Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Надёжность информационных систем. Лабораторный практикум.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

4.Единичные показатели долговечности.

5.Единичные показатели ремонтопригодности.

6.Единичные показатели сохраняемости.

7.Дайте понятие «коэффициент готовности».

8.Дайте понятие «коэффициент оперативной готовности».

9.Дайте понятие «коэффициент технического использования».

10.Коэффициент отказов и относительный коэффициент отказов.

Глава 3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОЦЕНКЕ НАДЁЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Вбольшинстве случаев решение вопросов, связанных с обеспечением надёжности, предполагает качественное и количественное изучение объектов исследования. Исследование в каждом конкретном случае специфики объектов на качественном уровне позволяет установить основные критерии отказов, причины их возникновения, пути повышения надёжности и т.д. Решение этих задач невозможно без использования теории вероятностей, математической статистики, методов оптимизации. В частности, приёмы и методы количественного анализа дают возможность исследования функций распределения вероятностей случайных величин и оценки их основных моментов и квантилей, проведения структурного анализа и моделирования систем и процессов.

Случайная величина, представленная совокупностью отдельных значений, может иметь тот или иной закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, ус-

танавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Втеории надёжности используются следующие законы распределения времени безотказной работы (отказов) системы: экспоненциальный, нормальный, распределение Вейбулла, гамма-распределение, закон Пуассона.

Лабораторная работа 4

ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЁЖНОСТИ АППАРАТНЫХ СРЕДСТВ ИС ПРИ ПОСТЕПЕННЫХ, ВНЕЗАПНЫХ И СЛОЖНЫХ ОТКАЗАХ

Цель: практическое освоение студентами научно-теоретических материалов по теме занятия и закрепление умений по определению показателей надёжности аппаратных средств, при заданной модели отказа.

Материально-техническое обеспечение: индивидуальные задания выпол-

няются с использованием табличного процессора или математического пакета.

1. Основные теоретические сведения

Получение количественных характеристик надёжности осуществляется на основе признака отказа. Наиболее распространённым делением отказов является классификация по характеру изменения выходного параметра объекта до момента возникновения отказа.

Постепенные (износные) отказы возникают в результате постепенного протекания того или иного процесса повреждения, прогрессивно ухудшающего выходные параметры объекта. К постепенным отказам относятся отказы, связанные с процессами старения (изнашивания, коррозии, усталости и ползучести материалов).

Основным признаком постепенного отказа является монотонно возрастающий характер зависимости интенсивности отказов от наработки объекта:

λ2(t2) > λ1(t1) при t2 > t1.

Этому условию удовлетворяет, например, нормальный закон распределения или закон Рэлея.

Если наработка распределена по закону Рэлея, то функция надёжности

		−t2
P(t) = e		2σ2	;
частота отказов
	t	−	t 2
	t	−		2
f (t) =		e 2	σ		;
f (t) =	σ2	e 2	σ		;
	σ2

интенсивность отказов

λ(t) = σt2 ;

среднее время безотказной работы

Т =σ π . 2

Внезапные отказы возникают в результате сочетания неблагоприятных факторов и случайных внешних воздействий, превышающих возможности объекта к их восприятию (т.е. нарушение работоспособности вследствие внешних и внутренних факторов). Внезапные отказы характеризуются скачкообразным характером зависимости степени повреждения объекта от наработки при t > Tв, где Tв – время (наработка), соответствующее возникновению причины, вызывающей внезапный отказ.

Основным признаком внезапного отказа является независимость интенсивности отказов λ от наработки объекта (λ = const), т.е. вероятность отказа на малом интервале t наработки объекта, следующем за рассматриваемым моментом t, зависит только от длины этого интервала, но не зависит от предыдущей наработки объекта (не связана с постепенным накоплением поврежде-

ний). Интенсивность отказов λ выступает, таким образом, как смешанная мера интенсивности случайных внешних воздействий, которым подвергается объект при эксплуатации, и способности объекта противостоять этим воздействиям. Для моделирования внезапных отказов используют экспоненциальный (показательный) закон распределения:

функция надёжности

t
−∫	λdt
P(t) = e 0	= e−λt ;
частота отказов

f (t) = − dP(t) =λe−λt ; dt

среднее время безотказной работы

Т = λ1 .

