УДК 004

ББК Á973.202-02я73 Н172

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор института проблем экоинформатики Академии естественных наук РФ

В. Ф. Крапивин

Доктор технических наук, профессор кафедры «Радиотехника» ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

С. Н. Данилов

Громов, Ю. Ю.

Н172 Надёжность информационных систем [Электронный ресурс] : лабораторный практикум / Ю. Ю. Громов, И. В. Дидрих, О. Г. Иванова, В. В. Паладьев, А. В. Яковлев. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2015. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Системные требования : ПК не ниже класса Pentium II ; CD-ROM-дисковод 48,8 Mb RAM ; Windows 95/98/XP ; мышь. – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-8265-1436-8

Приведены описания лабораторных работ по дисциплине «Надёжность информационных систем». Представлены методические и теоретические указания по их выполнению и формам представления полученных результатов.

Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 230400 (09.03.02) «Информационные системы и технологии», 090303(10.05.03) «Информационная безопасность автоматизированных систем».

УДК 004

ББК Á973.202-02

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком. Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

2

На лабораторных занятиях по дисциплине «Надёжность информационных систем» студенты закрепляют теоретический материл, приобретают навыки в решении задач, осваивают методы расчёта и обеспечения надёжности аппаратных и программных средств. К данному виду учебных занятий предъявляются следующие требования по материально-техническому обеспечению:

−специализированная аудитория – компьютерный класс;

−программное обеспечение – табличный процессор или математический пакет.

Лабораторные занятия предполагают также проведение текущего контроля степени усвоения студентами учебного материала. Он осуществляется в ходе защиты отчётов по лабораторным занятиям.

Для успешного выполнения лабораторных работ по дисциплине «Надёжность информационных систем» необходимо: знание основ теории вероятности и математической статистики; умение работать в табличном процессоре и математическом пакете.

Вданном пособии по каждой лабораторной работе приводятся:

−основные теоретические сведения;

−примеры решения типовых задач;

−варианты индивидуальных заданий;

−требования к отчёту;

−перечень контрольных вопросов для организации защиты отчётов.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЁЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

ДЛЯ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ

Основные понятия и определения

Эффективность и качество информационных систем (ИС) во многом предопределяются их надёжностью, т.е. свойством системы сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность системы выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуатации.

Исследованием данных свойств занимается специальная научная дисциплина – теория надёжности, основные задачи которой – выявление причин возникновения отказов; моделирование и оценка безотказности, восстанавливаемости, долговечности и т.д.; определение направления повышения надёжности; оптимизация надёжности с учётом дополнительных затрат, связанных с повышением надёжности, и потерь вследствие отказов.

Первые результаты рассматриваемой теории основаны на исследовании технических объектов.

4

Однако в настоящее время всё больше внимания уделяется изучению надёжности информации (программ, данных), эргономического звена человекомашинной системы. Поэтому немаловажное значение приобрели вопросы, связанные с развитием и совершенствованием не только методов оценки надёжности, но и соответствующего понятийного аппарата и терминологии. В теории надёжности все термины условно можно разделить на шесть основных групп: объекты; свойства; состояния; события; характеристики; объёмновременные параметры.

1.Объекты. В зависимости от цели исследования предметом изучения в теории надёжности могут быть неделимые объекты – элементы и совокупности взаимосвязанных объектов – системы. Один и тот же объект в зависимости от условий исследования может рассматриваться и как элемент, и как система. Объекты могут иметь самую различную природу. Так, для ИС важнейшими объектами исследования являются техника, информация (программы, данные), человеческое звено системы. При этом не менее важным объектом исследования становятся выполняемые системой функции, реализация которых, как правило, связана с безотказной работой технических, программных, информационных, эргономических и других компонент.

2.Свойства. Надёжность ИС является сложным (комплексным) свойством, которое в зависимости от назначения системы и условий её применения описывается свойствами безотказности, ремонтопригодности, долговечности и сохраняемости.

Под безотказностью понимается свойство системы непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки. Она свойственна системе в любом из возможных режимов её эксплуатации.

