Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
( )
mm
jj
pj
pj
pj
pm
pm
0
α
CA
0
α
n
0
m
C
= = =
α
j
0
C
α
mj
αα
mj
n AA
00
mm m j
( ) ( )
jm j j
C A CA
( ) ( )
α
= =
d
α
t
mj
00
αα
C A CA
αα
00
αα
,
00
αα
,
00
10
01
(2.35)
.
81
Отсюда видно, что замкнутые и разомкнутые пути ортогональны, поскольку содержащие их элементы перекрестных
произведений блоков матриц замкнутых и разомкнутых путей
представляют собой нулевые матрицы.
Ортогональность матриц преобразования C и A показывает
независимость замкнутых и разомкнутых путей, а также независимость потоков, которые протекают в одной ветви, но относятся к путям разного вида.
В качестве примера рассмотрим матрицы преобразования C
и A для сети на рис. 2.13. Этим сетям соответствуют матрицы
преобразования путей базиса свободных ветвей в базис путей
в связанных ветвях. Слева дана матрица преобразования C
–1
исходной сети, а справа – матрица А = С
, она же матрица С
t
двойственной сети:
ppppp
12345
′
p
11
1
′
p
2
′
C
=
p
3
′
p
4
′
p
5
−
1
= =
CA
t
11 1
11
1
mm m mm
ppppp
12345
′
1
1
′
2
−
11
′
3
′
4
′
5
−
1 11
−−
11 11
−
11 1
jjjjj
m
−
m
m
j
1
j
82
41
51
4 14 1
5 15 1
′ ′ ′ ′ ′ ′′′′′
×=
10
01
mj
′′′′′
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Заметим, что матрицы преобразования путей от свободных
ветвей к связанным ветвям, и наоборот, имеют нулевой блок
выражения разомкнутых путей через замкнутые пути. Это
математическое выражение невозможности выразить разомкнутые пути через контуры.
Произведение матриц преобразования С и А
равно единич-
t
ной матрице:
1 2 3 4 5
′
11 1
′
2 11 1
CA
′
= ×
3 11
t
−
′
′
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
11111111
2 1 11 1 2 1
3 11 3 1
− −−
−
−
′
′
′
′
′
Это можно символически выразить следующим образом:
1 2 3 4 5
′
11
′
22
′
33
′
44
′
55
′
1
′
2
′
=
3
′
4
′
5
m
C
j
C
′′′′′
1 2 3 4 5
mm mj
C A CA
tt
jm jj
C A CA
tt
1 2 3 4 5
mj
AA
tt
m
j
=
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
Ортогональность разомкнутых и замкнутых путей дает возможность использовать их для представления в сетевой модели
разных процессов, протекающих в исследуемой системе.
83
Выводы поглаве 2
Ветвь, отрезок с границами-узлами, есть независимое измерение дискретного пространства. Структура сети состоят из ветвей, соединенных границами. Изменение границ есть преобразование структуры. Координатами являются пути, состоящие
из одной или нескольких ветвей. Независимые пути составляют базис. Пространство сети состоит из двух независимых подпространств замкнутых и разомкнутых путей. При изменении
структуры меняются размерности подпространств замкнутых
и разомкнутых путей, а их базисы преобразуются ортогональными матрицами.
В двойственной сети замкнутые и разомкнутые пути меняются местами. Две двойственные сети составляют пространство
с инвариантами замкнутых и разомкнутых путей. Инвариант
двойственности связывает метрические тензоры замкнутых и
разомкнутых путей двойственных сетей при изменении структуры. Постоянна сумма метрических тензоров замкнутых и
разомкнутых путей в сети, а также в двойственной сети. Постоянна сумма метрических тензоров замкнутых путей в двух
двойственных сетях; постоянна сумма метрических тензоров
разомкнутых путей в двух двойственных сетях.
Двойственные сети применяются для моделирования процессов и структуры сложных систем. Процессы представляют
собой потоки одних величин под действием других величин в
структуре двойственных сетей. Два вида путей позволяют моделировать открытые и замкнутые системы в ортогональных
базисах одной сети. Поведение сетей с воздействиями и откликами при изменении структуры, включая разделение на части
и соединение из частей целого, или при изменении соединений
в связанной сети будет рассмотрено в следующей главе.
Контрольные вопросы
1. Что такое сеть? Какие есть виды путей в сети? Приведи-
те примеры.
84
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
2. В чем различие процессов и структуры двойственных се-
тей? Приведите примеры.
3. Какие инварианты связывают двойственные сети?
4. Каковы свойства тензора при изменении системы коор-
динат?
5. Как отличается непрерывное пространство от простран-
ства структуры?
6. Приведите пример ортогональных матриц преобразова-
ния.