Считается доказанным, что время возникновения отказов из-за уходов параметров за допустимые значения подчиняется нормальному закону распределения, а при внезапных отказах – экспоненциальному.

Отказ, который включает особенности двух предыдущих, называется сложным отказом.

Закон Вейбулла применяется для построения моделей безотказности в случае сложного отказа, состоящего из внезапного и постепенного. Это распределение двухпараметрическое с параметрами λ0 и k:

вероятность безотказной работы

P(t) = e−λ0tk ;

вероятность отказа

Q(t) =1−e−λ0tk ;

частота отказов

f (t) = λ0kt k −1e−λ0t k ;

среднее время безотказной работы

		1
	Г		+1

T =	k			.
			1

λk0

При значении параметра k = 1 оно переходит в экспоненциальное, а при k = 2 в распределение Рэлея. Это распределение может использоваться для аппроксимации реальных распределений на участках приработки (k < 1), нормальной эксплуатации (k = 1) и старения (k > 1).

2.Пример решения задач

Задача. Время работы видеоадаптера до отказа подчинено закону распределения Рэлея с параметром σ = 1000 часов. Требуется вычислить количественные показатели надёжности: P(t), f(t), λ(t) для t = 500 часов, среднюю и 75%-ную наработку на отказ.

Решение 1. В условии указано, что вероятность безотказной работы распределена

по закону Релея:

−t2

P(t) = e 2σ2 ;

Подставляя σ = 1000 часов, t = 500 часов, получим

−5002

P(500) =e 2 10002 =0,88 .

2. Частота отказов связана с вероятностью безотказной работы:

	−t2				−	t 2
f (t) =− dP(t)				t
		σ2					σ2 .
	= − e 2		=		e 2
				σ2
dt

Подставляя σ = 1000 часов, t1 = 500 часов, получим

	500	e−	5002
f (500) =			2 10002	=0,44 10−3 ч−1 .

10002

3. Интенсивность отказов может быть вычислена по известной частоте отказов и вероятности безотказной работы:

e−

t 2

f (t)

2σ2

λ(t) =

σ2

P(t)

−

t 2

σ2

2σ2

Подставляя σ = 1000 часов, t = 500 часов, получим

λ(500) =	500	=5 10−4 ч−1 .

10002

4. Среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа) может быть вычислена по известной функции надёжности:

∞	∞	−	t2
Т = ∫P(t)dt = ∫e				=σ	π		.
			2σ2

0	0		2
Подставляя σ = 1000 часов, получаем			Т =100			π		=1253 ч.

			2

5. Гамма-процентную наработку Tγ определяем по графику, на котором представлена построенная функция надёжности.

Так как Tγ – это момент времени, при котором значение вероятности безотказной работы

равно γ , т.е. 0,75, необходимо провести пря100

мую, параллельную оси Х через точку по оси Y, равную 0,75. Абсцисса точка пересечения графика функции надёжности и этой прямой и есть искомое значение. Следовательно, Tγ = 780 часов.

Для проверки подставим полученное значение наработки в функцию надёжности: P(780) 100 =75 , т.е. вероятность безотказной работы равна 0,75.

3. Варианты индивидуальных заданий

Время работы электронной схемы до отказа подчиняется закону Вейбулла. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности: частоту отказов f(t), интенсивность отказов λ(t) при t = t1, t2, t3 и среднюю наработку до отказа T, если известны параметры распределения λ0 и k.

Вариант		Варианты исходных данных к заданию
Вариант	t1	Время, ч		Параметры распределения
	t1	t2	t3	λ0, 1/ч	k
1	50	500	1500	2,3 10–6	2,1
2	100	200	1000	7,4 10–3	0,7
3	1000	2000	5000	4,2 10–5	0,9
4	500	1000	2000	7,2 10–5	1,2
5	1000	2000	4000	6,9 10–6	1,5
6	500	800	1000	3,2 10–6	1,8
7	5000	1000	20000	1,2 10–12	2,9
8	1000	2000	5000	9,2 10–9	2,5
9	50	100	200	8,6 10–7	3,1
10	200	2000	20000	7 10–2	0,4
11	500	1000	1500	6,2 10–4	1,4
12	1000	2000	3000	2,1 10–5	1,5
13	52	502	1502	2,5 10–6	2,2
14	104	204	1004	7,8 10–3	0,4
15	1005	2005	5005	4,5 10–5	0,5
16	506	1006	2006	7,6 10–5	1,6
17	1007	2007	4007	6,7 10–6	1,7
18	508	808	1008	2,8 10–6	0,8
19	5009	1009	20000	1,2 10–12	1,9
20	1010	2010	5010	9,2 10–9	2,5

4. Отчёт по работе

Отчёт о выполненной работе оформляется индивидуально каждым студентом.