Показатели безотказности: вероятность безотказной работы, средняя наработка до отказа, гамма-процентная наработка до отказа, средняя наработка на отказ, интенсивность отказов, параметр потока отказов.

Под ремонтопригодностью понимается свойство системы, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путём проведения технического обслуживания и ремонтов. Затраты времени определяются в заданных условиях выполнения операций технического обслуживания и ремонта, а также в части организации технологии ремонта, материально-технического обеспечения, квалификации персонала и т.д.

Показатели ремонтопригодности: вероятность восстановления работоспособного состояния, среднее время восстановления работоспособного состояния.

Вряде случаев показатели ремонтопригодности в нормативно-техни- ческой документации относятся к регламентируемым условиям ремонта.

Долговечность можно определить как свойство системы сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленном режиме технического обслуживания и ремонта.

5

Система может перейти в предельное состояние, оставаясь работоспособной, если её дальнейшее применение по назначению станет недопустимым по требованиям безопасности, экономичности, эффективности и безвредности. Возможен и другой случай, при котором система, перешедшая в неработоспособное состояние, может не достигнуть предельного состояния, если восстановление работоспособного состояния целесообразно и (или) допустимо.

Показатели долговечности: средний ресурс, гамма-процентный ресурс, назначенный ресурс, средний срок службы, гамма-процентный срок службы, назначенный срок службы.

Сохраняемость – свойство системы непрерывно сохранять установленные значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения и (или) транспортирования. Сохраняемость системы характеризуется её способностью противостоять отрицательному влиянию условий и продолжительности хранения и транспортирования на её безотказность, ремонтопригодность и (или) долговечность. Сохраняемость представляют в виде двух составляющих: одна из них проявляется во время хранения или транспортирования, другая – во время применения объекта после хранения и (или) транспортирования. Очевидно, что продолжительное хранение и транспортирование в необходимых условиях для многих объектов могут отрицательно влиять на их поведение не только во время хранения или транспортирования, но и при последующем применении объекта, поскольку показатели ИС могут оказаться значительно ниже, чем аналогичные показатели однотипных объектов, не находящихся на хранении и не подвергавшихся транспортированию.

Показатели сохраняемости: средний срок сохраняемости, гаммапроцентный срок сохраняемости.

3. Состояния. Исправное состояние (исправность) – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) проектно-конструкторской документации.

Неисправное состояние (неисправность) – состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативнотехнической и (или) проектно-конструкторской документации.

Работоспособное состояние (работоспособность) – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) проектно-конструкторской документации.

Неработоспособное состояние (неработоспособность) – состояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям норма- тивно-технической и (или) проектно-конструкторской документации.

Предельное состояние – состояние объекта, при котором его дальнейшее применение по назначению недопустимо или экономически нецелесообразно, либо восстановление его исправного и работоспособного состояния технически невозможно или экономически нецелесообразно.

6

Каждое из рассмотренных состояний характеризуется совокупностью значений численных параметров или качественных признаков, для которых не применяют количественные оценки. Номенклатуру этих параметров и признаков, а также пределы их допустимых изменений устанавливают в нормативнотехнической и (или) проектно-конструкторской документации на объект.

Работоспособный объект, в отличие от исправного, должен удовлетворять лишь тем требованиям нормативно-технической и (или) проектноконструкторской документации, выполнение которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению.

Очевидно, что работоспособный объект может быть неисправным, например, не удовлетворять эстетическим требованиям, если ухудшение внешнего вида не препятствует применению объекта по назначению. Переход объекта из исправного состояния в неисправное и из работоспособного в неработоспособное обычно происходит вследствие повреждения или отказа.

Если объект переходит в неисправное, но работоспособное состояние, это событие называют повреждением. Если объект переходит в неработоспособное состояние, это событие называют отказом.

Переход объекта в предельное состояние влечёт за собой временное или окончательное прекращение его применения по назначению.

Различают два вида предельного состояния. Первый совпадает с неработоспособным состоянием объекта. Второй обусловлен тем обстоятельством, что, начиная с некоторого момента времени, дальнейшее применение по назначению пока ещё работоспособного объекта согласно определённым критериям оказывается недопустимым в связи с опасностью, вредностью для здоровья людей или экономической нецелесообразностью этого использования. Переход объекта в предельное состояние второго вида происходит раньше, чем возникает отказ.

