Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Элементы 5 и 6 соединены параллельно, поэтому для
эквивалентного элемента 56
p (t) 1 q (t)=1 1 p (t) 1 p (t) .
56 56 5 6
Последовательно к 56 подсоединен элемент 4:
p(t)p(t)p(t) .
456 4 56
Элементы 23 и 456 соединены параллельно и образуют
элемент 23456:
p (t) 1 1 p (t) 1 p (t)
23456 23 456
М
ы свели схему системы к простому последователь-
.
ному соединению трех элементов (1, 23456 и 7), что дает
возможность найти ВБР всей системы
p(t) p (t) p (t) p (t) .
1 23456 7
В итоге получаем конечную формулу
p(t) p (t) 1 1 p (t) p (t)
1p(t)1 1p(t) 1p(t) p(t).
4567
123
Для расчета средней наработки до отказа необходимо
знать законы распределения времени безотказной работы
элементов системы. Обычно расчеты ведут для участка
нормальной эксплуатации и в качестве закона распределения выбирают экспоненциальный.
При последовательном соединении элементов ВБР системы
n
t
n
p (t) p (t) e e ... e e
посл i
i1
tt t
12 ni1
i
.
1
01
Таким образом, при последовательном соединении элементов с экспоненциальными законами распределения наработки до отказа закон распределения времени безотказной работы для всей системы также будет экспоненциальным:
n
t
i
F(t)1e
посл
i1
.
Интенсивность отказов системы равна параметру экспоненциального распределения времени ее безотказной
работы и равна сумме интенсивностей отказов элементов,
образующих систему:
n
.
посл посл i
i1
Тогда средняя наработка до отказа
посл
1
n
i1
.
i
Если наработки до отказа последовательно соединенных
элементов не подчиняются экспоненциальному распределению, но описываются «стареющим» распределением, то
нижнюю границу средней наработки до отказа системы
можно оценить как
1
n
посл
1
i1
.
i
Теперь соединим элементы с экспоненциальным законом распределения наработки до отказа в систему с помощью параллельного соединения. В этом случае закон распределения времени безотказной работы системы будет
отличаться от экспоненциального:
102
n
p (t) 1 (1 p (t))
паралл i
tt t t
1(1e )(1e )...(1e )1 (1e );
Мног
12 n i
F(t)(1e).
паралл
ие современные схемы регулирования предусмат-
i1
n
i1
t
i
n
i1
ривают выполнение логических действий, связанных с переключениями при отказе основных элементов и вводе в действие резервных. Наличие таких переключателей в схемах
приводит к тому, что структурная схема для расчета надежности уже не может быть сведена только к последовательнопараллельному соединению элементов (так называемые «мостиковые» схемы).
На рис. 4.11 изображена двойная мостиковая схема,
представляющая собой структурную схему для расчета
надежности системы регулирования с резервированием.
1 2 3 4 5 6
7
9 8
10 11 12 13 14 15
Рис. 4.11. Структурная схема для расчета надежности в виде двойной
мостиковой схемы
Система регулирования состоит из следующих блоков:
– датчики (эл
– нормирующие преобр
– моду
ли ввода/вывода (элементы 3 и 12);
ементы 1 и 10);
азователи (элементы 2 и 11);
1
03
– блоки контроллеров (элементы 4 и 13);
пускатели (элементы 5 и 14);
–
исполнительная часть (ИМ + РО) (элементы 6 и 15);
–
переключатели (элементы 8 и 9).
–
Элементом номер 7 на структурной схеме обозначены
действия оператора по принятию решений о необходимости
переключения цепей и их правильному осуществлению. Переключение измерительных цепей при их отказе осуществляется автоматически переключателем 8 за счет средств диагностики.
В начальный момент времени, когда все элементы системы исправны, в работе находятся блоки 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
При отказе какой-либо части системы в действие вводятся
резервные элементы, отсекая неисправные блоки.
Например, при отказе элемента 2 путем изменения состояния переключателя 8 подключаются к основной схеме
элементы 10 и 11. Тогда в работе будут находиться элементы
10, 11, 3, 4, 5 и 6. При выходе из строя элемента 5 или 6 оператором будут введены в действие элементы 14 и 15 и т. д.
Для расчета надежности подобных систем классический метод неприменим. В данном случае необходимо использовать одну из модификаций классического метода,
рассмотренных ниже.
