Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Решая уравнение
11
NT0
ˆ
N
2
ˆ
i1
,
i
находим оценку средней наработки до отказа
N
1
ˆ
N
i1
T
.
i
Такая простая оценка получилась лишь потому, что
для определения средней наработки мы применили самый
простой план, требующий отказа всех рассматриваемых
систем.
В заключение заметим, что рассмотренные ранее в главах 2 и 3 статистические показатели надежности являются
именно точечными оценками.
9.4.2. Интервальные оценки
Точечная оценка дает представление о величине оцениваемого параметра, но ничего не говорит о точности его
определения. Поэтому существует другая постановка задачи.
Ищут две функции
ультатов испытаний z
рез
ˆˆ
нн1 n
(z ,..., z )
, z2, …, zn ,такие, что для оценивае-
1
ˆˆ
и
вв1 n
(z ,..., z )
мого параметра имеет место соотношение
ˆˆ
P1q
.
нв
ˆˆ
Тогда
случайный интервал
рительным интервалом, значения
границами доверительного интервала или
[,]
называется дове-
нв
ˆˆ
и
называются
нв
доверительны-
ми границами. Вероятность (1 − q) — вероятность того,
что доверительный интервал «накроет» на числовой оси
истинное значение параметра — называется
довери-
тельной вероятностью.
2
91
Естественно, что чем меньше ширина доверительного
интервала, тем выше точность полученной точечной оценки. Ширина доверительного интервала будет снижаться
при увеличении количества отсчетов наблюдаемой величины (наработок или числа отказов). При повышении доверительной вероятности ширина интервала будет увеличиваться. Способ построения доверительного интервала
будет зависеть от законов распределения наработки и
определяемого показателя, а также от вида примененного
плана испытаний.
В качестве примера определим границы доверительного интервала математического ожидания (МО) при из-
2
вестном значении дисперсии
нормально распределен-
ной случайной величины Z. Предположим, что в качестве
ˆ
оценки МО выбрано среднее арифметическое
ˆ
оценка
22
распределена нормально с МО и дисперсией
ˆ
[] /n , где n — число наблюдений. Плотность рас-
z . Тогда
пределения вероятности оценки имеет вид
2
ˆ
()
ˆ
f( ) e
1
ˆ
2[]
2
ˆ
2[]
.
Введем новую случайную величину Y, распределенную нормально с нулевым математическим ожиданием и
единичной дисперсией (в этом случае говорят, что Y получена путем «нормирования» величины ):
ˆ
Y
ˆ
[]
.
Тогда доверительные границы для случайной величины Y можно определить как
, где
q/2
– (q/2)*100% – ная точка нормального
q/2
y;
вq/2
y
н 1 q/2
распределения:
292
2
y
1
q/2 e dy.
2
q/2
2
Значения
находятся по соответствующим табли-
q/2
цам квантилей нормального распределения в зависимости
от заданной доверительной вероятности.
Следовательно,
ˆ
y
в
[]
н
,
ˆ
откуда
ˆˆ ˆˆ
.
нв q/2
y[]
n
Аналогично
ˆˆ
.
вq/2
С помощью формул для
n
ˆˆ
и
нв
может быть получен
примерный способ построения доверительных интервалов
математического ожидания при произвольном распределении. Независимо от исходного распределения при большом значении n среднее арифметическое распределено
приблизительно нормально с МО , а неизвестное значение среднеквадратичного отклонения заменяется его точечной оценкой
n
(z z)
i1
ˆ
S
n1
2
i
.
лучим:
Тогда точно так же, как и в предыдущем примере, по-
293
ˆ
ˆˆ ˆ
нq/2
S
nn
1V
q/2
ˆ
;
ˆ
ˆˆ ˆ
вq/2
ˆ
ˆ
VS/ — выборочный коэффициент вариации.
где
ˆ
S
nn
ˆ
1V
q/2
,
При малом числе n необходимо использовать распределение Пирсона, особенности работы с которым будут
показаны ниже.
