Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
Желательно начинать испытания через некоторое время
после ввода аппаратуры в эксплуатацию, то есть после того, как поток отказов установится. Но если время испытаний достаточно велико, то влиянием одновременности
включения аппаратуры можно пренебречь.
Рассматриваемый план может применяться как при
определении количественных характеристик надежности,
так и при исследовании характеристик потока. Определение
закона распределения наработок между отказами при проведении испытаний по этому плану при малой длительности
испытаний встречает существенные затруднения.
Исходными данными для выбора числа испытываемых
элементов N и общего суммарного времени испытаний t
служат число отказов n и предполагаемый закон распределения числа отказов. Число отказов n определяется целями исследования. Если в результате испытаний необходимо получить оценку интенсивности потока отказов, то
число отказов определяется заданной точностью оценки
(то есть величиной доверительного интервала с заданной
доверительной вероятностью). Обычно для этого достаточно 30–100 отказов. Если испытания проводятся не с целью получения количественных оценок, а для изучения
качественного поведения потока отказов, то требуемое
число отказов должно быть значительно больше. Определив примерное число отказов и ориентируясь на некий минимальный уровень интенсивности потока отказов, можно
рассчитать суммарное время испытаний.
Вообще говоря, проблема определения продолжительности испытаний решается только с привлечением средств математической статистики, причем привести какие-либо конкретные общие формулы не представляется возможным.
Ширина доверительного интервала для оценки параметра
будет зависеть от величины квантильного множителя, а следовательно, от закона распределения как наработок между
2
81
отказами, так и самого оцениваемого параметра. Например,
мы планируем оценить среднюю наработку на отказ по плану
NRT для элемента, поток отказов которого является простейшим. Допустим, что мы хотим получить оценку с относительной погрешностью не более 10 % при доверительной
вероятности 0,95. Тогда предполагаемая длительность испытаний для одного элемента (при условии, что для всех элементов эти длительности будут одинаковыми)
346
TN,
где
— некоторое предполагаемое предельное значение
пр
пр
средней наработки на отказ.
Для экспоненциального закона распределения наработок между отказами средняя продолжительность испытаний для получения n
где
— предполагаемое значение интенсивности отказов
отказов
T
n
N
,
системы (либо расчетное, либо определенное сравнением с
аналогичными системами).
Отметим, что планирование, основанное на расчете
средней продолжительности испытаний, может привести к
большим ошибкам. Более точным является планирование,
исходящее из вероятности получения необходимого числа
отказов n за время испытаний Т:
n1
P(k n ) 1 e
i0
(N T)
i!
i
(N T)
.
Задаваясь достаточно высокой (не менее 0,9) вероятностью
и задавая две величины из трех (N, T, n
), по данному вы-
ражению можно найти третье, недостающее значение.
282
9.3.2. Испытания восстанавливаемых элементов
до достижения заданного числа отказов (план NRr)
Наблюдения производятся над N одинаковыми восстанавливаемыми элементами. Наблюдения над j-м элементом начинаются после наступления очередного отказа и
продолжаются до наступления заданного числа отказов n
(j = 1, 2, … , N), не зависящего от моментов наступления
отказов. Считаем, что восстановление отказавшего элемента производится мгновенно.
При испытаниях фиксируются наработки между отка-
зами
(i = 1, 2, … , nj). Результатом наблюдений является
ij
последовательность реализаций наработок между отказами
. При планировании задается или суммарное число отка-
ij
зов по всем элементам r, или число отказов для каждого
элемента n
.
j
Наработка j-го устройства и общая наработка
составляют
n
j
t и
jij
i1
N
tt
j1
.
j
j
Общее число отказов равно общему числу наработок
между отказами и равно
N
nnr
j1
.
j
Данный план испытаний широко применяется для
определения закона распределения наработок между отказами. Для оценки интенсивности потока отказов этот план
применяется реже, чем план NRT, так как требует больше
времени на свою реализацию.
2
83
План NRr позволяет оценить характеристики безотказности и ремонтопригодности (для этого в качестве
ij
должны выступать длительности восстановлений).
При планировании испытаний для получения характеристик ремонтопригодности можно задавать не каждое число
n
, а сразу сумму r = n. При планировании с целью получе-
j
ния характеристик безотказности желательно задаваться числом отказов для каждого элемента n
расчетом, чтобы общее число отказов r = n
(естественно, с таким
j
было достаточ-
ным для обеспечения заданной точности исследований).