7. В чем состоит асимметрия замкнутых путей и разомкну-
тых путей?
8. В чем состоит инвариант двойственности структуры?
9. Почему нельзя выразить разомкнутый путь через замкну-
тые пути?
10. Приведите пример выражения замкнутого пути через
разомкнутые пути.
11. Какому закону сохранения соответствует инвариант
двойственности структуры?
12. Получите матрицы преобразования для замкнутых пу-
тей сети из четырех ветвей.
13. Получите матрицы преобразования для разомкнутых
путей сети из четырех ветвей.
14. Как в матричном виде выражается ортогональность зам-
кнутых и разомкнутых путей?
Тесты
1. Базис контурного метода расчета сети – это:
а) ортогональные пути;
б) открытые пути;
в) замкнутые пути;
г) замкнутые и открытые пути.
2. Базис узлового метода расчета сети – это:
а) ортогональные пути;
б) открытые пути;
в) замкнутые пути;
г) замкнутые и открытые пути.
3. Выразить замкнутые пути через открытые пути:
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
а) можно;
б) нельзя.
4. Выразить открытые пути через замкнутые пути:
а) можно;
б) нельзя.
5. В контурном методе расчета сети используется матрица
преобразования путей:
а) R;
m
С;
б)
m
А;
в)
j
С;
г)
j
А.
д)
6. В узловом методе расчета сети используется матрица
преобразования путей:
m
С;
а)
m
А;
б)
j
С;
в)
j
А;
г)
д) Z.
85
7. Матрица решения сети в узловом методе Z
ки при умножении:
m
а) на матрицу
С;
б) на вектор е;
в) на вектор I;
m
г) на матрицу
А.
8. Матрица решения сети в контурном методе Y
клики при умножении:
m
а) на матрицу
С;
б) на вектор е;
в) на вектор I;
j
г) на матрицу
А;
д) на матрицу Z.
9. Ковариантность – это:
а) постоянная величина;
б) совместное изменение;
дает откли-
с
дает от-
c
86
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
в) противоположное изменение.
10. Контравариантность – это:
а) переменная величина;
б) совместное изменение;
в) противоположное изменение.
11. В двойственной сети относительно заданной сети:
а) контуру соответствует разомкнутый путь;
б) разомкнутому пути соответствует контур;
в) число базисных контуров соответствует числу базисных
разомкнутых путей;
г) число базисных разомкнутых путей соответствует числу
базисных контуров.
12. Ортогональные матрицы – это:
а) взаимно обратные;
б) двойственные;
в) транспонированные;
г) взаимно обратные и транспонированные.
13. Отношение между матрицами С и А:
а) обратное;
б) ортогональное;
в) двойственное;
г) транспонированное.
ГЛАВА 3.
Расчет сетей тензорным методом
В главе 1 рассмотрено применение тензорного метода для
создания сетевых моделей процессов и структуры систем. В главе 2 рассмотрены свойства сетей с инвариантом двойственности, которые позволяют применять их для создания сетевых
моделей процессов и структуры систем. Рассмотрим поведение
сетей при изменении структуры.
Расчет сети, как и сложной системы, состоит в нахождении
откликов на приложенные воздействия. Это обеспечивает анализ текущего и будущего поведения системы. Рассмотрим расчет сети с заданной метрикой, когда к ней приложены внешние
воздействия, отклики на которые возникают в разомкнутых
путях, или внутренние воздействия, отклики на которые возникают в замкнутых путях. Расчет связанной сети получается из расчета простейшей сети как преобразование координат.
Расчеты контурных и узловых сетей с воздействиями и откликами при изменении структуры включают разделение на части
и соединение из частей целого или изменение соединений в связанной сети. Эти методы применяются для расчета процессов
и структуры сетей и сетевых моделей сложных систем с переменной структурой.
3.1. Расчет контурных иузловых сетей
В предыдущей главе рассмотрены сети без возбуждения,
сети из элементов, в которых нет потоков, нет процессов. Невозбужденные сети порой называют инфраструктурой. Г. Крон
называл их «мертвые» сети. Они подобны, например, станку,
который не работает, машине, которая стоит, информационной сети без потоков сообщений. При этом можно менять конструкцию, структуру станка, или машины, или связи в сети
телекоммуникаций. Но в них нет потоков энергии или информации.
Процессы возникают, когда на сеть оказано воздействие.
Внешнее воздействие – потоки поступают в сеть через границы ветвей; внутреннее – потоки не выходят за пределы сети.
Вектор потока в сети представлен компонентами в координа-
88
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
тах-путях. Квадрат величины вектора равен сумме произведений ковариантных и контравариантных компонент (подраздел 1.4).
