Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
p
p
11
p
12
1
p
21
р
22
p
23
p
2
p
42
32
p
24
Пус-
Рис.
33
3
4
p
44
Рис. 4.17. Граф состояний для метода переходных вероятностей
Для решения матричного уравнения нам необходимо найти
2
матрицу M
M
Решая матричное уравнение, находим P
ножение строки Р(0) на матрицу М
ку матрицы М
.
0,8 0,2 0 0 0,8 0, 2 0 0
0,1 0,7 0,1 0,1 0,1 0, 7 0,1 0,1
2
00,40,60 00,40,60
00,300,7 00,300,7
0,66 0, 3 0, 02 0,02
0,15 0, 58 0,13 0,14
0,04 0,52 0, 4 0,04
0,03 0, 42 0,03 0,52 .
2
2
, домножая результат на столбец D3, полу-
дает нам первую стро-
(2) = 0,02 (ум-
3
чаем третий элемент этой строки).
Для того чтобы найти все предельные вероятности, составим следующую систему уравнений:
121
P0,8P0,1P;
112
P 0,2 P 0,7 P 0,4 P 0,3 P ;
21234
P0,1P0,6P;
323
P0,1P0,7P;
424
PP PP 1.
1234
Мы записали систему из пяти уравнений с четырьмя
неизвестными. Заметим, что первые четыре уравнения являются линейно зависимыми, поэтому для решения системы необходимо исключить одно из них и обязательно
учесть пятое уравнение. Естественно, что удобнее всего
исключить самое большое уравнение. После исключения
второго уравнения и проведения преобразований система
приобретает вид
0, 2 P 0,1 P 0;
12
0,1 P 0, 4 P 0;
23
0,1 P 0, 3 P 0;
PP PP 1.
24
1234
Решение этой системы дает следующие значения предельных вероятностей:
P 0,24; P 0,48; P 0,12; P 0,16.
1234
Естественно, что возникает вопрос: как связать полученные значения с введенными ранее показателями надежности?
Покажем это на том же примере. Допустим, что приведенный граф состояний характеризует надежность системы измерения, включающей в себя два канала: основной и резервный. В состоянии 1 система полностью работоспособна, рабочим является основной канал, при отказе которого (переход 1 — 2) автоматически вводится в действие резервный
122
канал. В состоянии 2 система работоспособна, функционирует резервный канал.
Отказы резервного канала мы будем разделять на устойчивые (состояние 3) и перемежающиеся (состояние 4). Заметим, что цифры, приведенные в примере, не связаны с конкретной технической реализацией, а подобраны таким образом, чтобы получить более наглядный результат.
К работоспособным состояниям можно отнести 1 и 2,
следовательно, коэффициент готовности определится как
сумма предельных вероятностей попадания в эти состояния:
К P P 0,24 0,48 0,72 .
Г12
Для нахождения функции готовности необходимо последовательно переходить от одного дискретного интервала к другому и, решая матричные уравнения, складывать
вероятности пребывания в работоспособных состояниях
P(i t) и 2P(i t) .
1
Для рассмотренного примера графическая зависимость
функции готовности от номера дискретного интервала времени показана на рис. 4.18.
Применение математического аппарата, связанного с
z-преобразованием, позволяет более полно исследовать
надежность систем без многократного возведения в степень
матрицы переходов. Проведем z-преобразование матричного
выражения
(i) (0)PPM.
i
В результате получим
-1
z[(z) (0)] (z)VP VM,
где V(z) – z-преобразование вектора P(i).
После приведения подобных членов имеем
1
(z) (0) [ z ]
VPIM,
1
23
где I — единичная матрица, то есть матрица, содержащая
единицы только в своей главной диагонали.
Рис. 4.18. График функции готовности
Обратное z-преобразование решения этого уравнения
позволяет получить зависимость вероятностей пребывания
системы в том или ином состоянии от номера дискретного
интервала времени.
Вернемся к нашему примеру и покажем, как с помощью z-преобразования можно получить аналитическое выражение для функции готовности.