Такой подход объясняется следующими соображениями. Предположим, что задано только общее число отказов r. Так как наработки между отказами являются случайными величинами, то у одних элементов эти наработки могут оказаться короче, чем у других. Поэтому в результате
испытаний будут преобладать более короткие наработки
между отказами по сравнению со случаем, когда задается
число отказов для каждого элемента n
. Это приводит к ис-
j
кажению закона распределения наработок между отказами
и, следовательно, к некорректному подсчету показателей
надежности (например, значение интенсивности потока
отказов получится завышенным).
Задача выбора величины r имеет тот же характер
и способы решения, что и задача определения Т для плана
NRT. Рекомендуемые значения r (по ГОСТ 25804.6–83)
приведены в прил. 7.
На рис. 9.2 показана одна из реализаций плана испытаний NRr при N = 5 и r = 15 (при n
= 3), моменты отказов
j
отмечены звездочками. Моменты начала испытаний каждого элемента соответствуют завершению очередного восстановления (для удобства на графике моменты начала испытаний для каждого элемента сведены к нулю по оси
времени).
284
N
t
5
4
3
2
1
10
= 56 461 часов
t
r = n
= 15
Рис. 9.2. Реализация плана испытаний NRr
5
t
4
t
3
t
2
t
1
15 0 5
9.3.3. Испытания невосстанавливаемых элементов
до достижения заданного времени (план NUT)
= 11 255 ч.
= 12 341 ч.
= 14 251 ч.
= 7 884 ч.
= 10 730 ч.
t, тыс. час.
Наблюдения производятся
над N одинаковыми невосстанавливаемыми элементами. Наблюдения над каждым
элементом начинаются в момент его установки и продолжаются в течение заданного времени Т.
При наблюдениях фиксируется наработка каждого из n
(n N) отказавших элементов. Результатами наблюдений
являются наработки T
= {T1, T2, …, Tn}, где i — номера
i
отказавших элементов. План обычно применяется для
оценки вероятности безотказной работы до момента времени Т.
На рис 9.3 показана одна из реализаций плана испытаний NUT при N = 5 и Т = 3 000 часов, моменты отказов отмечены звездочками.
285
N
5
4
3
T
= 2523 ч.
3
2
1
n = 3
Рис. 9.3. Реализация плана испытаний NUT
9.3.4. Испытания невосстанавливаемых элементов
до достижения заданного числа отказов (план NUr)
Наблюдения производятся над N одинаковыми невосстанавливаемыми изделиями. Наблюдения над каждым
элементом начинаются в момент его установки, испытания
всего комплекса элементов продолжаются до наступления
заданного числа отказов r.
При наблюдениях фиксируется наработка каждого из
отказавших элементов. Результатами наблюдений являют-
ся наработки T
= {T1, T2, …, Tr}, где i — номера отказав-
i
ших элементов. План обычно применяется для оценки
средней наработки до отказа при экспоненциальном распределении наработок.
При нормальном распределении наработок до отказа
применяют частный случай рассматриваемого плана —
план NUN, при котором наблюдения прекращают только
после отказа всех испытываемых элементов.
T1 = 1606 ч.
T2 = 2368 ч.
t, тыс. час.
3 0 1 2
286
На рис. 9.4 показана одна из реализаций плана испыта-
N
ний NUr при N = 5 и r = 4, моменты отказов отмечены
звездочками.
5
4
3
2
1
Рис. 9.4. Реализация плана испытаний NUr
T3 = 2103 ч.
T
= 2523 ч.
4
T
= 1922 ч.
2
= 1606 ч.
T
1
3 0 1 2
t, тыс. час.
9.4. Обработка реализаций испытаний
9.4.1. Точечные оценки
Планирование и реализация испытаний являются всего
лишь первыми этапами при исследовании показателей
надежности в процессе эксплуатации. После получения
статистической информации ее необходимо правильно обработать.
Допустим, что в результате испытаний получен некоторый набор значений z
, z2, …, zn случайной величины Z
1
(в качестве которой может выступать, например, наработка
между отказами или число отказов). Величина Z будет характеризоваться функцией плотности распределения вероятности, зависящей от некоторого параметра , в качестве
2
87
которого и выступает интересующий нас показатель
надежности:
f(t) f(t, ).