В первой части отчёта должны быть приведены название и цель работы. Вторая часть отчёта должна содержать описание решения индивидуаль-

ного задания.

В заключительной части отчёта должны быть приведены выводы, содержащие научный анализ полученных результатов.

5.Контрольные вопросы

1.Как по известной временной зависимости интенсивности отказов получить временные зависимости для частоты отказов и вероятности отказа?

2.Как можно определить показатели надёжности, если известно среднее время безотказной работы?

3.Какой характер имеет временная зависимость интенсивности постепенных отказов?

4.Укажите характерную особенность внезапных отказов.

Лабораторная работа 5

РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ С УЧЁТОМ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА

Цель: практическое освоение студентами научно-теоретических материалов по теме занятия и закрепление умений по основам расчёта характеристик надёжности.

Материально-техническое обеспечение: индивидуальные задания выпол-

няются с использованием табличного процессора или математического пакета.

1.Основные теоретические сведения

Втеории надёжности широкое применение находят методы теории вероятностей и математической статистики. Основным назначением этих методов является отыскание закона распределения случайной величины, который в свою очередь является полной характеристикой любой случайной величины, т.е. отражает соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.

Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности.

T	t1	t2	…	tn	…
Р	р1	р2	…	рn	…

f(t)

P(t)

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: t1, t2, …, tn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события T = ti (i = 1, 2, …, n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р1 + р2 + … + рn = 1. Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.

При исследовании надёжности используются различные формы задания распределения вероятностей случайных величин:

− интегральная функция (функция ненадёжности) – F(t);

−	дифференциальная функция (плотность) – f(t);
−	обратная	интегральная	F(t)
функция	(функция безотказности) –

P(t);

− функцияинтенсивностиλ(t). Интегральная функция F(t)

отображает вероятность отказа до момента t (рис. 1).

F (t) = ∫ f (t)dt .

Дифференциальная функция характеризуется плотностью распределения отказов и определяется по формуле

f (t) = dF (t) =− dP(t) dt dt

или f(t) = F(t), т.е. является дифференциальной формой распределения отказов. График функции показан на рис. 2.

Обратная интегральная функция, характеризующая вероятность безотказной работы Р(t), является функцией, дополнительной к F(t):

Р(t) = 1 – F(t).

График функции Р(t) показан на рис. 3.

Рис. 1. Интегральная функция

Рис. 2. График функции f(t)

		t
0		t

Рис. 3. График функции Р(t)

λ(t )

Рис. 4. График функции λ(t)

Функция интенсивности (опасности) отказов определяется как отношение плотности распределения отказов объекта к его безотказности:

λ(t) = f (t) .

P(t)

Для многих практически важных случаев график функции λ(t) имеет вид, представленный на рис. 4.

Участок 1 известен в теории надёжности как период «выжигания» дефектов (в электронных схемах) или период «приработки» (в механических схемах). Он вызван дефектами изготовления и сборки.

Многочисленные опытные данные показывают, что большинство элементов имеет длительный период, на котором интенсивность отказов λ(t) практически постоянна (участок 2), т.е. для широкого класса элементов можно принять, что λ(t) = λ = const. Участок 3 отражает период физического «старения» объекта. В информационных системах, оснащённых ПЭВМ, этот период обычно не наступает в связи с быстрым моральным старением.

В теории надёжности используются законы распределения времени безотказной работы (отказов) системы, для которых приняты следующие обозначения законов распределения (табл. 1, 2):

W(α, β) – Вейбулла; Г(α, β) – гамма; R(λ) – Рэлея;

Exp(λ) – экспоненциальный; TN(m0, σ0) – усечённый нормальный; N(m, σ) – нормальный;

U(a, b) – равномерный.