Запишем вспомогательную матрицу А:
1000 0,80,2 0 0
AI M=
zz
0 1 0 0 0,1 0, 7 0,1 0,1
0010 0 0,40,6 0
0000 0 0,3 0 0,7
10,8z 0,2z 0 0
0,1 z 1 0,7 z 0,1 z 0,1 z
00,4z10,6z0
00,3z010,7z
,
124
и найдем обратную матрицу А-1. Каждый член этой матрицы будет представлять собой дробь, причем знаменатели
этих дробей будут одинаковыми.
–1
Например, элемент [1, 1] матрицы А
равен
1 2 z+1,26 z 0,248 z
1
[1,1]
A .
1 2,8 z+2,84 z 1,23 z +0,19 z
23
234
Учитывая, что каждый член полученной матрицы —
функция от z и может быть представлен в виде суммы четырех слагаемых, то после разложения на простые дроби
-1
матрица А
AIM
может быть записана в виде
0,24 0,48 0,12 0,16
1
11
[z ]
0,678 0,22 0,131 0,327
1
1 0,767z
1
1 0,654z
0,11 0,036 0, 021 0,053
0,263 0,085 0,051 0,127
0,489 0,159 0,095 0, 235
0,031 0,046 0,085 0,1
0,023 0,034 0,062 0,073
0,17 0,249 0,461 0,54
0,149 0,218 0,405 0,474
0,24 0,48 0,12 0,16
0,24 0,48 0,12 0,16
1z
0,24 0,48 0,12 0,16
.
1
1 0,379z
0,051 0,214 0,097 0,066
0,107 0,451 0,204 0,14
0,193 0,814 0,368 0,253
0,1 0,421 0,19 0,131
Обратное z-преобразование этой матрицы дает матрицу
S(i) = М
i
,
1
25
так что
Р(i) = Р(0) S(i).
0, 24 0,48 0,12 0,16
S
0, 24 0,48 0,12 0,16
0, 24 0,48 0,12 0,16
0, 24 0,48 0,12 0,16
(i)
0,678 0,22 0,131 0,327
0,11 0,036 0, 021 0,053
i
0,767
0,654
0,379
Умножив
0,24 0,678 0, 767 0,031 0,654 0,051 0,379
0,263 0,085 0,051 0,127
0,489 0,159 0,095 0, 235
0,031 0,046 0,085 0,1
0,023 0,034 0,062 0, 073
i
0,17 0,249 0,461 0,54
0,149 0,218 0,405 0,474
0,051 0,214 0,097 0,066
0,107 0,451 0,204 0,14
i
0,193 0,814 0,368 0,253
0,1 0,421 0,19 0,131
(0) 1000P
0,48 0,22 0,767 0,046 0,654 0,214 0,379
(i)
P .
0,12 0,131 0,767 0, 085 0,654 0,097 0,379
0,16 0,327 0,767 0,1 0,654 0,066 0,379
.
на S(i), получим
iii
iii
iii
ii i
Складывая значения вероятностей пребывания в первом и втором состояниях (первые две строки матрицы),
находим выражение для функции готовности
Ф (i) 0,72 0,458 0,767 0, 015 0,654 0,163 0,379
Г
iii
126
.
Расчет по этому выражению приводит практически к тем же
значениям, что и в случае последовательного возведения
матрицы переходов в степень (график совпадает с приведенным на рис. 4.18).
Проанализируем матрицу
S(i). Среди ее «слагаемых»
всегда есть матрица, соответствующая члену матрицы
[
I − zM]
-1
с сомножителем 1/(1 − z). Ее строки равны между
собой и представляют собой вектор предельных вероятностей. Эта часть матрицы является «стационарной частью»,
так как она не зависит от номера дискретного интервала i.
S
Обозначим эту часть как
.
ст
Остальные «слагаемые» соответствуют «переходной ча-
S
сти»
(i). Все матрицы, составляющие эту часть, являются
пер
дифференциальными (сумма элементов каждой строки такой
матрицы равна 0) и домножены на коэффициенты вида c
(где | c | 1 ), убывающие со скоростью геометрической про-
грессии. Таким образом,
S(i) = S
ст
+ S
пер
(i).
При стремлении числа дискретных интервалов i к беско-
S
нечности матрица
S
приходит к
.
ст
(i) становится бесконечно малой и S(i)
пер
Марковский процесс перехода из состояния в состояние,
соответствующий графу на рис. 4.17, является
эргодическим.