9.4.3. Оценки показателей надежности
Вероятность безотказной работы
При необходимости определить оценку вероятности
ˆ
p(t)
безотказной работы
по результатам испытаний в ос-
новном используют планы NRr и NUT.
При реализации плана NRr определяют число n наработок между отказами, меньших t, из общего числа наработок n
. В качестве оценки величины p(t) можно принять
nn
ˆ
p(t)
.
n
В случае испытаний по плану NUT число испытуемых
изделий N соответствует числу испытаний m, а число
(N − n) не отказавших за время t изделий — числу успехов
k. Тогда оценка вероятности имеет вид
ˆ
p(t)
kNn
.
mN
При допущении об экспоненциальности закона распределения наработки до отказа границы доверительного
интервала для оценки ВБР находятся как
294
t
ˆ
н
;
t
ˆ
в
,
где
ˆ
p(t) e
н
ˆ
p(t) e
в
ˆ
ˆ
и
н
— соответственно нижняя и верхняя границы
в
доверительного интервала для оценки средней наработки
до отказа.
Если распределение наработки неизвестно, то границы
доверительного интервала можно определить, пользуясь
данными прил. 8.
Средняя наработка на отказ
Для оценки средней наработки на отказ преимущественно используют план NRT. В качестве оценки средней
наработки до отказа принимается величина, обратная
оценке интенсивности потока отказов:
t
1
ˆ
ˆ
.
n
Границы доверительных интервалов находятся как
ˆ
н
1
и
ˆ
в
ˆ
верх
1
.
ˆ
н
Если имеются статистические данные, полученные в
результате проведения плана испытаний NRr, то в качестве
оценки средней наработки на отказ принимается среднее
арифметическое
t
ˆ
.
n
При малом числе наблюдений (когда общее количество
отказов
NRT) и 2t
не превышает 20) отношения 2t
/ (для плана NRr) распределены по закону
2
95
/ (для плана
Пирсона (так называемое 2-распределение). Поэтому границы доверительного интервала определяются как
2t
где
ˆ
н
ˆ
или
верх
22
и — соответственно нижний и верхний кван-
нв
2
в
2t
2
н
или
2t
н
верх
2
в
2t
2
н
ˆ
;
ˆ
,
тили распределения Пирсона (находятся по таблицам
в зависимости от заданной доверительной вероятности
P и числа степеней свободы k: для
и
k2n
; а для
2
Pв = (1 − Р)/2 и k = 2n 2
в
2
Pн = (1 + Р)/2
н
).
Параметр интенсивности потока отказов
Для оценки интенсивности потока отказов применяется преимущественно план испытаний NRT.
В качестве оценки используется
n
ˆ
.
t
Если поток простейший и число отказов подчиняется
распределению Пуассона, то доверительные границы
где
2
ˆ
2n
н
ˆ
и
в
ˆ
н
22
и — соответственно нижний и верхний кван-
нв
ˆ
2n
2
в
,
тили распределения Пирсона (находятся в зависимости
от заданной доверительной вероятности P и числа сте-
пеней свободы
а для
2
Pв = (1 + Р)/2).
в
k2n
: для
2
Pн = (1 − Р)/2,
н
296
Если распределение числа отказов отличается от пуассоновского, но близко к нормальному, причем дисперсия
распределения
22 2 2
, то
nt
ˆˆ
н
1
q/2
n
ˆˆ
и
q/2
1
в
n
.
Из двух последних уравнений следует, что при задан-
n
ной точности оценки объем испытаний
2
лен величине
, представляющей собой отношение дис-
пропорциона-
персии числа отказов к их среднему значению:
n
22
11
22
q/2 q/2
ˆˆ
нв
ˆˆ
.
При проведении испытаний по плану NRr используют
тот факт, что для установившегося потока восстановления
интенсивность потока равна величине, обратной математическому ожиданию наработки между отказами. Поэтому
в качестве оценки параметра потока принимают
1
ˆ
,
ˆ
ˆ
где
— оценка средней наработки между отказами.