В скобках указываются параметры распределения.

1. Связь параметров распределений с первыми двумя моментами

Распределение

Экспоненциальное Ехр(λ)

Равномерное U(a, b),

а ≥ 0

a +b

b −a

Гамма Г(α, β)

αβ

α β

σ0 1+ k

−k 2 ;

σ0

−

Усечённое нормальное

m0 +kσ0

k =

e 2σ02

;

TN (m0, σ0)

2π

с=

0,5 +

σ0

Рэлея R(λ)

4 −π

4λ

Вейбулла W(α, β)

βГ 1+

Г 1

−Г

Нормальное N(m, σ), m > 3σ

В табл. 1 введены следующие обозначения:

t − x2

Ф0 (t) =

2 dx – функция Лапласа;

2π ∫0

∞

Г(α) = ∫xα−1e−x dx – гамма-функция;

I (α,t) =

∫xα−1e−x dx

– неполная гамма-функция.

Г(α)

2. Некоторые законы распределения вероятностей

Распределение

f (t)

P(t)

Экспоненциальное Ехр(λ)

λe−λt

e−λt

1, t < a;

, a ≤ t

≤ b;

−t

Равномерное U(a, b),

а ≥ 0

− a

≤ t ≤ b;

t > b

− a

0, t < a,

> b

α−1

− t

Гамма Г(α, β)

βα

1− I α,

Г(α)

−

(t −m0 )2

2σ2

σ0 2π e

;

Усеченное нормальное

−Ф

t − m

c 0,5

TN (m0, σ0), m ≥ 1,33σ

c =

σ0

0,5 + Ф

σ0

Рэлея R(λ)

2λe−λt2

e−λt 2

α−1

αt

−

Вейбулла W(α, β)

−

βα

Нормальное N(m, σ),

(t −m

t − m

−

2σ2

m >3σ

0,5 −Ф0

2π

Равномерное и нормальное распределения имеют ограничения на параметры для того, чтобы их можно было использовать для решения задач надёжности в неотрицательной временной области.

Экспоненциальный закон обладает важным свойством: вероятность безотказной работы объекта на данном интервале времени (t, t + ϕ) зависит не от времени предшествующей работы t, а только от длины интервала ϕ. Обычно экспоненциальный закон выполняется тогда, когда отказы объектов независимы, случайны во времени и носят внезапный характер. Для большинства объектов данный закон проявляется при установившемся режиме эксплуатации (λ = const). Этому закону подчиняется также хорошо организованный процесс восстановления.

Нормальное распределение часто применяется при оценке надёжности объектов, подверженных действию старения и износа. Этот закон наблюдается при постепенных отказах как электрических, так и механических объектов. Он

широко используется при анализе безотказности сложных систем с учётом ухода параметров за допустимые пределы.

Распределение Вейбулла используется при оценке надёжности элементов технического и программного обеспечения системы.

При α = 1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением. При α < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией, при α > 1 – монотонно возрастающей. Это обстоятельство даёт возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие значения параметров λ0 и α, с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало со значениями опытных данных. Распределение Вейбулла имеет место при отказах системы, возникающих в результате износа и старения элементов, а также при отказах системы, состоящей из последовательно соединённых дублированных элементов.

Гамма-распределение – это распределение случайной величины с вероятностью, выраженной в процентах. Находит своё применение при оценке надёжности системы «человек–машина», где источником отказов является человек. При α = 1 распределение совпадает с экспоненциальным распределением. Гамма-распределению подчиняется время работы резервированных устройств.

Закон Пуассона. Когда отказы системы (или элемента) независимы между собой, то вероятность возникновения n отказов за время τ

P(τ) = (λτn!)n e−λτ ,

где λ – интенсивность возникновения случайного события (отказа); е – основание натурального логарифма (е = 2,718...).

Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в системе за данное время произойдёт один, два, три и т.д. отказов.

Таким образом, законы распределения случайных величин являются объектом исследования при анализе надёжности систем и их элементов. Поэтому, прежде чем приступить к инженерным методам расчёта надёжности систем, необходимо рассмотреть закономерности, которым подчиняются эти системы (элементы).

