Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
находилась в состоянии «0». Вероятность этого события
равна
интервал времени шириной
левого состояния в первое. Вероятность этого события
можно найти как
перехода из нулевого состояния в первое за интервал времени шириной
умножении вероятностей совместных событий вероятность
осуществления первого варианта
времени
вал времени шириной
нулевое. По аналогии с предыдущим случаем
событиям. Для того чтобы в момент времени t +
находилась в состоянии «0», подойдет любой из рассмотренных вариантов. Поэтому применяем теорему о сложении вероятностей несовместных событий и находим
P (t) . Второе событие соответствует тому, что за
0
t система не перешла из ну-
1p(t), где 01p(t) — вероятность
01
t. Тогда в соответствии с теоремой об
P{I } P (t) 1 p ( t).
вар 0 01
2. Второй вариант соответствует тому, что в
t система находилась в состоянии «1» и за интер-
t перешла из первого состояния в
P{II } P (t ) p ( t).
вар 1 10
Эти два варианта соответствуют двум несовместным
момент
t система
P (t t) P (t) 1 p ( t) P (t) p ( t)
0001110
Т
еперь определим вероятность того, что в момент времени t +
этом в момент времени t система может находиться в нулевом состоянии и за интервал времени шириной
дет из нулевого состояния в первое, или же в момент времени t система может находиться в первом состоянии и за
интервал времени шириной
вое. Поэтому
t система будет находиться в состоянии «1». При
P (t t) P (t) p ( t) P (t) 1 p ( t) .
1001110
t не перейдет из него в нуле-
1
31
.
t перей-
Объединяем два полученных уравнения в систему
P (t t) P (t) 1 p ( t) P (t) p ( t);
0001110
P (t t) P (t) p ( t) P (t) 1 p ( t) .
1001110
Рассмотрим вероятности переходов р
(t) и р10(t).
01
Переход из нулевого состояния в первое связан с отказом
системы, поэтому (с учетом принятого допущения об экспоненциальности распределения наработок) вероятность
t
p(t)1P(t)1e
.
01 0
Переход из первого состояния в нулевое связан с за-
вершением восстановления, поэтому
t
p(t)1P(t)1e
10 1
.
Разложим функцию экспоненты в степенной ряд
23
x
e 1 ...
xx x
1! 2! 3!
и (с учетом малости
t) ограничимся только двумя первы-
ми слагаемыми. Тогда
t
p(t) 1e 1(1 t) t
01
p(t) 1e 1(1 t) t
.
10
t
;
С учетом этого система уравнений приобретает вид
P (t t) P (t) 1 t P (t) t;
00 1
P(t t) P (t) t P(t) 1 t .
10 1
Раскроем скобки, перенесем Р
(t) и Р1(t) в левые ча-
0
сти соответственно первого и второго уравнений и разделим получившиеся уравнения на
P(t t) P(t)
00
P(t t) P(t)
11
t
t
t:
P (t) P (t);
01
P (t) P (t).
01
132
Устремим t к нулю, тогда в левых частях уравнений
системы будут записаны производные вероятностей пребывания в соответствующих состояниях:
dP (t)
0
P (t) P (t);
01
P(t) P(t).
01
Выделяя
dt
dP (t)
1
dt
состояния «0» и «1», мы обговорили, что никаких других состояний в системе принципиально быть не
может. Поэтому система должна быть дополнена третьим
уравнением, отражающим этот факт:
dP (t)
0
P (t) P (t);
dt
dP (t)
1
P(t) P(t) 1.
записи системы уравнений по методу переходных
Для
dt
01
01
P(t) P(t);
01
интенсивностей удобно составлять граф состояний, подобный тому, который мы привели в начале данного раздела.
Узлы графа будут соответствовать состояниям, дуги — переходам из состояния в состояние, причем «нагружать» дуги
необходимо интенсивностями переходов из состояния в состояние. Таким образом, наш исходный граф приобретет вид,
показанный на рис. 4.20.
