Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Итак, по эффективности резерва первое место занимает
ненагруженный резерв, затем следует облегченный резерв.
Наименее эффективен нагруженный резерв.
В заключение заметим, что все приведенные формулы
активного резервирования (при любом виде резерва) справедливы только для случая, когда переключатель, осуществляющий замещение отказавшего элемента исправным, является абсолютно надежным. Естественно, что на
практике это невозможно. Переключатель будет обладать
отказами следующих типов:
1. Несрабатывание переключателя при отказе основэлемента, в результате чего не произойдет переклю-
ного
чение на резервный элемент.
2. Отказы переключателя, выводящие из строя всю
систему с р
3. Ложное срабатывание переключателя,
к переходу
езервом.
приводящее
на резерв при исправном основном элементе.
Отказы третьего типа приведут к снижению общей
наработки до отказа системы с резервом, учесть их в расчетах довольно сложно. Отказы первых двух типов приводят к отказу системы с резервом. При расчетах их можно
учитывать следующим образом. ВБР каждого элемента,
входящего в систему, необходимо домножить на ВБР переключателя по отказам первого типа. А ВБР всей системы
с резервом необходимо домножить на ВБР переключателя
по отказам второго типа.
В связи с тем, что для систем промышленной автоматики интенсивность отказов мала, а надежность переключающих устройств достаточно высока, в дальнейшем при
расчете схем активного резервирования мы также будем
использовать допущение об абсолютной надежности переключателя.
191
5.3.2. Поэлементное резервирование
р
В
случае поэлементного резервирования для расчета
применяют формулы для общего резервирования с целой
или дробной кратностью. При этом расчет ведется
для каждой резервированной ячейки отдельно, а затем
рассматривается последовательное соединение этих
ячеек.
Если система состоит из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых поэлементно резервирован, то вероятность ее безотказной работы
n
где p
p (t) p (t)
(t) — вероятность безотказной работы i-го поэле-
i
ез i
i1
,
ментно резервированного элемента с учетом резерва.
5.3.3. Скользящее резервирование
Расчет
надежности схем со скользящим резервированием сводится к расчету схемы активного резервирования
с дробной кратностью. При этом последовательная цепочка основных однотипных элементов рассматривается
как r одновременно работающих параллельных элементов, а элементы скользящего резервирования так
и рассматриваются как резервные. Подобное преобразование схемы скользящего резервирования показано
на рис. 5.23.
192
0
…
r–1
0
…
r–1
r
r+1
…
а)
r
r+1
…
б)
n–1
n–1
Рис. 5.23. Исходная (а) и преобразованная (б) схемы для расчета
схемы скользящего резервирования
5.3.4. Комбинированный резерв
Преиму
ществом схем с пассивным резервированием
является непрерывность работы, но схемы с активным резервированием при ненагруженном резерве могут обеспечить более высокую эффективность резервирования. Преимущества обоих методов резервирования присущи схемам с так называемым комбинированным резервом.
Рассмотрим работу простейшей системы с комбинированным резервом (рис. 5.24, а), образованную из трех одинаковых элементов с экспоненциальным законом распределения наработки до отказа с параметром .
1
2
2
0
2
1 2
3
а)
3
б)
Рис. 5.24. Структурная схема (а) и граф состояний (б) для расчета
надежности простейшей системы с комбинированным резервом
193
Элементы 1 и 2 образуют схему пассивного резервирования с неизменной нагрузкой. Элемент 3 находится в состоянии ненагруженного активного резерва. Будем считать, что для работы системы достаточно работоспособности одного элемента. Граф состояний для рассматриваемого случая показан на рис. 5.24, б. В состоянии «0» в работе
находятся элементы 1 и 2, элемент 3 отключен. После отказа одного из элементов 1 или 2 элемент 3 переводится из
активного ненагруженного резерва в пассивный резерв
и в состоянии «1» схема соответствует случаю общего пассивного резервирования с одним основным (1 или 2) и одним резервным (3) элементами. После отказа любого из
этих элементов система переходит в состояние «2» (работоспособное состояние при одном работоспособном элементе 1, 2 или 3), а после отказа последнего элемента —
в неработоспособное состояние «3». Система дифференциальных уравнений имеет вид
dP (t)
0
dP (t)
dP (t)
dP (t)
3
i0
dt
2P(t);
1
2P(t)2P(t);
dt
2
2 P (t) P (t);
dt
3
dt
P(t) 1.
i
0
01
12
P(t);
2
Условимся, что P0(0) = 1 и преобразуем первые четыре
уравнения системы по Лапласу:
194
(s 2 ) P (s) 1;
(s 2 ) P (s) 2 P (s);
(s ) P (s) 2 P (s);
s P (s) P (s).
32
0
10
21
Перемножая все уравнения системы, получим
s(s 2 ) (s )P(s) 4 ;
P(s) .
3
s(s 2 ) (s ) (s 2 )
41324
23
3
22
3
ss2 s
В результате обратного преобразования Лапласа имеем
2t 2t t
P(t) 1 3e 2 t e 4e
.
3
Так как вероятность нахождения системы в состоянии
«3» соответствует вероятности отказа всей системы,
то ВБР
t2t 2t
p(t)1P(t)4e 3e 2 te
рез 3
.
Средняя наработка до отказа системы с резервом
2
рез
.
