Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
00
37
2 2 4 2 2 4.
55
mj mj
сс
PP PP
+ =+== + = + =
( )
( )
–1
0 0
–1
00
в сети это
m mm m
сc t t c
j jj j
cc t t
i Y e C C C Ce e
E Z I A A A AI
= = =
= =
00
23 21212 20
43 41212 41
eI
=
111
Сумма мощности в простейшей контурной сети mP0 и мощ-
j
ности в простейшей узловой сети
Сумма мощности в соединенной контурной сети
сти в соединенной узловой сети
P0 равна mP0 + jP0 =2 + 2 = 4.
m
j
Pс равна mPс + jPс = 3/5 + 7/5 = 2.
Pс и мощно-
Таким образом, она равна половине суммы мощности в простей-
m
шей контурной сети с источниками напряжения
в простейшей узловой сети с источниками тока
Pс и мощности
j
Pс:
Двойственная сеть. Источники напряжения (замкнутые
пути). Получим отклики (токи i
заданных источниках напряжения e
и напряжения ec в ветвях) при
c
= I0 с помощью матрицы
0
решения, которая получена в (3.37) для двойственной контурной сети (соответствует данной узловой сети):
(3.41)
1 2 3 4
1 4 1 3 1 2 1 1 1
−
= = =
ie
cc
1 5 1 5
−−
31 321 3 1 3 0
Значения токов ic и напряжений ec = Zic в ветвях при единичной метрике численно равны. Эти значения представлены
на рис. 3.6 для двойственной сети. На рис. 3.6 слева даны значения токов, справа – значения напряжений.
Проведем проверку правильности расчета двойственной сети.
Закон Кирхгофа для токов: сумма токов, входящих в узел и выходящих из узла, равна нулю, данные – на рис. 3.6, а:
1
3
• узел D: +i
• узел E: –i
• узел F: +i
– i
c
2
+ i
c
1
– i
c
4
– i
c
c
c
= +4/5 – 3/5 – 1/5 = 0;
c
4
= –3/5 + 3/5 = 0;
3
4
– i
= +4/5 – 1/5 – 3/5 = 0.
c
112
e1 = 1
а
e1 = 1
p1ʹ
E
b3
p3ʹ
b2
b1
D
b4
e4 = 1
p1ʹ
E
p2ʹ
b3
p3ʹ
b2
b1
D
b4
e4 = 1
F
F
( )
( )
–1
00
–1
00
в сети это
jjj j
cc t t c
m mm m
cc t t
E Z I A AY A AI I
i Y e C CZ C Ce
= = =
= =
0
1 2 3 4
11 12121 11
2 3 2 1 3 1 2 20
1 5 1 5
31 32121 30
4 2 4 1 2 1 3 41
cc
I
IE
−−
− − −−
= = =
−−
−−−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
c
e
2
p4ʹ
3
i
= –1/5
c
1
i
= 4/5
c
2
i
= 3/5
c
p
ʹ
4
4
i
= 3/5
c
c
e
= –1/5
3
c
e
= 4/5
1
= 3/5
p2ʹ
e
б
c
= 3/5
4
Рис. 3.6. Результаты расчета двойственной сети с источниками
напряжения: а – токи в ветвях сети; б – напряжения на ветвях
сети
Закон Кирхгофа для напряжений: сумма напряжений на
ветвях и источников напряжения в контуре равна нулю, данные – на рис. 3.6, б:
• контур 3′: –е
• контур 4′: –е
+ еc3 + е1 = –4/5 + (–1/5) + 1 = 0;
c1
+ еc2 + еc4 + е1 + е4 = +4/5 + 3/5 + 3/5 – 1 –
c1
– 1 = 0.
Проверка показывает, что расчеты двойственной сети выполнены правильно.