Решим составленную си-
стему, для чего предположим,
0
1
что в начальный момент времени система находилась в работоспособном состоянии, т. е.
(0) = 1. Тогда преобразование
Р
0
первых двух уравнений системы по Лапласу дает
Рис. 4.20. Граф состояний
метода переходных
интенсивностей
1
33
sP(s) 1 P(s) P(s);
001
s P (s) P (s) P (s).
101
Получили систему из двух алгебраических уравнений,
решение которой приводит к
s/()/()
P(s) ;
0
P(s) .
1
s(s ) s s
s(s ) s s
/( ) /( )
Обратное преобразование Лапласа дает
P(t) e ;
0
()t
P(t) e .
1
()t
Функция готовности в данном случае совпадает с вероятностью Р
дится из выражения для функции готовности при t
Ф(t) e ; К .
(t), а коэффициент готовности легко нахо-
0
:
ГГ
()t
Так как наработки до отказа и длительности восстановлений распределены экспоненциально, то средняя наработка на отказ и средняя длительность восстановлений
tf(t)dt t e dt te e ;
00
tf(t)dt t e dt .
вв
00
ttt
11
1
t
Выражаем из этих уравнений = 1/ и = 1/
0
, тогда
В
коэффициент готовности
134
1/
К
Г
1/ 1/
в
вв
.
Мы рассмотрели простейший случай, когда система
может находиться только в двух возможных состояниях.
Для системы с n возможными состояниями для каждого из
состояний по графу записывают уравнение вида
dP (t)
i
dt
kj
zP(t) zP(t)
ji j il i
j1 l1
kl
,
где j-е состояния — это состояния, из которых система попадает в i-е состояние (их количество равно kj);
и zil соответствуют параметрам экспоненциальных рас-
z
ji
пределений, это те показатели, которыми нагружены дуги
графа, направленные из j-го состояния в i-е, и из i-го состояния в l-е;
l-е состояния — это состояния, в которые система попадает из i-го состояния. Их количество равно kl.
Сформулируем общее правило записи уравнений:
1. Для каждого из возможных состояний объекта за-
писывается
dP (t) / dt (i — номер рассматриваемого состояния), а спра-
i
уравнение, в левой части которого находится
ва — столько слагаемых, сколько дуг графа соприкасается
с данным состоянием. Если дуга направлена в данное состояние, то перед слагаемым ставится знак плюс, если дуга
направлена из данного состояния — знак минус. Каждое из
слагаемых равно произведению интенсивности прихода в
данное состояние (или интенсивности выхода из данного
состояния) на вероятность нахождения в состоянии, из которого выходит данная дуга.
2. Последнее уравнение системы отражает тот факт,
рассматриваются все возможные состояния системы:
что
сумма всех вероятностей пребывания в состояниях должна
быть равна единице.
1
35
Заметим, что с точки зрения решения системы дифференциальных уравнений вместо последнего уравнения системы предпочтительнее задавать начальные условия.
Решая получившуюся систему уравнений, мы находим
зависимость от времени всех вероятностей пребывания в состояниях. Для дальнейшего определения показателей надежности необходимо разделить все состояния на две группы:
состояния, соответствующие работоспособности системы,
и состояния, связанные с неработоспособностью.
Тогда функция готовности
kr kn
Ф(t) P(t)1 P(t)
Гir in
ir 1 in 1
,
где индексом ir отмечены работоспособные состояния (в
количестве kr), а индексом in — неработоспособные (в количестве kn).
Для определения коэффициента готовности необходимо, так же как и в случае метода переходных вероятностей,
найти значения предельных вероятностей. Для установившегося режима характерно равенство
dP (t)
i
0dt ,
поэтому система дифференциальных уравнений преобразуется в систему обыкновенных линейных алгебраических
уравнений, после решения которой можно найти значение
коэффициента готовности
kr kn
КP1P
где P
Гir in
ir 1 in 1
и Pin — предельные вероятности нахождения соот-
ir
,
ветственно в работоспособных и неработоспособных состояниях.
