Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
t
t
p(t) p .
3. Дисперсия наработки до отказа
D .
к
н
22
2.3.6. Общие замечания
по выбору закона распределения
В заключение еще раз напомним, что к вопросу выбора
того или иного закона распределения нужно подходить
крайне осторожно.
Допустим, что в результате наблюдений имеются статистические оценки средней наработки до отказа и ее дисперсии: соответственно 3 000 ч и 9 000 ч
2
. Этому случаю
могут соответствовать:
1. Экспоненциальное распределение с параметром
= 1/3 000 ч
2. Обычное нормальное распределение с параметрами
m = 3000 ч и
3. Распределение Вейбулла с параметрами = 69,53
и
= 10
0
–242
–1
;
= 30 10 ч.
;
Вычислим вероятность безотказной работы на 2 000 часов для этих законов:
1. Для экспоненциального распределения наработки
p(2 000) = 0,513;
2. Для нормального распределения p(2 000) ≈ 1;
3. Для распределения Вейбулла p(2 000) ≈ 1.
Разброс полученных показателей существенен. Таким
образом, для определения вида распределения недостаточно определить оценки средней наработки до отказа и ее
дисперсии, необходимо воспользоваться методами проверки соответствия теоретического распределения экспери-
61
ментальным данным. Заметим, что (при отсутствии данных о законе распределения) в первом приближении рекомендуется в качестве закона распределения принимать
экспоненциальный, дающий наиболее пессимистический
прогноз ВБР.
Контрольные вопросы к главе 2
1. Перечислите основные показатели надежности невос-
станавливаемых систем.
2. Чем можно объяснить убывающий характер графика
функции надежности?
3. Как найти вероятность отказа и вероятность безот-
казной работы по графику функции распределения наработки до отказа и графику функции плотности
распределения?
4. Как вы понимаете физический смысл интенсивности
отказов системы?
5. Изобразите график интенсивности отказов невосста-
навливаемой системы для интервала времени, соответ-
ствующего всему жизненному циклу. Объясните его вид.
6. Как связана средняя наработка до отказа с функцией
надежности?
7. Каким образом получить статистическую оценку ВБР?
Как она связана с аналитическим значением?
8. Приведите основные характеристики экспоненциально-
го распределения. Что является его главной особенностью?
9.
Известно, что
мы регулирования подчинятся экспоненциальному закону
с параметром распределения α = 0,0001 1/ч. Найдите
значение основных показателей надежности (при расчете ориентироваться на время 2 000 часов).
10. Приведите основные свойства нормального распределе-
ния. Сопоставьте обычное и усеченное распределение.
наработка до отказа некоторой систе-
62
11. Для системы с нормальным законом распределения
наработки до отказа (m = 3 200 ч,
= 1 000 ч) определите показатели надежности на момент t = 2 000 часов
.
12. Каковы св
его связь с экспоненциальным распределением
13. Наработка до отказ
на распреде
= 0,0001. Рассчитайте показатели надежности на
0
момент 2 000 часов
14. Как зависит от врем
ойства распределения Вейбулла? Покажите
.
а системы контроля подчине
лению Вейбулла с параметрами
= 0,5 и
.
ени интенсивность отказов для си-
стемы, чья наработка до отказа распределена по закону
Рэлея
?
15. Какие из ра
ссмотренных в данной главе распределений
наработки до отказа могут быть отнесены к «стареющим» распределениям
?
-
63
ГЛАВА 3. ВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ СИСТЕМЫ
3.1. Потоки отказов
Для невосстанавливаемых систем мы считали, что
жизненный цикл технического средства заканчивается сразу после наступления отказа. У восстанавливаемых систем
после каждого отказа происходит восстановление, после
чего система вновь включается в работу. Моменты наступления отказов и моменты завершения восстановлений являются случайными. Как правило, для систем промышленной автоматики время восстановления значительно меньше, чем время между отказами, поэтому для упрощения
всех дальнейших рассуждений будем считать, что восстановление производится мгновенно.
Рассмотрим работу восстанавливаемой системы.
Начнем наблюдения в момент времени t = 0, соответствующий вводу
системы в эксплуатацию. В случайный момент времени t
происходят
1
первый отказ и
Рис. 3.1. Поток отказов
восстановление, в
случайный момент
времени t2 – второй отказ и восстановление и т. д.
Таким образом, формируется поток отказов (рис. 3.1) —
последовательность отказов, происходящих один за другим
в случайные моменты времени. Интервалы времени между
отказами дадут нам значения наработок между отказами:
T1 = t1; T2 = t2 – t1; … ,Ti = ti – t
i–1
, …
64
Поток отказов можно описать двумя способами:
1. С помощью дискретного случайного процесса (t),
соответствующего числу отказов на интервале времени (0, t).
2. С помощью последовательности случайных нарабо-
ток между отказами Ti.
3.2. Классификация и характеристики
потоков отказов
3.2.1. Классификация потоков
1. По изменению свойств потока во времени выделяют
с
тационарные и нестационарные потоки. Для стационар-
ных потоков распределение числа отказов на интервалах
времени будет определяться только длительностями этих интервалов, но не будет зависеть от моментов их начала.
Следовательно, вероятностные характеристики стационарного потока не зависят от времени. Для нас наиболее важным признаком стационарности будет равенство математических ожиданий числа отказов на интервале времени:
M[ (t ,t )] M[ (t , t )], если (t2 – t1) = (t4 – t3).
12 34
Для нестационарных потоков число отказов на интервалах времени будет зависеть от выбора момента начала
отсчета временного интервала.
2. По возможности наступления нескольких отказов
одновременно выделяют ординарные и неординарные
потоки отказов. Для ординарных потоков невозможно появление двух и более отказов одновременно, т. е.
