Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность систем автоматизации. Учебное пособие
.pdf
При отказе пятого элемента в схеме (рис. 4.14) на его
месте организуется разрыв. ВБР полученной схемы
p1(1pp)(1pp) .
II 1 2 3 4
Учитывая состояния ключевого элемента, при которых
были получены схемы I и II, находим вероятность безотказной работы исходной схемы. Искомая ВБР равна
ppp qp p(1qq)(1qq)
5I 5 II 5 13 2 4
q [1 (1 p p ) (1 p p )].
51234
1 2
3 4
Рис. 4.14. Структурная схема с учетом отказа ключевого элемента
Отметим, что при наличии в системе нескольких «не-
удобных»
элементов разложение необходимо проводить
несколько раз, последовательно приводя схему к другим
структурам в соответствии с тем или иным состоянием
4.4.3. Метод минимальных путей и сечений
Метод минимальных путей и сечений позволяет определить граничные оценки надежности, то есть оценки вероятности безотказной работы сверху и снизу.
Для оценки
набор минимальных сечений.
ВБР системы снизу необходимо определить
Минимальное сечение со-
ставляет минимальный набор элементов, приводящий к отказу всей системы. Сечение формируется следующим образом:
1
11
1. Считаем, что все элементы системы находятся в работоспособном состоянии. Соответственно, вся система
также работоспособна.
2.
Последовательным переводом элементов в нерабо-
тоспособное состояние производим подбор вариантов
набора элементов, приводящих к отказу системы.
Если элементы сечения подобраны правильно, то при
работоспособности всех элементов системы, не входящих
в сечение, возврат одного любого из элементов сечения в
работоспособное состояние восстановит работоспособность всей системы.
Так, для рассматриваемой схемы (рис. 4.12) элементы
2 и 4 образуют сечение, а 1, 2 и 4 — нет, т. к. возврат элемента 1 в работоспособное состояние не приводит к работоспособности всей схемы. С другой стороны, элементы 1
и 4 не образуют сечение, так как не приводят к отказу всей
системы (при работоспособности элементов 3, 5 и 2 вся
схема работоспособна).
Для оценки ВБР снизу все найденные сечения соединяются последовательно (рис. 4.15), а элементы, составляющие
сечение, внутри сечения соединяются параллельно.
1
1
3
Рис. 4.15. Набор минимальных сечений для мостиковой схемы
2
5
4
4
112
3
5
2
Оценка вероятности безотказной работы схемы снизу:
Ppppp
(1 q q ) (1 q q ) (1 q q q ) (1 q q q
13 2 4 154 352
Для определения
определить набор минимальных путей.
снизу 13 24 154 352
ВБР системы сверху необходимо
Минимальный путь
).
составляет минимальный набор работоспособных элементов,
обеспечивающий работоспособность всей системы. Путь
формируется следующим образом:
1.
Считаем, что все элементы системы находятся в не-
работоспособном состоянии. Соответственно, вся система
также неработоспособна.
2.
Последовательным переводом элементов в работо-
способное состояние производим подбор вариантов набора
элементов, возвращающих систему в работоспособное состояние.
Для проверки необходимо представить, что все элементы системы, кроме входящих в рассматриваемый путь,
находятся в состоянии отказа. Тогда последовательно, по
одному переводя каждый из элементов пути в неработоспособное состояние, нужно убедиться, что каждый такой
перевод нарушает работоспособность схемы.
Например, для рассматриваемой мостиковой схемы
элементы 1, 5 и 4 будут образовывать минимальный путь,
а элементы 1, 2 и 4 — нет, так как исключение из второго
набора четвертого элемента не приведет к отказу схемы.
Для оценки ВБР сверху все найденные пути соединяются параллельно, а элементы, составляющие путь, внутри
пути соединяются последовательно (рис. 4.16).
Оценка вероятности безотказной работы схемы сверху
P1qqqq
сверху 12 34 154 352
1(1pp)(1p p)(1pp p)(1p p p).
12 34 154 352
113
Вероятность безотказной работы системы будет находиться в пределах
Pp P.