Допустим, что в результате испытаний некоторого элемента (или системы) получены статистические данные, отражающие одну из трёх характеристик надёжности P(t), F(t), f(t), например функцию безотказности P(t). Чтобы надёжность данного элемента (или системы) можно было исследовать аналитически, для эмпирической функции Р(t), выраженной обычно в табличном виде, подбирают аналитический эквивалент из числа стандартных функций, приведённых выше.

Выбор аналитической функции осуществляется по критерию согласия. Обычно на практике используется критерий согласия Пирсона (критерий χ2 – кси-квадрат ).

Схема применения критерия χ2 сводится к следующему:

1)на основе опытных данных выбирается закон распределения изучаемого признака (например, вероятности отказа) и находятся его параметры;

2)определяются теоретические ωiт и эмпирические ωiэ частоты. Если

среди эмпирических (опытных) частот имеются малочисленные, их необходимо объединить с соседними таким образом, чтобы число наблюдений в каждом интервале было не меньше пяти;

3)вычисляется величина χ2 по формуле

χ2 = N ∑(ωiэ − ωiт )2 ,

ωiт

где N – число испытаний.

Пусть она оказалась равной X02 . Определяется вспомогательная величина r r = k – (S + l),

где k – число интервалов (после объединения); S – число параметров распределения;

4) по таблице значений χ2 для полученных значений X 02 находится ве-

роятность P( X 02 ) . Если вероятность P( X 02 ) окажется больше 0,01, то следует

считать несущественными имеющиеся расхождения между теоретическими и опытными частотами, а распределение – согласующимся с теоретическим.

В противном случае, т.е. если P( X 02 ) < 0,01 , указанные расхождения признаются неслучайными, а избранный закон распределения отвергается.

2. Пример решения задач

Задача. Система состоит из 5 электронных схем, имеющих различные законы распределения времени работы до отказа. Виды законов распределения и их параметры приведены в таблице.

Номер элемента	1	2	3	4	5

Закон распреде-
ления времени	W(2, 1800)		R(8 10–8)		TN(2000, 900)
до отказа	W(2, 1800)	Г(7, 300)	R(8 10–8)	Exp(0,0002)	TN(2000, 900)

Определить показатели надёжности каждой схемы и всей системы: вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы, интенсивность отказа, плотность распределения времени безотказной работы. Для показателей, зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.

Решение Для всех электронных схем определим математическое ожидание и сред-

нее квадратическое отклонение времени до отказа, используя соотношения из табл. 1.

Схема 1. Распределение Вейбулла с параметром формы α = 2 и параметром масштаба β = 1800:

m =1800Г(1,5) =1595,

σ =1800

Г(2) −Г2 (1,5) =834 ч.

Схема 2. Гамма-распределение с параметром формы α = 7 и параметром

масштаба β = 300:

m = 7 300=2100 ч,

σ =

7 300 = 794 ч.

Схема 3. Распределение Рэлея с параметром λ = 8 10–8:

m =

= 3133 ч,

σ =

4 −π

=1638 ч.

8 10−8

4 8 10−8

Схема 4. Экспоненциальное распределение с параметром λ = 0,0002:

m =

= 5000 ч;

σ = m = 5000 ч.

0,002

Схема 5. Усечённое нормальное распределение с параметрами m0 = 2000,

σ0 = 900:

−

2000

−

2σ2

k =

e 2 900

0 =

= 0,0342;

2000

2π

2π 0,5

+ Ф

0,5 + Ф0

σ0

900

m = 2000 + 0,0342 900 = 2029 ч,

σ = 900 1+ 0,0342

2000

−0,03422 = 931 ч.

900

Полученные значения сведены в таблицу.

Номер элемента

Среднее время безотказной

1595

2100

3133

5000

2029

работы, ч

Среднее квадратическое

отклонение времени

834

794

1638

5000

931

безотказной работы, ч

Для всех электронных схем вычислим вероятность безотказной работы,

используя соотношения из табл. 2.

Схема 1. Распределение Вейбулла:

−

P (t) = e

= e

1800

Схема 2. Гамма-распределение:

				t		t
P	(t) =1	−I	α,		=1−I 7,		.