4. События. Отказ ИС – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта (отказ функции).

При классификации отказов применимы следующие термины и опреде-

ления (ГОСТ 27.002–83).

Независимый отказ – отказ системы, не обусловленный отказом другой системы (подсистемы), входящей в структурный состав данной.

Классификация по признаку зависимости осуществляется при наличии (отсутствии) зависимости отказов определённого элемента данной системы от отказов других элементов. В таких случаях рассматриваемой системой является элемент, отказы которого зависят (или не зависят) от отказов элементов этой же системы, рассматриваемых также в качестве самостоятельных систем (объектов) в ИС.

Внезапным отказом является отказ, характеризующийся скачкообразным изменением значений одного или нескольких основных (заданных) параметров системы.

Постепенный отказ – отказ, характеризующийся постепенным изменением значений одного или нескольких основных (заданных) параметров системы.

7

Деление отказов на внезапный и постепенный условно в том смысле, что при эксплуатации системы всякому скачкообразному изменению параметра предшествуетпроцесспостепенного изменениякаких-либодругих физическихвеличин.

Внезапному отказу не предшествует направленное изменение какогонибудь из наблюдаемых эксплуатационных параметров системы, в связи с чем прогнозирование момента возникновения внезапного отказа практически невозможно. Понятие внезапного отказа относительно в том смысле, что при более глубоком проникновении в сущность процессов, связанных с возникновением отказа, может появиться возможность обнаружения таких постепенных изменений в системе или же её элементах, которые закономерно предшествуют возникновению данного отказа, ранее относившегося к внезапным.

Постепенный отказ характеризуется наличием, по меньшей мере, тенденции или закономерности изменения заданного эксплуатационного параметра системы за время, предшествующее моменту возникновения отказа. Это обычно позволяет с заданной высокой вероятностью прогнозировать достаточно небольшой интервал времени, на котором следует ожидать возникновения постепенного отказа.

Следует отметить, что некоторые системы обладают способностью после некоторых отказов самовосстанавливать работоспособность. Отказы такого типа называют самоустраняющимися (или сбоями).

Отказ одного и того же характера может возникать в системе несколько раз через относительно короткие интервалы времени. До того как причина этих отказов будет обнаружена, возникает несколько однородных отказов, определяемых как перемежающийся отказ.

Перемежающийся отказ (сбой) характеризуется как многократно возникающий самоустраняющийся отказ системы одного и того же характера.

Если отказ возникает в результате несовершенства или нарушения установленных правил и (или) норм конструирования (проектирования) системы, то такой отказ называют конструкционным.

Отказ, возникший в результате несовершенства или нарушения установленного процесса создания системы или ремонта её технических средств, выполнявшегося ремонтным органом, относится к производственному отказу. Если же отказ возникает в результате нарушения установленных правил и (или) условий эксплуатации системы, он считается эксплуатационным.

Отказы относят к конструкционным, производственным или эксплуатационным с целью установления, на каком этапе жизненного цикла системы следует провести мероприятия, предупреждающие и устраняющие причины отказов.

Применительно к отказу рассматривают критерий, причину и последствия отказа функции ИС.

Под критерием отказа понимается признак или совокупность признаков, установленных в нормативно-технической и (или) проектно-конструкторской документации и позволяющих определить наличие отказа в выполнении некоторой функции ИС. Признаком отказа в выполнении некоторой функции системы является недопустимое изменение значений показателей работоспособности, т.е. выход значений параметров за пределы допуска, нарушение признаков нормальной работы (своевременности и достоверности решения задач) и т.д.

8

Причина отказа в общем случае может определяться как совокупность явлений, процессов, событий и состояний, обусловивших возникновение отказа системы или какого-либо из её элементов. Причинами отказа могут быть дефекты, допущенные при проектировании, изготовлении и ремонте, нарушение правил и норм эксплуатации, различного рода повреждения, а также естественные процессы изнашивания и старения. Например, ошибочная установка оператором органов управления вычислительной системой может привести к несрабатыванию в нужный момент определённых устройств, т.е. произойдёт эксплуатационный отказ этих устройств, не связанных с их повреждениями.

