Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Граф состояний для системы из одинаковых элементов
с экспоненциальным распределением наработки до отказа
(с параметром распределения ) показан на рис. 5.19.
0
Рис. 5.19. Граф состояния для случая общего активного
резервирования невосстанавливаемой системы
(целая кратность, ненагруженный резерв)
1 2 k+1
...
Система дифференциальных уравнений для рассматриваемого случая:
dP (t)
0
dt
dP (t)
1
dt
dP (t)
i
dt
dP (t)
k1
dt
k1
P(t) 1.
i0
i
P(t);
0
P (t) P (t);
01
...
P (t) P (t);
i1 i
...
P(t);
k
Применяем
полагая, что P
к системе преобразование Лапласа, пред-
(0) = 1. В результате имеем
0
81
1
P(s) s 1;
0
P(s) s P(s);
10
P (s) s P (s);
ii1
sP (s) P (s).
k1 k
Перемножим
все уравнения этой системы. В результа-
те получим
s s P(s) P(s)
k1
После сокращения имеем
ss P (s)
,
откуда
P(s)
k1
...
...
k1 k
ii
i0 i0
k1
k1
ss
k1
k1
k1
.
k1
.
В результате разложения на простые дроби получим
i
s
i1
.
P(s)
k1
k
1
s
i0
Учитывая, что обратное преобразование Лапласа обла-
дает свойством линейности, находим
it
P(t)1
k1
k
i0
te
i
.
i!
Так как в (k + 1)-м состоянии система неработоспособ-
на, то получаем следующие показатели надежности.
82
1
– Вероятность отказа системы
(др
k
t
q(t)1e
рез
–
Вероятность безотказной работы системы
p(t)e
рез
t
i0
k
i0
(t)
i
(t)
i!
i
i!
.
.
При дробной кратности резервирования при необхо-
димости одновременной работы r элементов из общего
числа одинаковых элементов n средняя наработка до отказа резервированной системы составит
рез 0 0
(n r 1) (k r 1).
Эффективность по повышению средней наработки до
отказа
(k r 1)
Эkr1
0
0
.
Для одинаковых элементов с экспоненциальным законом распределения наработки до отказа граф состояний
показан на рис. 5.20.
r
0
Рис. 5.20. Граф состояний для случая общего активного
резервирования невосстанавливаемой системы
обная кратность, ненагруженный резерв)
1 2
r
r r
...
kr+1
Система уравнений метода переходных интенсивностей:
183
dP (t)
0
dt
dP (t)
1
dt
dP (t)
i
dt
dP (t)
kr 1
dt
kr 1
P(t) 1.
i0
rP(t);
rP(t)rP(t);
0
01
...
rP(t)rP(t);
i1 i
...
rP(t);
kr
i
В результате ее решения получаем следующие показа-
тели надежности для системы с резервом.
Вероятность отказа
–
nr kr
rt rt
q (t)1e 1e
рез
(r t) (r t)
i0 i0
ii
.
i! i!
– Вероятность безотказной работы системы
nr kr
rt rt
p(t)e e
рез
3.
Облегченный резерв.
(r t) (r t)
i0 i0
ii
.
i! i!
В этом случае резервные элементы находятся в более
легких условиях эксплуатации, так что отношение интенсивностей отказа резервных и основных элементов
рез
h1
осн
184
.
Для системы с одинаковыми элементами с экспоненциальным законом распределения наработки до отказа
при целой кратности резервирования k граф состояний
показан на рис. 5.21.
+k h
0
Рис. 5.21. Граф состояний для случая общего активного
резервирования невосстанавливаемой системы
(целая кратность, облегченный резерв)
+(k–1) h
1 2
+(k–2) h
...
Система уравнений приобретает следующий вид:
dP (t)
0
dt
dP (t)
1
dt
dP (t)
x
dt
dP (t)
k1
dt
k1
P(t) 1.
x0
(kh 1) P (t);
(kh 1) P (t) 1 (k 1)h P (t);
1(kx1)hP(t)1(kx)hP(t);
P(t);
k
x
0
01
...
x1 x
...
k+1
Применяем преобразование
Лапласа с учетом допущения о том, что в начальный момент времени система находилась в работоспособном состоянии: Р(0) = 1. Получаем
систему алгебраических уравнений
185
P(s) s (kh 1) 1;
0
P (s ) s 1 ( k 1)h ( kh 1) P (s);
10
...