снизу системы сверху
1 2
3 4
1 4 5
3 2 5
Рис. 4.16. Набор минимальных путей для мостиковой схемы
Таким образом, рассмотренные модификации классического метода расчета надежности невосстанавливаемых
систем позволяют привести расчет к простым формулам
последовательно-параллельного соединения элементов.
4.5. Расчет надежности восстанавливаемых систем
Для восстанавливаемых систем необходимо рассматривать последовательность случайных величин
Т
— наработка на i-й отказ,
i
T
— длительность восста-
В
i
(Т ,T ) , где
iВ
i
новления после i-го отказа. Эти случайные величины описываются функциями распределения
F (t) и F (t) . Для произ-
iВ
i
вольных законов распределения времени безотказной работы
и времени восстановления показатели надежности рассчитываются с помощью интегро-дифференциальных уравнений
надежности.
При этом рассматриваются 2 потока:
1.
Поток отказов с моментами возникновения отказов
t Т T ... T Т .
i1В В i
1i-1
114
2. Поток восстановлений с моментами завершения
восстановлений
t Т T ... Т T .
в1В iВ
i
Эти
потоки характеризуются функциями распределения
(t) и (t)
iВ
Тогда фу
Ф(t) 1 F(t) 1 F (t ) ()d
, которые определяются функциями
i
нкция готовности [1]
Г1 i1 B
1i
F(t) и F (t)
t
0
i1
'
i
В
,
.
а ведущая функция потока отказов
W(t) Ф (t)
i1
.
i
Пользоваться данными формулами при практических
расчетах неудобно. Поэтому для расчета надежности восстанавливаемых систем обычно используют так называе-
переходные методы. При этом все процессы измене-
мые
ния состояния объекта рассматриваются как марковские.
Марковский процесс — это процесс, у которого для
каждого момента времени вероятность нахождения объекта в любом состоянии в будущем зависит только от состояния объекта в настоящий момент времени и не зависит от
того, каким образом объект пришел в это состояние. Таким
образом, марковский процесс обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.
4.6. Метод переходных вероятностей
Найти показатели надежности восстанавливаемой системы наиболее просто, если наработки между отказами и
длительности восстановлений распределены экспоненциально. Но в некоторых случаях даже при произвольных
законах распределения этих случайных величин можно
1
15
определить показатели надежности с помощью метода переходных вероятностей.
Допустим, что поток отказов системы ординарен, независим и стационарен. Будем рассматривать надежность
системы через квантованные промежутки времени. Выделим все возможные состояния системы и зададим на каждом интервале времени вероятности переходов из одного
состояния в другое. Тогда процесс изменения состояний
системы будет относиться к марковским процессам с дискретным временем.
Для простоты составления основных уравнений метода
все состояния системы изображаются как узлы графа, тогда ребра графа будут соответствовать направлению и вероятности перехода из одного состояния в другое.
Предположим, что общее количество состояний в системе равно n. Найдем вероятность того, что система через
i интервалов времени находится в состоянии j. При этом
возможно n вариантов:
1. Система через (i − 1) интервалов времени находилась в первом состоянии и за рассматриваемый интервал
времени перешла из первого состояния в j-е.
2. Система через (i − 1) интервалов времени находилась во втором состоянии и за рассматриваемый интервал
времени перешла из второго состояния в j-е.
…
j. Система через (i − 1) интервалов времени находилась
в j-м состоянии и за рассматриваемый интервал времени не
перешла из этого состояния в любое другое, то есть сохранила свое состояние.
…
n. Система через (i − 1) интервалов времени находилась в n-м состоянии и за рассматриваемый интервал времени перешла из n-го состояния в j-е.
116
Заметим, что каждый из вариантов складывается из
двух событий: нахождения системы через (i − 1) интервалов времени в каком-то конкретном состоянии и перехода
из него в рассматриваемое состояние в течение дискретного интервала времени. Эти события являются совместными, поэтому для нахождения вероятности выпадения конкретного варианта нужно перемножить вероятности
наступления этих двух событий.