Границы доверительного интервала
ˆ
н
ˆˆ
где
— верхние и нижние границы доверитель-
ного интервала для
и
верх н
1
и
ˆ
верх
ˆ
.
297
1
ˆ
в
,
ˆ
н
Средняя наработка до отказа
Наиболее правильно оценивать среднюю наработку до
отказа по плану NUN, так как в этом случае мы обладаем
информацией о наработке до отказа у каждой из испытываемых систем.
В этом случае
N
T
i
i1
ˆ
.
N
При плане испытаний NUT
n
T(Nn)T
i
i1
ˆ
.
N
При плане испытаний NUr
r
T(Nr)T
i
i1
ˆ
.
N
При использовании планов NRT и NRr можно учитывать тот факт, что для простейшего потока оценка средней
наработки до отказа будет совпадать с оценкой средней
наработки на отказ, и применять соответствующие формулы.
Доверительный интервал для средней наработки до отказа строится исходя из тех же соображений, что и для
средней наработки на отказ.
Интенсивность отказов
В случае экспоненциального распределения наработки
до отказа оценка интенсивности отказов обратна оценке
средней наработки до отказа:
1
ˆ
.
ˆ
298
При использовании планов NRT и NRr можно учитывать тот факт, что для простейшего потока оценка интенсивности отказов совпадает с оценкой интенсивности потока отказов.
Среднее время восстановления
ˆ
Получение оценки
, в принципе, ничем не отличает-
в
ся от оценки средней наработки на отказ при использовании плана испытаний NRr и может проводиться точно так
же, с использованием тех же формул для определения точечных оценок и доверительных интервалов. Например,
оценка среднего времени восстановления
m
T
в
i
i1
ˆ
в
T — результат i-го замера времени восстановления,
где
в
i
,
m
m — число замеров.
Коэффициент готовности
В качестве оценки коэффициента готовности принимается частное
ˆ
ˆ
К
Г
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ввв
11
ˆ
11/
.
При построении доверительного интервала необходи-
ˆ
К
мо учитывать, что случайная величина
цией отношения двух случайных величин:
является функ-
Г
ˆ
ˆ
и
. Если
в
считать, что обе эти величины распределены по закону
Пирсона, то их отношение будет распределено по закону
Фишера (так называемое F-распределение). Поэтому
ˆ
К
Г
н
1( /)F
1
ˆˆ
вв
;
2
99
1
ˆˆ
вн
,
где F
ˆ
К
Г
в
1( /)F
и Fв — соответственно нижний и верхний квантили
н
распределения Фишера (находятся по таблицам в зависимости от заданной доверительной вероятности P и
числа степеней свободы: для F
Pн = (1 + Р)/2, а для F
н
в
Pв = (1 − Р)/2, в качестве числа степеней свободы в обоих
случаях принимается число восстановлений).
Контрольные вопросы к главе 9
1. Что является основной задачей испытания САУ на
надежность?
2. Перечислите основные классы испытаний на надежность,
приведите их основные характеристики.
получение аналитических данных о надежности невозможно или затруднительно.
4. В чем заключается планирование испытаний? Предло-
жите конкретный вариант построения плана для оценки
вероятности безотказной работы, если всего на испытания могут быть поставлены 25 одинаковых систем. Поясните свой выбор.
5. Чему соответствует план испытаний NUN? Когда
необходимо применять именно этот план?
6. Сравните планы испытаний NRT и NRr. В чем их пре-
имущества и недостатки?
7. Изложите сущность метода максимального правдопо-
добия и обозначьте сферу
надежности.
8. Поясните смысл и способ получения интервальных оценок
показателей надежности. Связана ли точность получения
интервальных оценок с точностью точечной оценки?
9. В таблице 9.1 приведены данные о реализации испыта-
ний по плану NRr, где N = 7, r = 56. Найдите точечные и
интервальные оценки средней наработки на отказ,
его применения в теории
300
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]