P (s) s 1 (k x)h 1 (k x 1)h P (s);
xx1
s P (s) P (s).
k1 k
...
Перемножая уравнения системы, имеем
k1 k
sP(s) s1(kx)h
x
x0 x0
k1 k
k1
1(k x1)h P(s).
x1 x0
x
Сокращаем и выражаем P
P(s)
k1
ss1(kx)h
ss1(kx)h
x0
Представляя
[1 + (k – х)h] как a
ние на простые дроби
P(s)
k1
(s):
k+1
k1
k1
k
x0
k1
k
1(kx1)h
x1
k
1(kx)h
x0
.
, получим разложе-
х
k
a
x
x0
k
ssa
x0
86
1
x
11
s(sa)
x0
k
(1) .
k
Подставляя значения a
k
P(s) [(1)
k1
1
s
x0
(s (1 (k x)h) )
k
k
(1 (k y )h )
y0,
yx
k
y0,
yx
h(y x)
11
s(s(1(kx)h))
(1) .
x0
k
k
a
y
y0,
yx
k
(a a )
y0,
yx
и ay, имеем
x
k
xy
k
(1 (k y )h )
y0,
yx
k
(1 (k x )h )
(1 (k y )h )
y0,
yx
1
x
]
Обратное преобразование Лапласа выражения для
(s) позволяет определить вероятность отказа системы
P
k+1
с резервом
k
(1 ( k y) h)
y0
k
q(t)1 (1) e
рез
x0
yx
k(1(kx)h)t
k
h(y x)
y0
yx
187
и ее вероятность безотказной работы
k
(1 (k y) h )
y0,
k
p(t) (1) e
рез
x0
yx
k(1(kx)h)t
k
h(y x)
y0,
yx
Преобразуем полученное выражение, имея в виду, что
.
kk
h(y x) h(1) (x y)
y0, y0,
yx yx
kk
,
а
k
(x y) ( 1) x!(k x)!
y0,
yx
kx
.
Тогда
k
(1 (k y) h )
y0,
k
p(t) e
рез
1
kkx
h(1)x!(kx)!(1(kx)h)
До
1
kkx
h(1)x!(kx)!
k
x0
множим дробь на отношение (k! / k!) и сделаем за-
yx
x0
k
(1 (k y) h )
y0
(1 (k x) h) t
(1 (k x) h) t
e.
мену k – y = j. Так как
kk
(1 ( k y) h) (1 j h )
y0 j0
188
,
то
k
(1 j h )
p(t)
рез
k
x0
Делаем замен
kx
( 1) x!(k x)!(1 (k x) h)
у k – x = i. Окончательным результатом будет
k
p(t)
рез
j0
k
(1 j h )
j0
k
hk!
k!
(1 j h )
ki
hk! (1)(ki)!i!(1ih)
j0
hk!
k
k
k! e
(1 (k x) h) t
e.
(1 i h ) t
i0
k
i0
ii
(1) C
(1 i h)
(1 i h ) t
k
e.
Интеграл
от полученного выражения дает среднюю
наработку до отказа
k
11
рез
i0
1hi
.
Для дробной кратности при общем числе элементов n
при необходимости работоспособности r элементов составление графа и решение системы приводит к
nr
(r h i)
i0
p(t) e
рез
nr
h(nr)!
рез
nr
i0
nr
11
i0
89
1
ii
(1)C
nr
rhi
rhi
(t
rhi)
.
;
На графиках (рис. 5.22) показаны показатели эффективности для системы из трех элементов с резервированием с целой кратностью для ненагруженного, облегченного
(h = 0,5) и нагруженного резерва. Заметим, что для наглядности на графике интенсивности отказов показана нестационарная часть, а в установившемся режиме все три графика приходят к одному и тому же значению.
p(t)
Ненагруженный
1
Облегченный
0,8
0,6
Нагруженный
0,4
0,2
0
0 100 200 300 400 500 600 700
0,012
(t)
Нагруженный
0,01
0,008
0,006
Облегченный
Ненагруженный
0,004
0,002
0
0 100 200 300 400 500 600
Рис. 5.22. ВБР и интенсивность отказов для активного резерва
невосстанавливаемой системы с разной нагрузкой
t
700
t
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]