В то же время нас устроит выпадение любого варианта — события, соответствующие выпадениям вариантов,
являются несовместными. Поэтому вероятность того, что
система через i интервалов времени находится в состоянии
j, равна сумме вероятностей выпадения вариантов:
n
P(i) P (i 1) p
jkkj
k1
где
P(i) — вероятность нахождения системы в j-м состоя-
j
,
нии после i интервалов;
P(i 1) — вероятность того, что после (i – 1) интервалов
k
система находилась в k-м состоянии;
p — вероятность перехода системы из k-го в j-е состоя-
kj
ние за один дискретный интервал времени (при k = j —
вероятность сохранения j-го состояния в течение одного
дискретного интервала времени).
Тогда, с учетом того, что мы рассмотрели все возмож-
состояния, система уравнений метода переходных ве-
ные
роятностей запишется следующим образом:
1
17
P(i) P (i 1) p ;
1kk1
P(i) P(i 1)p ;
2kk2
...
P(i) P(i 1)p ;
nkkn
n
j1
n
k1
n
k1
n
k1
P(i) 1.
j
Эта система является системой линейных алгебраических уравнений и при небольшом количестве возможных состояний решается очень просто. Если нам необходимо определить вероятность нахождения в том или ином состоянии
через несколько дискретных интервалов времени, то, конечно, можно было бы записать несколько таких систем и, решая их последовательно, переходить от одного интервала
к другому, но этот путь является крайне утомительным.
Введем понятие матрицы переходов
М:
[a, b] pM .
ab
Элемент матрицы переходов, стоящий в строке «a»
столбца «b», определяет вероятность перехода из состояния «a» после (i −1) дискретных интервалов в состояние
«b» после i дискретных интервалов времени.
M представ-
ляет собой квадратную матрицу размером nn.
Строки матрицы
M определяют вероятность сохране-
ния какого-либо состояния системы и вероятности выхода
из него в другие состояния. Естественно, что сумма элементов в каждой строке равна 1.
Столбцы матрицы определяют вероятности попадания
системы в анализируемое состояние из всех n возможных
состояний.
118
Обозначим как Р(i) вектор состояния системы
(i) P2(i) … Pn(i)], тогда первые n строк рассматриваемой
[P
1
системы уравнений в матричном виде запишутся как
Р(i) = Р(i – 1) M.
Подставляя вместо i числа 0, 1, 2, 3 и т. д., находим
Р(1) = Р(0) M;
(2) = Р(1) M = Р(0)M2;
Р
Р(3) = Р(2) M = Р(0)M
3
;
…
Р(i) = Р(i – 1) M = Р(0)M
i
.
Таким образом, получаем матричное выражение для
расчета вероятности нахождения системы в j-м состоянии
после i интервалов:
P(i) (0)PMD,
jj
где
(0) P (0) P (0) ... P (0)P — строка начального со-
12 n
i
стояния системы, она состоит из вероятностей нахождения
системы в первом, втором, …, n-м состоянии до момента
отсчетов дискретных интервалов времени;
D — столбец анализируемого состояния (содержит нули
j
и одну единицу, которая стоит в строке, номер которой соответствует номеру анализируемого состояния).
Мы уже вводили понятие установившегося режима,
когда
говорили о комплексных показателях надежности
восстанавливаемых систем. В этом режиме уже не имеет
значения, каково было начальное состояние системы, и вероятности пребывания в состояниях не изменяются. Такие
вероятности принято называть
предельными и находить
из следующей системы уравнений:
1
19
n
PPp;
1kk1
k1
n
PPp;
2kk2
k1
...
n
PPp;
nkkn
k1
n
P1.
j
j1
В качестве примера рассмотрим расчет надежности си-
стемы, граф состояний которой изображен на рис. 4.17.
Допустим, что вероятности переходов системы из состояния в состояние за дискретный интервал времени следующие:
p
=0,8; p12=0,2; p21=0,1; p22=0,7; p23=0,1; p24=0,1; p33=0,6;
11
p
=0,4; p44=0,7; p42=0,3.
32
Пусть нужно найти все предельные вероятности и вероятность нахождения системы в третьем состоянии после
двух дискретных интервалов времени, если в начальный
момент времени система находилась в первом состоянии.
Запишем матричное выражение
P(2) (0) PMD,
33
2
где
(0) 1000P ;
0
0
D ;
3
1
0
120
0,8 0, 2 0 0
0,1 0, 7 0,1 0,1
M
00,40,60
00,300,7.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]