Кпоследствиям отказа относятся явления, процессы, события и состояния, возникшие при отказе и находящиеся в непосредственной причинной связи с ним. Например, отказ ЭВМ и, как следствие, несоблюдение сроков решения задачи (комплекса задач).

5. Характеристики. При разработке ИС предусматривают выполнение или невыполнение технического обслуживания входящего в неё комплекса технических средств на протяжении всего срока их службы. Таким образом, все системы делят на технически обслуживаемые и технически необслуживаемые.

Кобслуживаемым относятся такие системы, для которых проведение технического обслуживания предусмотрено в нормативно-технической и (или) проектно-конструкторской документации и соответственно не предусмотрено для необслуживаемых систем.

Переход системы из неработоспособного состояния в работоспособное осуществляется с помощью операций восстановления или ремонта.

Коперациям восстановления в основном относят такие, с помощью которых осуществляются операции идентификации отказа (определение его места

ихарактера), замены, регулирования и контроля технического состояния элементов системы и заключительных операций контроля работоспособности ИС

вцелом, предусмотренных в нормативно-технической и (или) проектноконструкторской документации.

Таким образом, восстанавливаемой системой можно считать такую, для которой в рассматриваемой ситуации проведение восстановления работоспособного состояния предусмотрено в нормативно-технической и (или) проект- но-конструкторской документации. Соответственно для невосстанавливаемой системы проведение восстановления работоспособного состояния по техническим, экономическим или другим соображениям не предусмотрено в норма- тивно-технической и (или) проектно-конструкторской документации.

Переход системы из предельного состояния в работоспособное осуществляется с помощью ремонта, при котором происходит восстановление её ресурса. Поэтому системы делятся на ремонтируемые и неремонтируемые. К ремонтируемым относятся такие системы, для которых проведение ремонтов предусмотрено в нормативно-технической и (или) проектно-конструкторской документации. Соответственно неремонтируемыми являются системы, для которых проведение ремонтов не предусмотрено в нормативно-технической и (или) проектно-конструкторской документации.

9

Такое деление систем связано с возможностью восстановления их ресурса путём ремонта, что полностью обусловливается конструкцией систем, т.е. предусматривается и обеспечивается при их разработке и вводе в эксплуатацию.

6. Объёмно-временные параметры. Работа системы может иметь непрерывный процесс (за исключением вынужденных перерывов, обусловленных возникновением отказа и ремонтом), а также предусматривать перерывы, не обусловленные изменением технического состояния системы. В любом случае продолжительность или объём работы системы является её наработкой. Наработка может измеряться в единицах времени или объёма выполненной работы. Различают наработку до отказа и между отказами.

Под наработкой до отказа понимается наработка системы от начала её эксплуатации до возникновения первого отказа. Этот вид наработки рассматривается как для неремонтируемых (невосстанавливаемых), так и для ремонтируемых (восстанавливаемых) систем.

Наработкой между отказами является наработка системы от окончания восстановления её работоспособности после отказа до возникновения следующего отказа. Эта наработка относится только к восстанавливаемым системам. Она определяется объёмом работы, выполненной системой от i-го до

(i + l)-гo отказа, где i = 1, 2, ... .

Запас возможной наработки системы образует её ресурс. Для неремонтируемых систем он совпадает с продолжительностью пребывания их в работоспособном состоянии в режиме применения по назначению, если переход в предельное состояние обусловлен только возникновением отказа. Для ремонтируемых систем ресурс представляет собой наработку системы от начала или возобновления её эксплуатации (после ремонта определённого вида) до перехода в предельное состояние. Понятие «срок службы» аналогично понятию «ресурс», но имеет более узкий смысл и выражается только в календарной продолжительности. Срок службы обычно измеряют в единицах времени.

Соотношение значений ресурса и срока службы одного и того же вида зависит от интенсивности использования как элементов системы, так и системы в целом.