В том случае, когда элементов активного ненагруженного резерва будет больше одного, то, при общем количестве элементов в системе, равном n (n 3), имеем систему
195
dP (t)
0
dt
dP (t)
i
dt
dP (t)
n1
dt
dP (t)
n
dt
n
P(t) 1.
i0
2P(t);
0
...
2P(t)2P(t),i1..(n2);
i1 i
...
2 P (t) P (t);
i
n2 n1
P(t);
n1
Преобразование этой системы по Лапласу дает
n1
(2 )
P(s)
n
s(s 2 ) (s )
n1 n1 i1 i1
12 (2 2 )
ss
n1
n1
(s 2 )
i1
,
i
откуда ВБР системы
p(t)1P(t)
рез n
n1 t j1 2 t
2e te
n1 t i 2 t
2e te ,
n1
j1
n1 j1 j1
(2 2 )
(j 1)!
n1 i i
n2
(2 2 )
i0
i!
а средняя наработка до отказа
n11
.
рез
2
196
5.4. Резервирование восстанавливаемых систем
Будем рассчитывать надежность систем, образованных
из одинаковых элементов с экспоненциальными законами
распределения наработок между отказами.
5.4.1. Общее пассивное резервирование
При изучении метода переходных интенсивностей в качестве одного из частных случаев мы рассмотрели общее
пассивное резервирование целой кратностью k (см. разд. 4.7).
При этом был составлен граф состояний (рис. 4.23, б) и система дифференциальных уравнений, а также получены
формулы для коэффициента готовности и средней наработки
на отказ. Ввиду сложности полного решения системы другие
показатели надежности мы не находили.
Рассмотрим наиболее распространенный вариант, когда осуществляется общее резервирование с целой
кратностью 1 (так называемое
дублирование). Пусть си-
стема состоит из двух параллельно соединенных одинаковых элементов с интенсивностями отказов и интенсивностями восстановления (рис. 5.25).
Условимся, что контроль состояния элементов осуществляется непрерывно и после отказа любой из элементов сразу же восстанавливается. После завершения восстановления элемент сразу включается в работу.
A
0
1
0
2
1
A
1
2
B
1
а)
Рис. 5.25. Структур
надежности дублированного восстанавливаемого элемента
ная схема (а) и граф состояний (б) для расчета
197
б)
B
2
Состояние «0» является полностью работоспособным,
в состоянии «1» работоспособен только один элемент схемы (безразлично, какой именно), второй элемент подвергается восстановлению. Состояние «2» связано с отказом
обоих элементов, а следовательно, и всей системы. Значения интенсивностей переходов, которыми нагружены дуги
графа, мы определим позднее в зависимости от свойств
резервированной системы и свяжем их с интенсивностями
отказов и восстановлений и .
Пользуясь методом переходных интенсивностей, составим по графу состояний следующую систему дифференциальных уравнений:
dP (t)
0
AP(t)BP(t);
dt
dP (t)
1
dt
dP (t)
2
dt
P (t) P (t) P (t) 1.
012
00 11
AP(t)(A B)P(t)BP(t);
00 1 1 1 22
AP(t)BP(t);
11 2 2
При P
(0) = 1 преобразование системы по Лапласу
0
дает
P (s) (s+A ) 1 B P (s);
0011
P (s) (s+A B ) A P (s) B P (s);
1110022
P (s) (s+B ) A P (s).
2211
Решая систему, пол
учаем
198
2
P(s) ;
0
P(s) ;
1
P(s) .
2
2
ss(AABB)sBBABAA
2
ss(AABB)sBBABAA
2
ss(AABB)sBBABAA
s(ABB)sBB
0 1 1 2 12 02 01
0112 120201
0 1 1 2 12 02 01
112 21
A(s B)
02
AA
10
Предельные вероятности можно найти как
PlimsP(s)
ii
s0
,
поэтому предельные вероятности нахождения системы
в конкретных состояниях
BB
P;P;
01
BB AB AA BB AB AA
12 02 01 12 02 01
Так как коэффициент готовности К
12
AA
P.
2
BB AB AA
12 02 01
К
Г
BB AB AA
12 02 01
01
= Р0 + Р1 = 1 – Р2, то
г
BB A B
12 02
AB
02
.
Представим знаменатель полученных выражений
Р
(s) как
i
s(s )(s )
12
,
где
BB A A
12 01
1
(B B A A )
12 01
4
2
2
(BBABAA)
12 02 01
199
;
BB A A
(B B A A )
12 01
12 01
2
2
2
4
.
(BBABAA)
12 02 01
Тогда
2
s(ABB)sBB
P(s) ;
0
P(s) ;
1
P(s) .
2
112 21
s(s )(s )
12
A(s B)
02
s(s )(s )
12
AA
s(s )(s )
10
12
Разлагаем полученные выражения на сумму простых
дробей и осуществляем обратное преобразование Лапласа:
AA AA AA
P(s) .
2
P(s) .
1
P(t) e e .
1
P (t) 1 P (t) P (t) e
012
11 2 1 21 2 2 12
P(t) .
2
11 2 1 21 2 2 12
A( B) A( B) AB
11 2 21 2 12
(ABB)BB BB
22 1 2 1 12 12
10 10 10
( )(s ) ( )(s ) s
tt
AAe AA e AA
10 10 10
()()
11 2 21 2 12
A( B) A( B) AB
01 2 0 2 2 02
12
( )(s ) ( )(s ) s
tt
01 2 02 2 02
12
() ()
(ABB)BB
11 1 2 1 12
()
122 12
200
()
121
e.
t
2
t
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]