Источники тока (разомкнутые пути). Получим для узловой
двойственной сети отклики (напряжения E
= YEc в ветвях) при заданных источниках тока I0 с помощью
I
c
на ветвях и токи
c
матрицы решения, которая получена в (3.32) для данной контурной сети:
(3.42)
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
б
E
b2
b3
а
b3
I4 = 1
I1 = 1
I1 = 1
I4 = 1
p2ʹ
b4
b4
E
D
F
F
D
113
Эти значения численно равны друг другу и даны на рис. 3.7.
Слева даны значения токов, справа – значения напряжений;
стрелками показаны источники тока.
c
E
4
c
E
= –3/5
2
= 2/5
2
I
= –3/5
c
1
I
= 1/5
c
p
ʹ p4ʹ
4
p3ʹ
b
1
3
I
= 1/5 E
c
4
I
= 2/5
c
c
= 1/5
3
c
E
= 1/5
1
p3ʹ
b
1
Рис. 3.7. Результаты расчета двойственной сети с источниками
тока: а – токи в ветвях сети; б – напряжения на ветвях сети
Проверим правильность расчета. Закон Кирхгофа для токов:
сумма токов, входящих в узел и выходящих из узла, равна нулю,
учитывая источники тока, данные – на рис. 3.7, а:
• узел D: –I
• узел E: +I
• узел F: +I
1
c
2
c
1
c
2
+ (–I
4
+ I
– I4= +3/5 + 2/5 – 1 = 0;
c
3
+ I
– I
c
3
) – I
+ I1 = –1/5 – 3/5 –1/5 +1 = 0;
c
c
4
+ I1 + I4= +1/5 + 1/5 – 2/5 – 1 + 1 = 0.
c
Закон Кирхгофа для напряжений: сумма на ветвях в контуре равна нулю, источников напряжения здесь нет, напряжения показаны на рис. 3.7, б:
контур 3′: – Е
контур 4′: +Е
+ Еc3 = –1/5 + 1/5 = 0;
c1
+ Еc2 + Еc4 = +1/5 – 3/5 + 2/5 = 0.
c1
Проверка показывает, что расчеты двойственной сети выполнены правильно.
Постоянство мощности при изменении структуры. Рассмотрим мощности, рассеиваемые в свободных ветвях, а также
мощности в связанных данной и двойственной сетях, c источниками тока и напряжения. Проверим закон постоянства мощности при изменении структуры двойственных сетей, представленный в соотношениях (3.18)–(3.23).
Как показано выше, мощность в простейшей данной сети c
источниками напряжения:
114
12
01 2
11 11 2.
m
P ei ei= + =⋅+⋅=
( )
25 25 5
=+++= ==
12
01 2
11 11 2.
j
P EI EI= + =⋅+⋅=
1234
123 4
44 33 11 33 35 7
.
25 25 5
j cc c c
ccccc
P EI EI EI EI
⋅+⋅+⋅+⋅
=+++= ==
( )
00
37
2 2 + 4.
55
mj mj
сс
PP PP
+= + = =
12
01 2
11 11 2.
m
P ei ei= + =⋅+⋅=
12
01 2
11 11 2.
j
P EI EI= + =⋅+⋅=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Мощность в ветвях связанной сети с источниками напряжения:
m cc cc
P ei ei ei ei
ccccc
1234
123 4
⋅+ ⋅ +⋅+⋅
15 3
1 1 –3 –3 1 1 2 2
Мощность в свободных разомкнутых ветвях с источниками
тока:
Мощность в ветвях связанной сети с источниками тока:
Мощность в свободных ветвях с источниками напряжения
m
P0 и тока jP0 равна удвоенной сумме мощностей в связанной
сети с источниками напряжения
m
Pс и тока jPс:
.
В двойственной сети мощность в свободных ветвях с источниками напряжения:
Мощность в свободных разомкнутых ветвях двойственной
сети с источниками тока:
Мощность в ветвях связанной двойственной сети с источниками напряжения:
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
1234
123 4
44 33 11 33 35 7
.