Время восстановления работоспособного состояния представляет собой продолжительность восстановления работоспособного состояния элемента или системы в целом. Время восстановления отсчитывается либо непрерывно, либо из него по определённым признакам исключаются интервалы времени, не обусловленные непосредственно выполнением восстановительных работ. В связи с этим различается общее и оперативное время восстановления работоспособности элемента или системы.

Простейший поток отказов

Техническое устройство (ТУ) – это наиболее общее название технических объектов. Они могут быть сложными и простыми. В теории надёжности различают понятия система и элемент.

10

Элемент – составная часть сложного ТУ, которая при расчёте и исследовании надёжности не подлежит расчленению. Система – совокупность совместно действующих элементов, предназначенная для выполнения определённых заданных функций.

Тогда отказ системы может наступить при отказе одного элемента этой системы.

В теории надёжности, наряду с другими, рассматривают простейший поток отказов, который соответствует простейшему потоку случайных событий. Простейший поток обладает следующими свойствами:

−стационарность;

−ординарность;

−отсутствие последовательности.

Стационарность определяется тем, что вероятность появления того или иного числа отказов на некотором временном интервале эксплуатации t зависит только от длины этого интервала, но не зависит от положения этого интервала на оси времени.

Иными словами, предполагается, что отказы распределены на оси времени в процессе эксплуатации с одинаковой средней плотностью λ.

Ординарность определяется тем, что вероятность возникновения двух или более отказов системы в некоторый момент времени t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью одного отказа.

Это означает, практически, что одновременно в системе отказа более двух элементов быть не может.

Отсутствие последствия определяется тем, что наступление отказа в момент ti не зависит от того, сколько отказов и в какие моменты времени они возникали до момента ti .

Поскольку простейший поток отказов соответствует простейшему потоку событий, то он подчиняется закону Пуассона. Закон Пуассона гласит:

Если случайная величина ξ в простейшем потоке событий за время τ принимает некоторое целое положительное значение K, то эта величина распределена по закону Пуассона:

p(ξ = K ) = a K e−a . K!

Статистический смысл параметра a заключается в том, что a – это сред-

нее число событий, наступающих в простейшем потоке за время τ: a = λξ .

С точки зрения надёжности случайная величина ξ представляет собой число отказов ТУ, а число p(ξ =K) представляет собой вероятность появления ровно K отказов ТУ за время τ. Представляет интерес вероятность отсутствия отказов или вероятность работы ТУ без отказов в течение времени τ:

p(ξ = 0) = a0 e−a = e−a = e−λτ . 0!

11

Тогда вероятность противоположного события, заключающегося в том, что за время τ произойдёт хотя бы один отказ, будет равна

p(ξ ≥1) =1− p(ξ = 0) =1−e−λτ .

Особенность закона Пуассона заключается в том, что математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны величине a:

Mξ = Dξ = a .

Вероятность безотказной работы и вероятность отказов

Надёжность как качественная характеристика всегда принималась во внимание при решении различных вопросов эксплуатации и технического обслуживания. Количественное определение надёжности появилось с возникновением теории надёжности. Математической платформой теории надёжности являются теория вероятностей и математическая статистика. Действительно, отказы в ТУ происходят случайным образом в неожиданные моменты времени. Это характерно даже для множества однотипных устройств, изготовленных на одном предприятии и поставленных на эксплуатацию в одно и то же время. Несмотря на единый проект, одинаковость технологии производства – каждый из них имеет индивидуальную способность сохранять свои первоначальные качества. Первоначально кажется что никакой закономерности в появлении отказов нет. Тем не менее, такая закономерность существует. Проявляется она тогда, когда ведётся наблюдение не за одним, а за многими ТУ, находящимися в эксплуатации.

В качестве основной количественной меры надёжности ТУ, характеризующей закономерность появления отказов во времени, принята вероятность безотказной работы.

Вероятность безотказной работы (ВБР) – это вероятность того, что за определённое время работы ТУ и в заданных условиях эксплуатации отказа не происходит.

Поскольку возникновение отказа является случайным событием, то и время его возникновения to – также событие случайное. Поэтому ВБР:

p(t) = p(t0 ≥ t) ,

где t – заданное время работы.

