез i
поэлементно резервированного элемента.
2
04
5.5. Мажоритарное резервирование
с выбором большинства) наиболее часто применяют в системах измерения, сигнализации и защиты, то есть там, где
наименее надежным местом являются средства получения
информации.
Организуем систему следующим образом. Возьмем
нечетное число элементов n (рис. 5.26), выполняющих
одинаковые функции (например, организующих замыкание контактов при выходе одной и той же температуры за
допустимый верхний предел), и подадим их выходные
сигналы Y
на вход элемента сравнения. Задачей этого
i
элемента является формирование сигнала Y, совпадающего с выходными сигналами большинства элементов системы. Тогда резервированная система будет выдавать неправильный выходной сигнал (то есть откажет) в том случае,
если число отказавших элементов превысит число элементов, оставшихся работоспособными.
Элемент 1
X Y
Элемент 2
…
Элемент n
Рис. 5.26. Схема мажоритарного резервирования
Y
1
Y
2
Y
n
Элемент
сравнения
С точки зрения расчета показателей надежности мажоритарное резервирование сводится к случаю общего
пассивного резервирования с дробной кратностью
205
(n 1) / 2
k
Наиболее распространены системы мажоритарного
резервирования «два из трех» и «три из пяти». Для равнонадежных невосстанавливаемых элементов с вероятностью
отказа q вероятность отказа резервированной системы составляет
(n 1)/ 2
.
k1/2;
qCqp
2из3 n
3!
2323323
10(q 2q q ) 5(q q ) q 10q 15q 6q .
В отличие от других резервных схем, рассмотренных
ранее, в данном случае резервирование будет эффективно
не всегда. Так, для схемы резервирования «два из трех»
эффективность резервирования
Для того чтобы выполнилось условие Э
димо, чтобы верным было неравенство
будет соответствовать условие q < 0,5. При q > 0,5 надеж-
ность системы будет снижена. Заметим, что для элементов
q(1q)1q 3q 3q q 3q 2q;
2!1!
qCqp
3из5 n
3353 4454 5555
Cqp Cqp Cqp
55 5
5! 5!
3!2! 4!1
345 455 3 45
n3;r2
2232 3333
Cqp Cqp
33
k2/3;
n5;r3
32
q(1q)
Э
q
q1
23 2
3q 2q 3q 2q
3
xxnx
x2
5
xxnx
x3
45
q(1q)q
!
.
> 1, необхо-
q
3q 2q 1. Этому
2
2
06
и систем промышленной автоматики случай, когда вероятность отказа превышает пятьдесят процентов, не является
таким уж нетипичным. Так, для нормального закона распределения наработки вероятность отказа начинает превышать 0,5 при времени t > τ, а для экспоненциального закона — при t > 0,693τ.
Для схемы резервирования «три из пяти» критическим
уровнем вероятности отказа q, приводящим к снижению
эффективности, также является 0,5.
Менее распространены схемы мажоритарного резервирования, в которых элементы, образующие схему, не равнонадежны. Тогда расчет показателей надежности удобно
вести по методу перебора состояний.
В качестве примера рассмотрим систему «два из трех»,
образованную из элементов с вероятностями отказов q
. Будем считать желаемым состоянием системы состо-
и q
3
, q2
1
яние неработоспособности и составим таблицу метода перебора состояний (табл. 5.1).
Т а б л и ц а 5.1
Таблица метода перебора состояний для расчета схемы
«два из трех» с неравнонадежными элементами
№
состояния
1 – – –
2 – – +
3 – + –
4 + – –
Состояние элементов Вероятность нахождения
1 2 3
в состоянии
q
1q2q3
q
1q2p3
q
1p2q3
p
1q2q3
Отказ
системы произойдет, когда количество отказавших элементов будет больше, чем один. Этому соответствуют 4 возможных состояния: одно со всеми тремя отказавшими элементами и три с двумя отказавшими элементами. Вероятность отказа
2
07
qqqqqqpqpqpqq
2из3 123 123 123 123
qq qq q q 2qq q.