Если предположить, что форма закона распределения f(t)
известна, то задача сводится к определению неизвестного
параметра
. Например, мы получили набор значений нара-
ботки до отказа, предполагаем, что она распределена экспоненциально, и пытаемся определить интенсивность отказов.
Следовательно, необходимо найти такую функцию
ˆˆ
(z ,..., z )
1n
результатов наблюдения z1, z2, …, zn, кото-
рую можно было бы рассматривать как оценку параметра
. При таком выборе функции каждому результату
наблюдений z
, z2, …, zn будет соответствовать определен-
1
ная точка на числовой оси. Поэтому искомая оценка называется
точечной.
Естественно, что оценка ˆ не должна зависеть от неизвестных параметров. Являясь функцией случайных величин, оценка (как и сама функция
(z ,..., z )
1n
) являет-
ˆˆ
ся случайной величиной со своим собственным законом
распределения, зависящим от закона распределения
наблюдаемой случайной величины, объема наблюдения и
априорной информации о параметрах распределения.
Для одного и того же неизвестного параметра обычно можно найти несколько функций ˆ , которые могут
служить в качестве оценки. Функцию ˆ стараются выбрать таким образом, чтобы она удовлетворяла требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности. Если не удается найти оценку, удовлетворяющую этим требованиям, то стремятся к тому, чтобы она была по крайней
мере достаточной.
Одним из основных методов нахождения оценок явля-
метод максимального правдоподобия. Сущность
ется
288
метода заключается в следующем. Пусть в результате
наблюдения за случайной величиной Z получены числа
, z2, …, zn и пусть вероятность получения этих значений
z
1
определяется функцией
P( ) Z z | f(z; )
с одним
неизвестным параметром . Если зафиксировать значения
z
, z2, …, zn результатов наблюдения и менять значения
1
параметра , то величина P() будет меняться. При одних
значениях параметра вероятность получения значений
случайной величины, найденных ранее из опыта, больше,
при других — меньше. Естественно считать наиболее
правдоподобными те значения параметра, при которых вероятность P() максимальна. Для этого функцию P() рас-
сматривают как функцию параметра и исследуют на максимум. В качестве оценок максимального правдоподобия
ˆ
принимают те значения параметра , которые придают
функции P() максимальное значение. P() называют
функцией правдоподобия. В случае непрерывного распре-
деления под f(z; ) понимают функцию плотности распределения вероятности.
Для нахождения максимума необходимо продиффе-
ренцировать P() по параметру , приравнять к нулю и решить полученное уравнение. В случае нескольких неизвестных параметров необходимо взять частные производные по каждому из параметров и приравнять их нулю:
P( ,..., )
1n
i
0(i 1,2, ,n)
.
Решая полученную систему уравнений относительно
неизвестных параметров, найдем оценки максимального
правдоподобия. В некоторых случаях функцию правдоподобия удобно предварительно прологарифмировать, так
как логарифм достигает максимума при тех же значениях
2
89
параметра, что и сама функция. Обычно это дает более
простые уравнения, и система приобретает вид
ln P( ,..., )
1n
i
0(i 1,2, ,n)
.
Покажем применение метода на следующем примере.
Допустим, что в результате реализации плана NUN получен
набор наработок до отказа {T
, T2, …, TN} и есть данные о
1
том, что эти наработки распределены экспоненциально.
Необходимо найти оценку средней наработки до отказа.
Функция правдоподобия есть совместная N-мерная
плотность распределения вероятностей события, заключающегося в том, что в процессе испытаний случайная вели-
чина Т примет значение T
второй, ..., T
для N-й системы. Для экспоненциального
—
N
для первой системы, T2 для
1
закона имеем
P( ) f(T ,T ,...,T , )
TT
12
11 1 1
e e ... e e .
В качестве оценки
12 N
N
T
T
N
N
ˆ
мы должны взять значение, при-
i1
i
водящее к максимуму функции Р(). Для поиска максимуму прологарифмируем Р():
ln P( ) ln e N ln( ) T
N
T
i
11
N
i1
N
i1
,
i
и найдем производную получившейся функции по :
ln P( )
11
NT
290
N
.
i
2
i1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]