Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
где m и — соответственно математическое ожидание
и среднеквадратическое отклонение нормального распределения. Заметим, что данный интеграл не выражается
в элементарных функциях, поэтому значение F(t) обычно
находят по таблицам, переходя от случайной величины Т
к нормированной случайной величине
Tm
z
,
распределенной нормально с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией. Значения интегральной функции нормированного нормального распределения
приведены в прил. 1.
Плотность распределения наработки до отказа
2
(t m)
1
f(t) e
2
2
2
.
Максимум этой функции соответствует t = m и равен
1
. Математическое ожидание нормального распреде-
2
ления по определению является средней наработкой до отказа:
m , поэтому можно записать
2
(x )
t
1
F(t) e dx
2
2
2
,
f(t) e
1
2
(t )
2
2
.
2
Интенсивность отказов
2
(x )
2
2
f(t) e
(t)
p(t)
1
2
2
(x )
t
2
2
edx
.
51
График интенсивности отказов монотонно возрастает
и после t > асимптотически приближается к прямой
y(t )/.
Графики основных показателей надежности для случая
нормального распределения наработки до отказа показаны
на рис. 2.8. Изменение математического ожидания сдвигает функции F(t), p(t) и f(t) вдоль оси абсцисс, не изменяя их
формы (уменьшение математического ожидания сдвигает
влево, увеличение — вправо).
1,2
p(t)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Рис. 2.8. Нормальное распределение наработки до отказа
f(t)
(t)
F(t)
t
Уменьшение математического ожидания нормального
распределения снижает ВБР и увеличивает вероятность
отказов, снижает среднюю наработку до отказа и увеличивает интенсивность отказов.
Пересечение графиков F(t) и p(t) для нормального распределения всегда происходит при значении времени, равном математическому ожиданию распределения. Это объясняется следующим. Вероятность отказа в момент време-
можно определить как по значению F(t1), так и по
ни t
1
площади под графиком f(t) при t от 0 до t
безотказной работы — по значению p(t
графиком f(t) при t от t
до бесконечности.
1
52
. Вероятность
1
) и площади под
1
Рис. 2.9. Зависимость показателей нормального распределения от СКО
График функции плотности распределения вероятности
является симметричным, его максимум соответствует времени, равному математическому ожиданию. Поэтому вероятностям отказа и безотказной работы, равным 0,5, будет соответствовать время, равное математическому ожиданию.
53
Влияние изменения среднеквадратического отклонения
на вид графиков основных показателей показано на рис. 2.9.
Увеличение СКО делает графики функции распределения,
функции надежности, функции плотности распределения и
интенсивности отказов более пологими, «растягивая» их по
оси времени влево и вправо от математического ожидания.
Точка пересечения F(t) и p(t) не меняется, так же как и время,
соответствующее точке максимума f(t).
Увеличение СКО для нормального распределения
снижает ВБР и повышает вероятность отказа. Средняя
наработка до отказа не изменяется, интенсивность отказов
при времени, меньшем математического ожидания, увеличивается, при времени, большем математического ожидания, снижается. Обычное нормальное распределение удобно применять при небольшом разбросе наработки до отказа, когда среднеквадратическое отклонение не превышает
величину
. При большем разбросе кривые закона
3
распределения могут «попасть» в область отрицательных
наработок, что не соответствует физическому смыслу
наработки до отказа. В этом случае применяют
усеченное
нормальное распределение (рис. 2.10), получаемое из
обычного нормального распределения за счет ограничения
возможных значений наработки до отказа.
Рис. 2.10. Усеченное нормальное распределение
54
Ограничение слева проводится в точке Т = 0, ограничение справа связано с понятием назначенного ресурса Тн.
Назначенный ресурс — это суммарная наработка систе-
мы, при достижении которой эксплуатация системы должна быть прекращена независимо от ее состояния.
Закон усеченного нормального распределения:
0, при t 0;
t
F(t) k e dx, при 0 t Tн;
0
1при t Tн.
2
(x m)
2
2
f(t) k e
,
(t m)
2
2
2
где k — нормирующий множитель, значение которого может быть найдено из условия равенства единице площади
под кривой f(t):
Тн
ke dx
0
(x m)
2
2
2
.
1
В усеченном нормальном распределении средняя нара-
ботка до отказа уже не равна параметру распределения m.
Смещение влево или вправо относительно m зависит от
величины отношения g = f(Тн) / f(0). При g < 1 средняя
наработка до отказа смещается вправо от m, при g > 1 —
влево, при g = 1 = m.