Это означает, что значения предельных вероятностей не зависят от номера начального состояния, а из каждого состояния процесса можно попасть в любое другое состояние.
Не все процессы будут обладать свойством эргодичности. В основном это связано с наличием в графах так называемых «поглощающих» состояний, переход из которых в любое другое состояние невозможен.
Так, в нашем примере мы можем рассмотреть состояние
3 как поглощающее, для чего на графе необходимо убрать
дугу, соответствующую переходу 3 — 2, и изменить значения вероятностей переходов за один дискретный интервал
i
1
27
времени на p
= 1 и p
33
= 0. Матрица переходов при этом
32
приобретет вид
0,8 0,2 0 0
M
0,1 0,7 0,1 0,1
0010
00,300,7
.
Для систем, у которых в графе состояний присутствует
одно или несколько поглощающих состояний, можно
определить следующие характеристики.
1. Среднее число попаданий системы из одного состояния в другое равно значению соответствующего элемента
матрицы
1
*
где
()
QIM ,
*
М
— матрица, полученная из матрицы переходов М за
счет вычеркивания строк и столбцов с индексами, соответствующими поглощающим состояниям.
Для нашего примера
0,8 0, 2 0
*
0,1 0, 7 0,1
M
00,30,7
,
10 10 3
Q
5103
5106
IM
0, 2 0, 2 0
*
0,1 0, 3 0,1
00,30,3
,
1
3
1
.
3
2
3
Таким образом, если процесс начинается из состояния
один, то до момента попадания в поглощающее состояние
система в среднем побывает во втором состоянии 10 раз.
128
Если процесс начинается из четвертого состояния (ему соответствуют третьи строка и столбец полученной матрицы,
так как третье состояние было исключено из рассмотрения),
то в первое состояние система в среднем придет 5 раз.
2. Среднее число шагов, которое потребуется для перехода процесса из непоглощающего в какое-либо поглощающее состояние определяется по вектору-столбцу
q = Q e,
где
e — вектор-столбец, все элементы которого равны еди-
нице.
Для нашего примера
10 10 3 23
q
5103 1 18 .
5106 21
11
33
1
11
33
1
22
33
Таким образом, среднее число шагов, которые система
сделает до перехода в поглощающее состояние, равно 23 и
1/3, если начальным было первое состояние, 18 и 1/3 —
если начальным было второе состояние и 21 и 2/3 — если
начальным состоянием было четвертое.
3. Домножив рассчитанное среднее число шагов на
ширину одного дискретного интервала времени, получим
среднее значение времени, прошедшего в системе до перехода в предельное состояние.
Отметим, что в случае наличия в системе поглощаю-
щих состояний строки матрицы
S
уже не будут равны
ст
между собой. Каждая строка будет определять значения
предельных вероятностей при условии, что начальным было состояние, соответствующее номеру строки.
129
4.7. Метод переходных интенсивностей
Рассмотрим систему с ординарным стационарным потоком отказов без последействия. Будем учитывать и наработки между отказами, и длительности восстановления
и опишем поток отказов как процесс восстановления. Допустим, что наработки между отказами распределены экспоненциально с параметром , а длительности восстановлений также распределены экспоненциально с параметром
. Такая система будет относиться к марковским системам
с непрерывным временем.
Выделим для системы только два состояния: как «0»
обозначим состояние работоспособности, как «1» — состояние, в котором система неработоспособна. Заметим,
что в состояние «1» система попадает вследствие отказа
и выходит из него после завершения восстановления.
Тогда вероятность нахождения системы в работоспособ-
t
ном состоянии
P(t) e
0
стемы в состоянии восстановления
; вероятность нахождения си-
t
P(t) e
1
.
Граф состояний для системы показан на рис. 4.19.
p
01
Зафиксируем некоторый интер-
вал времени (t, t +
t), причем зара-
нее обговорим, что ширина этого
0
1
интервала
t достаточно мала.
Найдем вероятность того, что в
p
10
Рис. 4.19. Граф
состояний
восстанавливаемой
системы
момент времени t +
t система будет
находиться в состоянии «0». Этому
случаю благоприятствуют два варианта:
1. Первый соответствует одновременному наступлению двух совместных событий. Первое событие заключается в том, что система в момент t
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]