Вероятность появления отказа – это вероятность противоположного события:

q(t) = p(t0 < t) .

Но событие отказа и событие безотказности – суть противоположные события. Поэтому, в соответствии со свойством вероятностей противоположных событий, можно записать

p(t) + q(t) =1 .

12

На практике определяют оценки этих вероятностей. Пусть N – это общее количество однотипных ТУ, эксплуатируемых в течение времени t. За это время N(t) ТУ работало безотказно, а n(t ) – отказало. Таким образом:

N = N (t) + n(t) ,

т.е. через время t общее количество как исправных, так и отказавших ТУ равно первоначальному. Статистическая вероятность безотказной работы определяется выражением

p* = N (t) , N

а вероятность отказа по статистическим данным

q* = n(t) . N

Сумма этих частот равна 1. Для перехода от частот к вероятностям нужно вычислить пределы

p(t) = lim N (t) ;

N→∞ N

q(t) = lim n(t) .

N →∞ N

ВБР ТУ за интервал времени tb −ta при условии, что оно безотказно проработало в течение ta часов, определяется условной вероятностью:

Используя величину вероятности безотказной работы p(t), можно оценить среднее количество элементов или устройств ИС (например, сети, ЭВМ или её периферии) n(t), которые могут отказать за интервал времени t при известной наработке t:

n(t) = Np(t) − Np(t + t) ,

где N – число исправных элементов ИС в начале её эксплуатации.

Интенсивность отказов

С течением времени ТУ становятся менее надёжными и в процессе эксплуатации отказывают. Если весь период эксплуатации разделить на равные

_____

промежутки времени ti (i = 1, k) , то в любой из этих промежутков отказывают ni однотипных объектов.

13

Числовой характеристикой, которая путём учёта отказавших однотипных объектов позволила бы определить уровень надёжности этих объектов в любой момент времени, является интенсивность отказов. Она определяется коли-

где Ni – среднее число исправно действующих ТУ в интервале ti . Индекс «i»

представляет собой указатель интервала, для которого рассчитывается интенсивность отказа. Для расчёта по приведённой формуле необходимо знать величины ni , Ni и ti . Обычно из условия задачи известны количество отка-

завших ТУ ni и величина интервала времени ti . Величина Ni по своей сути

представляет собой математическое ожидание числа безотказно проработавших ТУ в течение i-го интервала времени. Наиболее очевидной статистической оценкой этой величины могло бы стать среднеарифметическое

m

∑(N − ni )

Однако существует оценка, которая с большей точностью соответствует значению математического ожидания:

Введём понятие плотности вероятности отказа в однотипных ТУ. Если в знаменатели выражения для λ величину Ni заменить на N , получим

или

f (t) =λ(t) p(t) .

14

Среднее время безотказной работы

Часто в качестве характеристики надёжности используют среднее время безотказной работы.

Обозначим эту величину буквой T. Тогда некоторое количество из множества однотипных ТУ, находящихся в эксплуатации, проработает безотказно какое-то время t ≥ T , причём каждый из ТУ – своё, остальные же откажут раньше, чем наступит время T. Отсюда время T можно рассматривать как математическое ожидание отрезков времени безотказной работы этих однотипных ТУ.

Среднее время безотказной работы является математическим ожиданием случайной величины – времени безотказной работы невосстанавливаемых ТУ.

В соответствие с определением получается

∞

T = ∫tf (t)dt ,

0

где f(t) – плотность вероятности времени отказов однотипных ТУ. Статистическим аналогом среднего времени безотказной работы является

среднее статистическое время безотказной работы:

n

∑t j

T * = j=1 ,

n

где tj – время появления отказа j -го ТУ; n – количество отказов в различные j-е моменты времени.

Лабораторная работа 1

АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАРАБОТКИ НА ОТКАЗ

Цель: практическое освоение студентами научно-теоретических материалов по теме занятия и закрепление умений по основам расчёта характеристик надёжности.

Материально-техническое обеспечение: индивидуальные задания выпол-

няются с использованием табличного процессора или математического пакета.

1. Основные теоретические сведения

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений. В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д.