136
Для неустановившегося режима параметр потока
отказов
kr kn
(t) z P (t)
ir 1 in 1
ir in ir
,
а средняя наработка между отказами на интервале (0, t)
t
Фг(t)dt
0
(t)
t
0
.
(t)dt
В установившемся режиме параметр потока отказов
kr kn
ir 1 in 1
zP
ir in ir
,
а средняя наработка на отказ
kr
P
К
Гir1
kr kn
ir 1 in 1
ir
zP
ir in ir
.
Для расчета показателей безотказности (то есть вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа) неработоспособные состояния нужно сделать поглощающими. При этом на графе необходимо удалить все дуги, соответствующие переходам из неработоспособных состояний в работоспособные, а из системы дифференциальных уравнений исключить члены с сомножителями интенсивностей выхода из неработоспособных состояний.
После решения получившейся системы дифференциальных уравнений определяем вероятность безотказной
работы как
1
37
kr
p(t) P (t)
ir 1
,
ir
а среднюю наработку до отказа как
p(t)dt
0
.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся частные
случаи, для которых можно привести общий вид решения
по методу переходных интенсивностей.
1. Случай, соответствующий обычным одноконтур-
ным АСР без резервирования.
Система состоит из n элементов, после отказа любого
из которых вся система попадает в неработоспособное состояние. Тогда на надежностной схеме (рис. 4.21, а) все эти
элементы соединены последовательно.
Рис. 4.21. Структурная схема (а) и граф
состояний метода переходных
интенсивностей (б) для расчета надежности
одноконтурной АСР без резервирования,
состоящей из n элементов
Граф состояний для рассматриваемой системы показан
на рис. 4.21, б.
Работоспособным является состояние «0»; в состояниях
«1», «2», …, «n» происходит восстановление соответствующего элемента и система является неработоспособной. Дуги
графа нагружены интенсивностями отказов (
лений (
) соответствующих элементов системы.
i
138
) и восстанов-
i
Запишем систему дифференциальных уравнений метода переходных интенсивностей.
dP (t)
0
( ... ) P (t) P (t) ... P (t);
dt
dP (t)
1
dt
...
dP (t)
n
dt
P (t) P (t) ... P (t) 1.
01 n
1n011 nn
P(t) P (t);
11 10
P (t) P (t);
nn n0
Решение этой системы дает следующие показатели
надежности:
1) Коэффициент готовност
K1
Г
2) Фу
нкция готовности
Ф(t) K (1K)e
Параметр потока отказов
3)
.
ГГ Г
(t) Ф (t)
,
и
1
n
i1
Гi
i
.
i
n
i1
n
i1
n
i1
i
K
i
i
t
Г
для установившегося процесса
n
K
.
Гi
i1
1
39
Считая неработоспособные состояния поглощающими,
преобразуем граф состояний (рис. 4.22) и систему уравнений.
dP (t)
0
1
1
2
2
n
...
n
0
dt
dP (t)
1
dt
...
dP (t)
n
dt
P (t) P (t) ... P (t) 1.
01 n
( ... ) P (t);
1n0
P(t);
10
P(t);
n0
Ее решение позволяет найти
Рис. 4.22. Преобразованный
граф состояний
следующие показатели:
1)
Вероятность безотказ-
ной работы
n
i1
i
t
i
1
.
p(t) e
.
Средняя наработка до отказа
2)
n
i1
2. Случай, соответствующий системе из n однотипных
элементов, образующих резервированную систему, для работоспособности которой достаточно работоспособности
хотя бы одного элемента.
Структурная схема (рис. 4.23, а) образована параллельным соединением элементов. Граф состояний (рис. 4.23, б)
составлен при условии, что восстановление является неограниченным, то есть восстановлению одновременно может
подвергаться любое количество элементов системы.
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]