Дисперсия наработки до отказа в любом случае снижа-
ется по сравнению с неусеченным распределением.
55
Для частного случая, когда возможные значения наработки лежат в интервале (0, ), математическое ожидание
(то есть средняя наработка до отказа) и дисперсия усеченного нормального распределения
mmc,
ус
D1cc,
22
ус
m
где
2
m
m/
2
2
1
2
x
2
0
Заметим,
k
ce;
2
11
kedx.
2
2
что при m/ > 2, что обычно справедливо для
средств промышленной автоматики, значение нормирующего множителя k мало отличатся от единицы, поэтому
при расчетах можно пользоваться не усеченным, а обычным нормальным распределением.
2.3.3. Распределение Вейбулла
Экспоненциальный и неусеченный нормальный законы соответствуют двум крайним случаям. Экспоненциальный закон обладает постоянной интенсивностью отказов и асимметричной функцией плотности распределения. В случае нормального закона интенсивность отказов монотонно возрастает, а функция плотности распределения симметрична. Промежуточное положение между
ними занимает двухпараметрическое
распределение
56
Вейбулла (рис. 2.11), позволяющее описать свойства
наработки до отказа как на этапе износа, так и на этапе
приработки.
Функция распределения наработки до отказа
t
F(t) 1 e
,
и – параметры распределения.
где
0
0
Плотность распределения наработки до отказа
f(t) t e
.
0
0
t
1
Функция надежности и ВБР
tt
p(t) e ; p(t ) e
001
.
1
Интенсивность отказов
1
.
При =
1
f(t) e
(t) t
0
0
t
0
и распределение Вейбулла
совпадает с экспоненциальным с интенсивностью отказов
. При < 1 интенсивность отказов монотонно убывает,
0
при > 1 — монотонно возрастает.
Средняя наработка до отказа и ее дисперсия
1
Г( 1)
0
121
Г(2 1) Г ( 1)
D
2
0
;
1
1
,
где Г(x) — гамма-функция.
Увеличение параметра распределения Вейбулла
0
уменьшает ВБР и увеличивает вероятность отказа, средняя
наработка до отказа снижается.
57
Рис. 2.11. Распределение Вейбулла
2.3.4. Распределение Рэлея
Частным случаем распределения Вейбулла (при = 2)
является распределение Рэлея. Функция распределения
наработки до отказа
2
t
2
F(t) 1 e
,
2
где — параметр распределения Рэлея
Функция надежности
2
t
2
p(t) e
2
.
58
Плотность распределения наработки до отказа
2
t
f(t) e
2
t
.
2
2
Интенсивность отказов
(t).
t
2
Средняя наработка до отказа
2
t
p(t) dt e dt
00
Таким
образом, в случае распределения Рэлея интен-
2
2
2edx .
2
x;
t2x;dt2dx
2
x
0
2
t
2
2
2
сивность отказов линейно возрастает с течением времени,
а средняя наработка до отказа прямо пропорциональна параметру распределения.
Дисперсия наработки до отказа
2
D (t ) f (t) dt t e dt
00
te dt 2 (2 ).
222
0
Графики
2
tt
12
32
22
t e dt t e dt
2
00
2
t
2
2
основных показателей надежности для рас-
22
22
22 22
2
2
t
2
11
t
2
2
пределения Рэлея показаны на рис. 2.12.
59
0,8
t
0,6
1
F(t)
(t)
0,4
0,2
0
00,511,522,533,54
Рис. 2.12. Распределение Рэлея
f(t)
Увеличение параметра распределения Рэлея приводит
к тому, что графики F(t), p(t) и f(t) «растягиваются» вдоль
оси времени, максимальное значение функции плотности
распределения f(t) уменьшается и «смещается» вправо.
При этом вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа увеличиваются, а интенсивность отказов
снижается.
2.3.5. «Стареющие» распределения
Распределение наработки до отказа называют «стареющим», если интенсивность отказов является монотонно
возрастающей функцией. В этом случае показатели надежности будут подчиняться следующим неравенствам:
1. При t можно оценить нижнюю границу ВБР как
t
p(t) e
.
2. Если на достаточно длительном интервале времени
) были проведены испытания на надежность некото-
(0, t
к
рых однотипных систем, в результате которых была определена нижняя оценка ВБР p(t
) pн, то при любом t tк
к
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]