4.4. Модификации классического метода расчета
надежности
4.4.1. Метод перебора состояний
Рассмотрим работу системы, для которой структурная
схема для расчета надежности соответствует мостиковой
схеме (рис. 4.12).
104
Определим желаемое со-
1 2
стояние системы, вероятность нахождения в котором должна быть рассчи-
5
тана. Допустим, что таким
состоянием является работоспособное. Рассмотрим разные наборы состояний элементов, которым
Рис. 4.12. Мостиковая структурная
3 4
для расчета надежности
схема
соответствует работоспособное состояние системы.
Очевидно, что если все элементы системы находятся в
работоспособном состоянии, то система также работоспособна. Вариант, при котором первый и второй элемент работоспособны, а третий, четвертый и пятый — нет, также приводит к работоспособности всей системы. Случай, при котором неработоспособен только один элемент, например третий, также приводит систему в работоспособное состояние.
Таким образом, существует несколько комбинаций состояний элементов системы, приводящих систему в желаемое
состояние
Определим все возможные комбинации состояний
элементов системы, придерживаясь следующих правил:
Каждая комбинация состояний элементов
1.
системы
должна приводить систему в желаемое состояние.
2. Должны быть рассмотрены все возможные комбинации.
3. Комбинации не должны повторя
Доп
устим, что мы определили все m возможных ком-
бинаций. Определим событие К
(i = 1, 2, …, m) как выпа-
i
ться.
дение конкретной i-й комбинации состояний элементов.
Набор событий {К
} образует группу несовместных собы-
i
тий: комбинации не повторяются, следовательно, любая
комбинация отличается от всех других состоянием хотя бы
1
05
одного элемента. Так как ни один элемент не может одновременно находиться в нескольких состояниях, то и события {К
} не могут наступить одновременно.
i
Обозначим как событие Y то, что система находится
в желаемом состоянии. Для того чтобы это событие наступило, необходимо, чтобы выпало любое из событий К
i
В соответствии с теоремой о сложении вероятностей
несовместных событий вероятность выпадения одного, неважно какого, события из группы несовместных событий
равна сумме вероятностей наступления каждого из этих
событий. Таким образом, вероятность нахождения системы в желаемом состоянии
m
P{Y} P{K }
i1
где
P{K } — вероятность выпадения i-й комбинации.
i
,
i
Теперь найдем вероятность выпадения конкретной комбинации состояний элементов К
. Количество элементов в
i
системе, а, следовательно, и в каждой комбинации, обозначим как n. Рассмотрим набор событий {А
где событие А
заключается в том, что j-й элемент системы
ij
} (j = 1, 2, …, n),
ij
находится в том же состоянии, в котором он входит в рассматриваемую комбинацию К
элемента не зависит от состояния других, то набор {А
. Так как состояние одного
i
} об-
ij
разует группу независимых совместных событий. Для того
чтобы выпала требуемая комбинация К
наступили все события А
. Таким образом, в соответствии с
ij
, необходимо, чтобы
i
теоремой об умножении вероятностей совместных событий
вероятность выпадения комбинации К
n
P{K } P{A }
iij
j1
i
,
.
1
06
где
P{A } — это вероятность того, что j-й элемент нахо-
ij
дится в состоянии, требуемом для выпадения i-й комбинации. Заметим, что в большинстве случаев можно рассматривать только два состояния: состояние работоспособности и состояние отказа. Тогда вероятность
P{A } будет
ij
соответствовать или ВБР, или вероятности отказа j-го элемента. Разделим элементы на работоспособные (им будет
соответствовать индекс jr) и неработоспособные (индекс
jn). Обозначим количество работоспособных и неработоспособных элементов, входящих в i-ю комбинацию, соответственно, как kr
и kni. Естественно, что kri + kni = n.
i
Тогда
kr kn
ii
P{K } p q
ijrjn
jr 1 jn 1
.
Суммируя
P{K } , получаем окончательную формулу
i
метода:
kr kn
ii
m
P{Y} p q
i1
jr jn
jr 1 jn 1
.
Расчет удобно проводить с помощью составления таблицы перебора состояний. Состояние элементов отмечается знаком плюс, в случае если элемент находится в работоспособном состоянии, и знаком минус, если элемент находится в состоянии отказа.
Для рассматриваемой мостиковой схемы (рис. 4.12)
метод перебора состояний для нахождения вероятности
безотказной работы реализован в табл. 4.1.