15

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принятьто или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Пример. Рассмотрим партию 25 однотипных технических устройств (ТУ). Пусть величина Х – количество исправных ТУ перед началом их эксплуатации. Её возможными значениями будут числа 0, 1, 2, …, 25.

При каждом испытании величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Если множество возможных значений случайной величины конечно или образует бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называ-

ется дискретной.

Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной. Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.

Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то её называют смешанной. Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать её значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.

Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.

1.Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).

2.Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).

3.Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех). Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик. Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое

среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:

n

M ( X ) =∑xi pi .

i=1

Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределенияφ(x), математическиможиданиемназываетсяследующий интеграл:

∞

M ( X ) = ∫xϕ(x)dx .

−∞

∞

Здесь предполагается, что несобственный интеграл ∫xϕ(x)dx сходится

−∞

абсолютно, т.е. существует.

16

Математическое ожидание – это одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины.

Математическое ожидание – это в теории вероятности средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина.

Обычно оно приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов. Из определения следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего. Математическое ожидание случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание – это число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в некоторые точки некоторую массу (для дискретного распределения) или «размазав» её с определённой плотностью (для абсолютно непрерывного распределения), то точка, соответствующая математическому ожиданию, будет координатой «центра тяжести» прямой.

Свойства математического ожидания:

1.М(С) = C, где С = const;

2.M(C·Х) = С·М(Х);

3.М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;

4.М(Х·Y) = М(Х)·М(Y), где X и Y – независимые случайные величины. Две случайные величины называются независимыми, если закон распре-

деления одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания

D(X) = M(X –М(Х))2.

Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле: а) для дискретной величины

n

D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2 =∑xi2 pi −[M ( X )]2 ;

i=1

б) для непрерывной случайной величины

+∞

D( X ) = ∫X 2 j(x)dx −[M ( X )]2 .

−∞

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1.D(C) = 0, где С = const;

2.D(C X) = C2 · D(X);

3.D(X ± Y) = D(X) + D(Y), если X и Y – независимые случайные величины. Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величи-

ны относительно её математического ожидания. Если все значения случайной

17

величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (т.е. при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение).

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называет-

ся арифметический корень из дисперсии, т.е.

σ( X ) = D( X ) .

Заметим, что размерность σ(х) совпадает с размерностью самой случайной величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического.

Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения в множестве могут отличаться от среднего значения.

Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического.

Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10 до 20% относится к средней, больше 20 и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Расчёт вероятностных характеристик наработки на отказ выполняется на основе статистической информации об отказах технического объекта и служит исходной информацией для описания статистики отказов тем или иным вероятностным распределением, что позволяет перейти к прогнозированию отказов и управлению надёжностью. В качестве исходных данных в работе используется вариационный ряд наработки на отказ многоэлементной технической системы.

Расчёт и анализ вероятностных характеристик сводится к вычислению для заданного вариационного ряда следующих величин.

Математическое ожидание (среднее арифметическое) τ.

Дисперсия – средний квадрат отклонений вариантов t от среднего τ:

N−1

∑(ti −τ)2

18

Среднее квадратическое отклонение

σ= D .

Коэффициент вариации – относительная величина, характеризующая колебательность случайной величины:

V = στ .

В качестве функции надёжности R(t) используется дополнение до единицы интегральной функции распределения наработки на отказ F(t):

R(t) = 1 – F(t).

Чаще всего для описания функций надёжности используется аналитическое соотношение

R(t) =exp −t .

τ

2. Пример решения задач

Задача. Выполните расчёт вероятностных характеристик и постройте функцию надёжности по исходным данным наработки на отказ:

t = (2, 2, 1, 6, 8, 3, 8, 1, 7, 12).

Решение Расчёт вероятностных характеристик и построение функции надёжности

выполним в математическом пакете MathCad:

19

Вычислим математическое ожидание

Вычислим дисперсию

20

4. Отчёт по работе

Отчёт о выполненной работе оформляется индивидуально каждым студентом.

В первой части отчёта должны быть приведены название и цель работы. Вторая часть отчёта должна содержать описание решения индивидуаль-

ного задания.

В заключительной части отчёта должны быть приведены выводы, содержащие научный анализ полученных результатов.