2						300
				β

Схема 3. Распределение Рэлея:

P3 (t) = e−λt 2 = e−8 10−8 t 2 .

Схема 4. Экспоненциальное распределение:

P4 (t) = e−λt = e−0,0002t .

Схема 5. Усечённое нормальное распределение

−m0

−2000

0,5 −Ф0

σ0

900

P (t) =

2000

0,5 + Ф

0,5 + Ф0

σ0

900

Выполним табулирование этих функций от 0 до 2000 с шагом 100 часов. Вероятность безотказной работы Pc(t) системы определяется как произведение вероятностей безотказной работы электронных схем. Полученные значения сведены в таблицу.

t	P1(t)	P2(t)	P3(t)	P4(t)	P5(t)	Pc (t)
0	1	1	1	1	1	1
100	0,997	1	0,999	0,98	0,996	0,972
200	0,988	1	0,997	0,961	0,99	0,937
300	0,973	1	0,993	0,942	0,983	0,894
400	0,952	1	0,987	0,923	0,975	0,845
500	0,926	0,998	0,98	0,905	0,965	0,791
600	0,895	0,995	0,972	0,887	0,953	0,731
700	0,86	0,99	0,962	0,869	0,938	0,667
800	0,821	0,981	0,95	0,852	0,921	0,6
900	0,779	0,966	0,937	0,835	0,901	0,531
1000	0,734	0,947	0,923	0,819	0,878	0,462
1100	0,688	0,921	0,908	0,803	0,853	0,394
1200	0,641	0,889	0,891	0,787	0,824	0,329
1300	0,594	0,852	0,874	0,771	0,792	0,27
1400	0,546	0,809	0,855	0,756	0,757	0,216
1500	0,499	0,762	0,835	0,741	0,72	0,17
1600	0,454	0,712	0,815	0,726	0,681	0,13
1700	0,41	0,66	0,794	0,712	0,639	0,098
1800	0,368	0,606	0,772	0,698	0,596	0,072
1900	0,328	0,553	0,749	0,684	0,551	0,051
2000	0,291	0,5	0,726	0,67	0,507	0,036

Из графиков видно различное поведение вероятностей безотказной работы электронных схем. Скорость убывания вероятностей зависит от вида и параметров закона распределения. В нашем случае медленнее всего убывает P(t) для экспоненциального распределения и распределения Рэлея, т.е. при большом времени работы наиболее надёжными оказываются схема 3 и схема 4 исследуемой информационной системы.

Вычислим среднее время безотказной работы системы:

∞

Т = ∫Pc (t)dt .

Построим графики интенсивностей отказов схем.

Для четвёртой схемы линия интенсивности отказа параллельна оси времени. Все остальные кривые являются возрастающими функциями времени.

Интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов электронных схем. Построим её график.

Интенсивность отказа системы также является возрастающей функцией времени, что говорит о том, что система является стареющей, а закон распределения времени до её отказа не экспоненциальный.

Вычислим плотности распределения вероятностей времени безотказной работы элементов.

Схема 1. Распределение Вейбулла:

αtα−1 −

−

f1 (t) =

1800

βα

18002

Схема 2. Гамма-распределение:

		tα−1	−	t		t 6		−	t
				β
f2	(t) =		e		=			e	300 .
		βαГ(α)				300	7

Схема3. Распределение Рэлея:

f3 (t) = 2λte−2t 2 = 2 8 10−8 te−8 10−8 t 2 .

Схема 4. Экспоненциальное распределение:

f4 (t) = λe−λt = 0,0002e−0,0002t .

Схема 5. Усечённое нормальное распределение

− (t −m0 )2

−

(t −2000)2

2σ2

f5 (t) =

e 2 900

2000

σ0

2π

900

2π

0,5

+ Ф0

900

Аналогичным образом выполним табулирование функции f(t). Результаты сведём в таблицу и построим графики.

Для системы плотность распределения вероятностей времени безотказной работы вычисляется по формуле:

fc (t) = λc (t)Pc (t) .

Из графика видно, что распределение времени до отказа для системы не является экспоненциальным, если законы распределения времени до отказа электронных схем не являются экспоненциальными.

3. Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1

Система состоит из двух последовательно соединённых элементов, для которых известен закон распределения времени до отказа:

первый элемент – U(0, 100); второй элемент – Г(8, 70).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 2

первый элемент – Exp(10–4); второй элемент – TN(400, 9095).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 3

первый элемент – N(450, 9000);

второй элемент – R(3 10–5).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работыю

Вариант 4

первый элемент – U(30, 1500);

второй элемент – TN(385, 8649).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 5

первый элемент – Г(9, 80); второй элемент – N(2000, 8100).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 6

первый элемент – W(9,1000); второй элемент – Exp(4 10–5).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 7

первый элемент – U(50, 1235);

второй элемент – R(3 10–5).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 8

первый элемент – Г(9, 67); второй элемент – Exp(1,5 10–4).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 9

первый элемент – W(7, 600); второй элемент – TN(405, 9216).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 10

первый элемент – N(500, 10 000);

второй элемент – U(100, 5000).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 11

первый элемент – U(0, 100);

второй элемент – W(5, 200).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 12

первый элемент – W(9, 1000);

второй элемент – R(1 10–5).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 13

первый элемент – W(7, 600);

второй элемент – R(2 10–5).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 14

первый элемент – U(100, 5000); второй элемент – Г(8, 65).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 15

первый элемент – Г(8, 70); второй элемент – W(5, 200).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)среднее квадратическое отклонение и дисперсию времени безотказной работы;

4)интенсивность отказов;

5)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 16

первый элемент – Exp(4 10–5); второй элемент – R(1 10–5) .

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 17

первый элемент – TN(405, 9216);

второй элемент – R(2 10–5) .

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 18

первый элемент – N(500, 10000); второй элемент – Г(8, 65).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 19

первый элемент – W(6, 500); второй элемент – TN(400, 9212).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

Вариант 20

первый элемент – U(150, 5050);

второй элемент – N(550, 10050).

Найти значения следующих показателей надёжности для каждого элемента и системы в целом:

1)вероятность безотказной работы;

2)средняя наработка до отказа;

3)интенсивность отказов;

4)плотность распределения времени безотказной работы.

4. Отчёт по работе

Отчёт о выполненной работе оформляется индивидуально каждым студентом.

ного задания.

5.Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия «закон распределения случайной величины».

2.Особенность закона Пуассона.

3.Основные особенности распределения Вейбулла.

4.Основные особенности экспоненциального распределения

5.Основные особенности нормального распределения.

6.Основные особенности гамма-распределения.

Лабораторная работа 6

ИЗУЧЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ АППАРАТНЫХ СРЕДСТВ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель: практическое освоение студентами научно-теоретических материалов по теме занятия и закрепление умений по расчёту количественных показателей безотказности.

Материально-техническое обеспечение: индивидуальные задания выпол-

няются с использованием табличного процессора или математического пакета.

1. Задание

Провести анализ влияния параметра экспоненциального распределения на количественные показатели безотказности.

2.Технология работы

1.Для трёх различных параметров экспоненциального закона распределения задать выражения для расчёта интегральных характеристик безотказности (вероятность безотказной работы и вероятность отказа), построить их графики и проанализировать полученные временные зависимости.

2.Задать выражения для расчёта дифференциальных характеристик безотказности (частота отказов, интенсивность отказов), построить их графики и проанализировать полученные временные зависимости.

3.Рассчитать среднее время безотказной работы для каждого из трёх случаев и сравнить их.

3.Пример выполнения лабораторной работы в MathCad

Зададим параметры для объектов с экспоненциальным распределением наработки на отказ:

λ1 := 0.1

λ2 := 0.2

λ3 := 0.3

Определим вероятности безотказной работы объектов в зависимости от времени и построим их графики:

P1 ( t) := e− λ1 t	P2 ( t) := e	− λ2 t	:=	e	− λ3 t
		P3 ( t)	:=	e

Определим вероятности отказа объектов в зависимости от времени и построим их графики:

Q1(t) := 1 − P1(t)

Q2(t) := 1 − P2(t)

Q3(t) := 1 − P3(t)

Определим частоты отказов объектов в зависимости от времени и построим их графики:

f1(t) := −	d	P1(t)	f2(t) := −	d	P2(t)	f3(t) := −	d	P3(t)
	dt		f2(t) := −	dt	P2(t)	f3(t) := −	dt	P3(t)
	dt

								65

Определим интенсивности отказов объектов в зависимости от времени и построим их графики:

λ1(t) :=	f1(t)	λ2(t) :=	f2(t)	λ3(t) :=	f3(t)
	P1 (t)
			P2 (t)		P3 (t)

Рассчитаем среднее время безотказной работы объектов:

4. Отчёт по работе

Отчёт о выполненной работе оформляется индивидуально каждым студентом.