107
Т а б л и ц а 4.1
Таблица метода перебора состояний для мостиковой схемы
№
состояния
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11
12
14
15
16
1 2 3 4 5
+ + + + +
– + + + +
+ – + + +
+ + – + +
+ + + – +
+ + + + –
– – + + +
– + + – +
– + + + –
+ – – + +
+ – + + –
+ + – – +
+ + – + –
+ + + – –
– – + + –
+ + – – –
Состояние элементов Вероятность
состояния
p
1p2p3p4p5
q
1p2p3p4p5
p
1q2p3p4p5
p
1p2q3p4p5
p
1p2p3q4p5
p
1p2p3p4q5
q
1q2p3p4p5
q
1p2p3q4p5
q
1p2p3p4q5
p
1q2q3p4p5
p
1q2p3p4q5
p
1p2q3q4p5
p
1p2q3p4q5
p
1p2p3q4q5
q
1q2p3p4q5
p
1p2q3q4q5
Вероятность безотказной работы системы будет равна
сумме всех чисел из последнего столбца таблицы. Основным недостатком метода является его большой объем вычислений.
4.4.2. Метод разложения структуры по ключевому
элементу
Свести сложные схемы к простому последовательнопараллельному соединению элементов не позволяет наличие
элементов, связанных с операциями переключения в системах автоматики.
Выделим в системе ключевой элемент, препятствующий
применению формул классического метода расчета надежности. Рассмотрим все возможные состояния этого элемента.
В наиболее распространенном случае таких состояний два:
108
работоспособное и неработоспособное. Но для некоторых
задач имеет смысл разделять состояния внезапного и параметрического или устойчивого и неустойчивого отказа
и т. п., поэтому в общем случае состояний ключевого элемента может быть больше, чем два.
Допустим, что мы выделили n состояний ключевого
элемента. Обозначим событие, состоящее в нахождении
ключевого элемента в i-м состоянии, как К
(i = 1, 2, …, n).
i
Эти события образуют группу несовместных событий, так
как элемент не может находиться в нескольких состояниях
одновременно. При этом необходимо рассмотреть все возможные состояния ключевого элемента, чтобы события К
образовали полную группу:
n
P{K } 1
i1
}
P{K соответствует вероятности нахождения ключе-
где
i
,
i
вого элемента в i-м состоянии.
Зафиксируем некоторое конкретное состояние ключевого элемента. Преобразуем схему с учетом этого состояния и найдем вероятность
}
P{S как вероятность нахожде-
i
ния преобразованной системы в желаемом состоянии. Рассматривая два события К
и Si, отметим, что они являются
i
совместными и для нахождения системы в желаемом состоянии необходимо их одновременное наступление. Поэтому вероятность наступления события Y
, состоящего в
i
нахождении системы в желаемом состоянии при нахождении ключевого элемента в i-м состоянии, определим по
теореме умножения вероятностей:
i
}}}
P{Y P{K P{S.
iii
События {Y
} отличаются друг от друга состоянием
i
ключевого элемента, поэтому они являются несовместными. Событие Y, состоящее в том, что исходная система
1
09
находится в желаемом состоянии, наступает тогда, когда
выпадает одно (любое) из событий {Y
}. Применяя теоре-
i
му о сложении вероятностей несовместных событий, находим вероятность нахождения исходной системы в желаемом состоянии:
n
P{Y} P{K } P{S }
i1
ii
.
Для примера рассмотрим нахождение вероятности безотказной работы для приведенной ранее мостиковой схемы
соединения элементов (рис. 4.12).
Выделим в качестве ключевого элемент номер 5. Допустим, что для него возможны только два состояния: работоспособное и неработоспособное. Вероятности пребывания ключевого элемента в этих состояниях равны соответственно его ВБР p
и вероятности отказа q5 (естественно,
5
что p и q рассчитываются применительно к одному и тому
же моменту времени, в дальнейшем при записи формул
для краткости не будем указывать зависимость p и q от t).
Рассмотрим работоспособное состояние пятого элемента.
Так как в этом состоянии он заведомо выполняет свои функции, то в схеме он заменяется на перемычку (рис. 4.13). Вероятность безотказной работы для полученной схемы
p (1qq)(1qq) .
I1324
1 2
3 4
Рис. 4.13. Структурная схема с учетом работы ключевого элемента
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]