В подразделе 2.5 для получения метрического тензора рас-
смотрено преобразование вектора при соединении свободных
ветвей в связанную сеть. Получены формулы изменения метрических тензоров при изменении структуры. Для замкнутых
путей в (2.14) получен метрический тензор связанной сети. Это
«матрица решения», которая преобразует ковариантные (заданные) компоненты вектора в путях свободных ветвей в контравариантные (требуемые) компоненты в путях связанных
ветвей. Для разомкнутых путей в (2.19) получен метрический
тензор связанной сети. Это «матрица решения», которая преобразует контравариантные компоненты вектора в путях свободных ветвей в ковариантные компоненты в путях связанных
ветвей. Решение показывает, как меняются компоненты вектора на каждой ветви, т.е. как реагирует сеть на воздействия.
В отличие от обычного пространства при изменении соеди-
нений в сети меняется размерность подпространств замкнутых
и разомкнутых путей. Рассмотрим, как меняется величина
вектора при изменении соединений в сети. Согласно инварианту двойственности абсолютная величина вектора остается
постоянной в сумме двух двойственных сетей при любых соединениях ветвей, т.е. при изменении структуры. В электрической цепи вектором является поток энергии, измеряемый мощностью. Вектор, заданный источниками тока, распределяется
по открытым путям двойственных сетей. Вектор, заданный источниками напряжения (разности потенциалов), распределяется по замкнутым путям двойственных сетей. При изменении
структуры, включая переход от свободных ветвей к связанной
сети, вектор «расщепляется» между двумя двойственными сетями, переходя из одной в другую в соответствии с изменениями размерности базисных путей.
Для наглядности проведем расчет абстрактных сетей на при-
мере электрических цепей. В подразделе 1.6 отмечалось, что
обобщенная сеть из одномерных ветвей является тензором, соединяющим процессы и структуру. Структура сети задана матрицами инциденций и метрическим тензором. Системы, пред-
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
.dp ip
αα
αα
= =d
.ip
′
α
′
α
=d
.p Cp
α
′′
b bα
=
( )
′′
α α α αα
αα
89
ставимые моделями в виде одномерной сети, – это «проекции»
обобщенной сети в разные координаты. В электрической цепи
наглядно соединяются процесс как поток электрической энергии (закон Ома) и структура соединения ветвей (законы Кирхгофа для токов в узлах и напряжений в контурах). Примеры
сетевых моделей технических, физических и экономических систем представлены на рис. 1.1.
Контурные сети – замкнутые пути. Пусть в сети вектор d
α
представлен компонентами d
в координатах-путях pα базиса несоединенных ветвей. Вектор d будем интерпретировать как поток энергии в электрической цепи. Тогда контравариантные
компоненты – это электрические токи в свободных замкнутых
α
ветвях i
:
(3.1)
При изменении структуры сети тот же вектор будет пред-
ставлен в новом базисе путей p
α′
ных замкнутых путях i
:
компонентами, токами в базис-
α′
(3.2)
Выразим компоненты вектора d в новой структуре, исполь-
зуя преобразование путей
(3.3)
Приравняв выражения вектора в (3.1) и (3.2) и подставляя
(3.3), получим
i C i Ai
–1
= = (3.4)
′
t
,
т.е. компоненты-токи при изменении структуры преобразуются противоположно, контравариантно относительно вектора базиса путей.
Квадрат абсолютной величины вектора по физической раз-
мерности есть мощность, величина, измеряющая поток энергии.
90
2
.ei
α
α
=d
2
,ei e i
′
αα
′
αα
= =d
.e Ce
′
α
′
α αα
=
.e Zi
b
α αb
=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Мощность равна произведению напряжения и тока, которые являются компонентами потока энергии в координатах-путях. Тог-
2
– это сумма произведений напряжения eα и токов iα (контра-
да d
вариантные компоненты):
(3.5)
Здесь и далее по верхним и нижним индексам предполага-
ется суммирование. Получим закон преобразования напряжения при переходе к новой структуре сети:
(3.6)
откуда, подставляя выражение (3.4) для контравариантных компонент, получим
(3.7)
Компоненты напряжения преобразуются так же, как базис
путей, т.е. являются ковариантными компонентами вектора
потока энергии. Можно видеть, что ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются линейно при изменении
координат-путей, т.е. ведут себя как тензоры в пространстве
структуры сети.
Таким образом, в электрической цепи есть аналогии компонент вектора: ковариантным компонентам соответствует напряжение, контравариантным компонентам соответствует ток.
Квадрату величины вектора потока энергии d соответствует
мощность в цепи.
Веса ветвей представляют метрику (сопротивление в цепи),
заданную матрицей метрического тензора, которую обозначим
как Z
. Метрика связывает ковариантные и контравариант-
αb
ные компоненты вектора (аналогично закону Ома в электрической цепи):
(3.8)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]