5.Контрольные вопросы

1.Что такое «наработка на отказ»?

2.Дайте определения понятий «функция надёжности», «интегральная функция».

3.Какопределяетсясреднееарифметическоезначениеслучайнойвеличины?

4.Дайтеопределения понятий «математическое ожидание» и «дисперсия».

5.Что такое «среднеквадратическое отклонение»?

6.Поясните смысл такой характеристики случайной величины, как коэффициент вариации.

7.Какие числовые характеристики случайных величин вам известны и поясните их смысл?

8.Поясните статистический смысл вероятности случайной величины.

Лабораторная работа 2

МЕТОДЫ РАСЧЁТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ

Цель: практическое освоение студентами научно-теоретических материалов по теме занятия и закрепление умений по основам расчёта характеристик надёжности.

Материально-техническое обеспечение: индивидуальные задания выпол-

няются с использованием табличного процессора или математического пакета.

1. Основные теоретические сведения

Пусть невосстанавливаемая система состоит из последовательно соединённых элементов. Критериями надёжности невосстанавливаемых систем являются:

Pc(t) – вероятность безотказной работы системы в течение времени t; Тс – среднее время безотказной работы системы;

λс – интенсивность отказа системы в момент времени t; fс(t) – плотность распределения времени до отказа.

Между этими показателями существуют следующие зависимости:

22

∞

Tc = ∫Pc (t)dt ;

0

λc (t) = fc (t) ;

Pc (t)

fc (t) =Qc′ (t) = −Pc′ (t) ;

t

Pc =1−∫ fc (t)dt .

0

При отказе любого элемента наступает отказ системы. При этом остальные элементы системы прекращают свою работу.

Показатели надёжности такой системы вычисляются по формулам

n

Pc (t) =∏Pj (t) ;

j=1

∞

Tc = ∫Pc (t)dt ;

0

n

λc (t) = ∑λ j (t) ;

j=1

fc (t) = f1 (t)P2 (t)...Pn (t) + P1 (t) f2 (t)...Pn (t) +... + P1 (t)P2 (t)... fn (t) ,

где Pj(t) – вероятность безотказной работы j-го элемента, j = 1, 2, …, n; λj(t) – интенсивность отказа j-го элемента, j = 1, 2, …, n; fj(t) – плотность распределения времени до отказа j-го элемента, j = 1, 2, …, n.

Для случая постоянных интенсивностей отказов элементов имеют место соотношения:

Pc (t) = e−λct ;

n

λc = ∑λ j ;

j=1

Tc = 1 ;

λc

fc = λce−λct .

2.Пример решения задач

Задача. Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в табл. 1.

23

1. Интенсивности отказов элементов

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Решение Вычислим интенсивность отказа и среднее время безотказной работы

системы:

n

λc =∑λ j =0,00007 +0,00005 +0,00004 +0,00006 +0,00004 =0,00026 ч−1 ;

j=1

Графическая иллюстрация Pc(t) и fc(t) показана на рис. 1 и 2.

24

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 2

Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 3

Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятности безотказной работы элементов в течение t часов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 4

Проектируется система, состоящая из элементов четырёх групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в таблице.

26

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 5

Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 6

Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятности безотказной работы элементов в течение t часов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 7

Проектируется система, состоящая из элементов четырёх групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в таблице.

27

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 8

Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 9

Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятности безотказной работы элементов в течение t часов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

28

Вариант 10

Проектируется система, состоящая из элементов четырёх групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 11

Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 12

Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятности безотказной работы элементов в течение t часов приведены в таблице.

29

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 13

Проектируется система, состоящая из элементов четырёх групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 14

Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 15

Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятности безотказной работы элементов в течение t часов приведены в таблице.

30

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 16

Проектируется система, состоящая из элементов четырёх групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины

Вариант 17

Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

31

Вариант 18

Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятности безотказной работы элементов в течение t часов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины.

Вариант 19

Проектируется система, состоящая из элементов четырёх групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в таблице.

Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов. Графически отобразите найденные величины

Вариант 20

Система состоит из 5 элементов. Интенсивности отказов приведены в таблице.

32