ного задания.

5.Контрольные вопросы

1.Как проверяется согласие эмпирического закона распределения случайной величины и выдвинутой гипотезы?

2.Что такое квантиль функции распределения случайной величины?

3.В каких случаях на практике встречается экспоненциальный закон распределения наработок до отказа?

4.Какие отказы чаще всего приводят к распределению наработок по закону Вейбулла?

5.Назовите признаки и свойства простейшего потока отказов.

Лабораторная работа 7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКАЗОВ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА

Цель: практическое освоение студентами научно-теоретических материалов по теме занятия и закрепление умений по моделированию отказов.

Материально-техническое обеспечение: индивидуальные задания выпол-

няются с использованием табличного процессора или математического пакета.

1. Задание

Сгенерировать последовательность моментов возникновения отказов в информационной системе, имеющей участки нормальной эксплуатации, приработки и износа.

2.Технология работы

1.Задать с помощью кусочно-линейной функции интенсивность отказов информационной системы, имеющей участки приработки, нормальной эксплуатации и износа, и построить её график.

2.По известной интенсивности отказов рассчитать вероятность безотказной работы и частоту отказов информационной системы, построить их графики.

3.Рассчитать момент времени tend, при котором вероятность безотказной работы достигнет заданного малого значения, например, 0,005.

4.Рассчитать максимальное значение частоты отказов fmax .

3.Пример выполнения лабораторной работы в MathCad

Зададим координаты кусочно-линейной функции, описывающей временную зависимость интенсивности отказов объекта, имеющей участки приработки, нормальной эксплуатации и износа.

λ0 := 0.001 λ1 := 0.005	λ2 := 0.005	λ3 := 0.05
t1 := 5	t2 := 60	t3 := 100

Определим кусочно-линейную функцию интенсивности отказов объекта

и построим её график:

λ1 − λ0

λ(t) :=

λ0 +

t if 0 ≤ t < t1

otherwise

λ1 +

(t − t1)

λ2 − λ1

≤ t < t2

t2 − t1

otherwise

λ2 + (t − t2)

λ3 − λ2

t ≥ t2

t3 − t2

otherwise

Определим вероятность безотказной работы объекта в зависимости от времени эксплуатации и построим её график:

⌠t

− λ(t) dt

P(t) := e ⌡0

Определим частоту отказов объекта в зависимости от времени эксплуатации и построим её график

f ( t) := λ ( t) P ( t)

4. Отчёт по работе

Отчёт о выполненной работе оформляется индивидуально каждым студентом.

ного задания.

5.Контрольные вопросы

1.Что такое «отказ»?

2.Независимый и внезапный отказы.

3.Постепенный отказ.

4.Критерии отказа.

5.Последствия отказа.

6.Что такое простейший поток отказов?

7.Свойства и характеристики простейшего потока отказов.

8.Дайте определение понятия «вероятность безотказной работы».

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.08.2026923 Кб0Навигация и лоция. Методическое указание.pdf
#
12.08.2026715 Кб0Навыки эффективного поиска работы. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026514 Кб0Нагори. Тоска по уходящему сезону.pdf
#
12.08.20261 Мб0Надежность АСОИУ. Методические указания.pdf
#
09.08.2026390 Кб0Надежность АСОИУ. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Надёжность информационных систем. Лабораторный практикум.pdf
#
11.08.2026604 Кб0Надежность механических систем. Учебно-методическое пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Надёжность систем электроснабжения. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026735 Кб0Надежность технических систем. Учебно-методическое пособие по выполнению практических работ для студентов по направлению подготовки 35.03.06 Агроинжен.pdf
#
11.08.2026586 Кб0Надежность ТЭС. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026937 Кб0Надежность электроснабжения. Учебное пособие.pdf