12 13 23 123
Нетрудно убедиться, что для равнонадежных элемен-
по этой формуле мы получим тот же самый результат,
тов
что ранее был дан с применением формул общего резервирования с дробной кратностью.
5.6. Резервирование релейных элементов
Особое положение среди различных резервных схем
занимают схемы с релейными элементами, для которых
выходной сигнал может принимать только два значения:
логический ноль (контакты в разомкнутом состоянии)
и логическая единица (контакты в замкнутом состоянии).
Выделим для релейных элементов два основных вида
отказа.
Отказ «обрыв» соответствует случаю, когда при
наличии управляющего сигнала на замыкание контактов
сигнал на выходе релейного элемента отсутствует.
Это может произойти как при отсутствии замыкания контактов при подаче сигнала, так и при их самопроизвольном
размыкании без снятия управляющего сигнала.
Отказ «короткое замыкание» («КЗ») соответствует
случаю, когда контакты релейного элемента замкнуты при
отсутствии управляющего сигнала. К этому может привести как самопроизвольное замыкание контактов, так и отсутствие размыкания при снятии управляющего сигнала на
замыкание или при подаче управляющего сигнала на размыкание. В схемах с релейными элементами необходимо
осуществлять расчет показателей надежности по обоим
видам отказа отдельно.
Возьмем два одинаковых релейных элемента с вероятностью отказа q (предположим, что отказы «обрыв» и «КЗ»
равновероятны) и соединим их последовательно. Допустим,
2
08
что они оба находились в разомкнутом состоянии. Тогда для
того, чтобы вся схема дала отказ типа «КЗ», необходимо,
чтобы замкнулись контакты обоих релейных элементов.
Таким образом, по отношению к отказу «короткое замыкание» схема является резервированной и структурная схема
для расчета надежности построена с помощью параллельного
соединения элементов (рис. 5.27).
Короткое замыкание
1
а)
2
2
б)
1
Рис. 5.27. Последовательное соединение релейных элементов:
а — физическая схема; б — структурная схема по отказу «короткое
замыкание»; в — структурная схема по отказу «обрыв»
Обрыв
1 2
в)
Теперь предположим, что оба элемента находились в
замкнутом состоянии. При отказе «обрыв» любого из элементов разомкнется вся цепь и система выйдет из строя.
Следовательно, в надежностной схеме элементы будут соединены последовательно.
В соответствии с составленными структурными схемами находим вероятности отказов различных типов и эффективности по снижению вероятности этих отказов:
qq;
Э1.
q
кз
q1(1q);
обрыв
Э1.
q
обрыв
qq1
1(1q) 2qq
2
кз
q1
2
q
q
22
2
2q
2
09
Таким образом, последовательное соединение релей-
—
ных элементов улучшает ситуацию по отказам «короткое замыкание» и ухудшает по отказам «обрыв».
Теперь соединим релейные элементы параллельно
(рис. 5.28). Если элементы находятся в разомкнутом состоянии, то замыкание хотя бы одного элемента приведет к
отказу «КЗ» всей схемы. С другой стороны, самопроизвольное размыкание одного из контактов (в том случае,
если они находились в замкнутом состоянии) не разорвет
цепь и не нарушит работоспособность всей системы.
Вероятности отказов и эффективность по снижению
вероятности отказа для параллельного соединения релейных элементов:
q1(1q);
кз
Э1.
q
кз
qq1
1(1q) 2qq
Э1.
22
qq;
обрыв
q
обрыв
q
2
2
q1
2
q
2q
Короткое замыкание
1
1 2
2
а)
Рис. 5.28. Параллельное соединение релейных элементов:
а — физическая схема; б — структурная схема по отказу
«короткое замыкание»; в
б)
структурная схема по отказу «обрыв»
Обрыв
1
2
в)
Таким образом, параллельное соединение релейных
элементов улучшает ситуацию по отказам «обрыв»
и ухудшает по отказам «короткое замыкание».
2
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]