P(n, t)
где
P(n, t)
lim 0, n 2, 3, ...
t0
t
— вероятность возникновения n отказов на
,
интервале времени длительностью t. У неординарных потоков одновременно могут произойти несколько отказов.
65
3. По связи свойств потока с его «предысторией» выделяют потоки без последействия и потоки с последей-
ствием. Для потоков без последействия число отказов
на интервале времени не зависит от количества отказов
на другом интервале при условии, что эти интервалы не
пересекаются. Следовательно, распределение числа отказов на любом интервале времени для таких потоков не зависит от того, что происходило в системе ранее. Число отказов в потоке с последействием зависит от того, как часто
наступали отказы до рассматриваемого момента времени.
Реальные системы регулирования чаще всего обладают
ординарными нестационарными потоками отказов с последействием.
3.2.2. Характеристики потоков отказов
Потоки отказов можно охарактеризовать с помощью
следующих функций:
1. Если поток описан последовательностью случайных
наработок между отказами, то используют набор функций
распределения или функций плотности распределения
наработок между отказами Т
F (t) P{T t}; f (t) , i 1, 2, ...,
iii
i
dF (t)
i
dt
.
Заметим, что в практических расчетах чаще всего считают,
что все наработки распределены одинаково
.
2. Для потока, описанного с помощью дискретного
случайного процесса (t), используют следующие характе-
ристики:
Набор вероятностей наступления n отказов до момента
времени t
p(n, t) P{ (t) n}, n 0, 1, 2, ...
66
Ведущая функция потока отказов W(t) — это мате-
матическое ожидание числа отказов за время t:
W(t) M (t).
Функция является неубывающей и неотрицательной.
Параметр потока отказов (также употребляется наз-
вание
интенсивность потока отказов)
dW(t)
(t)
dt
характеризует скорость изменения числа отказов во време-
Для стационарных потоков параметр потока отказов
ни.
равен константе.
3.3. Виды потоков отказов
3.3.1. Однородный пуассоновский поток
Стационарный
называется
однородным пуассоновским или простей-
ординарный поток без последействия
шим потоком.
Для такого потока
n
(t)
p(n, t) e
t
,
n!
где — параметр распределения Пуассона. Случаю отсутствия отказов на рассматриваемом интервале времени
t
соответствует n = 0. При этом
p(t) p(0,t) e ,
то есть
наработки между отказами в простейшем потоке распределены экспоненциально.
Найдем ведущую функцию однородного пуассоновского потока. Математическое ожидание дискретной случайной величины находится как сумма всех ее возможных
значений, домноженных на вероятности их появления. Поэтому для простейшего потока
67
W(t) n p(n,t) n e
n0 n0
(t)
n!
n
.
Первый член этой суммы (соответствующий n = 0) равен
нулю, следовательно, суммирование можно начать с n = 1:
(t)
n!
n
W(t) n e
n1
te n te .
n1 n1
n1 n1
(t) (t)
n! (n 1)!
Обозначим n – 1 = k, тогда
(t)
k!
k
.
Так как
k0
W(t) t e
k
(x)
x
e,
то
k!
W(t) t e e t
.
k0
Для определения дисперсии числа отказов в простейшем потоке сначала найдем второй начальный момент
распределения Пуассона
22
2
(t) (t)
tn e t (n1)1 e.
n1 n1
np(n,t) n e
n0 n0
n1 n1
(n 1)! (n 1)!
(t)
n!
n
Раскрывая скобки, приведем это выражение к более удобному для нас виду:
n1 n1
t(n1) e e
2
n1 n1
(t) (t)
(n 1)! (n 1)!
.
68
Так как
n1 n1
(n 1) e 0 (n 1) e
n1 n2
(t) (t)
teteteet
(n 2)! k!
n2 k0
(t) (t)
(n 1)! (n 1)!
n2 k
и
n1
n1
(t)
(n 1)!
eee 1
,
то
t( t 1) .
2
Следовательно, дисперсия числа отказов в простейшем
потоке равна
22
2
22
(t) t (t) t
и равна
D (t) M (t) t( t 1) ( t)
математическому ожиданию числа отказов в по-
токе.
Параметр потока отказов
dW(t) d( t)
(t) const
,
dt dt
то есть для простейшего потока параметр потока отказов
равен параметру распределения Пуассона.
Заметим, что если некоторый поток образован сумми-
рованием взаимно независимых простейших потоков
с параметрами 1 и 2, то суммарный поток будет также
2
являться однородным пуассоновским с параметром
+ 2.
1
1
и
Суммарный поток, состоящий из n потоков с параметрами
(i = 1, 2, …, n), при выполнении условия
i
69
nn
2
i
i1 i1
0,1
2
i
может считаться простейшим.
3.3.2. Неоднородный пуассоновский поток
Ординарный поток без последействия, не обладающий
свойством стационарности, называется
неоднородным
пуассоновским потоком.
Для этого потока
t
(x)dx
0
p(n, t) e
n
t
0
(x)dx
,
n!
где (x) — некоторая функция времени.
Ведущая функция неоднородного пуассоновского потока
t
W(t) (x)dx
0
.
Параметр потока отказов
(t) (t).
3.3.3. Процесс восстановления
Пусть все наработки между отказами Т
взаимонезави-
i
симы и распределены с одной и той же плотностью распределения f(t). Тогда поток Т
, Т2, …, Тi будет называться
1
процессом восстановления. Установим связь между ха-
рактеристиками этого процесса. В момент времени t = 0
поставим на испытания N одинаковых систем. Среднее
число систем, отказавших за время t, равно
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]