25 25 5
m cccc
ccccc
P ei ei ei ei
⋅+⋅+⋅+⋅
=+++= ==
1234
123 4
j cc c c
ccccc
=+++=
( )
00
73
2 2 4.
55
mj mj
сс
PP PP
+ = + = +=
0
37
2.
55
m mm
сс
PPP= + =+=
0
73
2.
55
j jj
сс
PPP= + =+=
00 00
3773
2 2 4.
5555
mj mj mjmj
cc cc
PP PP PP PP+ = + =+= + + + =+++=
Мощность в ветвях связанной двойственной сети c источниками тока:
P EI EI EI EI
1 1 –3 –3 1 1 2 2
⋅+ ⋅ +⋅+⋅
= = =
( )
15 3
.
25 25 5
115
Мощность в свободных ветвях двойственной сети c источни-
m
ками напряжения
стей в сети с источниками напряжения
P0 и тока jP0 равна удвоенной сумме мощно-
m
Pс и тока jPс:
Мощность в свободных ветвях с источниками напряжения
m
P0 равна сумме мощностей в связанных данной сети mPс и двой-
ственной сети
m
Pс, соотношение (3.18):
Мощность в свободных ветвях с источниками тока jP0 рав-
j
на сумме мощностей в связанных данной сети
j
ной сети
Pс, соотношение (3.20):
Pс и двойствен-
Общий инвариант постоянства мощности при изменении
структуры двух двойственных сетей выражается соотношением (2.23):
116
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Таким образом, при соединении ветвей, изменении структуры мощность источников тока и напряжения распределяется между данной и двойственной сетью, оставаясь постоянной.
Мощность измеряет энергию в единицу времени, т.е. поток
энергии. Таким образом, инварианту двойственности при изменении структуры соединения ветвей в сети соответствует постоянство потока энергии. Это закон сохранения потока энергии при изменении структуры двойственных сетей [19, 24, 30].
Рассмотренный тензорный метод расчета сетей соответствует, как отмечалось, контурному и узловому методам расчета
электрической цепи, разработанным Дж. Максвеллом. Применение базисов замкнутых и разомкнутых путей делает эти методы симметричными. Инвариант двойственности позволяет при
расчете одной сети сразу получать и результат для двойственной
сети. Преобразование решения свободных ветвей в решение связанной сети есть простой вариант общего метода расчета сетей
при изменении структуры.
Возможное изменение структуры – разделение на части и
расчет сети по частям. Это необходимо для уменьшения времени расчета сложных систем. Инвариант двойственности позволяет проводить расчеты сетей и сетевых моделей сложных
систем по частям без итераций, что повышает эффективность
за счет снижения объема вычислений.
3.4. Расчет сетей приизменении структуры
Тензорный метод с инвариантом двойственности применяется для расчета сетей (сетевых моделей) при изменении структуры: разделении на части или соединении из частей, изменении
соединений в сети при внешних и внутренних воздействиях в
сети или двойственной сети [15, 16, 19, 24, 47].
Рассмотрим сначала методы расчета при изменении структуры одной сети: для соединений и разъединений, при внешних воздействиях (источники тока) и внутренних воздействиях
(источники напряжения). Вместе с двойственной сетью это составит восемь таких вариантов расчета при изменении структуры (они дают восемь алгоритмов). Инвариант двойственности
структуры показывает, что реально есть только два метода расчета при изменении структуры, а остальные получаются из них
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
2 21 1 11
– – – –,j J s J Js j J= =D=D
221 1
–– .m nj nj Jm J= = +D = +D
117
двойственными заменами. При разделении сети на части или
соединении сети из частей методы расчета различаются только
видом матрицы преобразования путей, а их суть не меняется.
Это дает все варианты изменения структуры сетей, а также сетевых моделей сложных систем.
Изменение границ. Изменение структуры состоит в изменении границ между элементами, например соединении или разделении узлов, которые являются границами ветвей. При изменении структуры сети приходится заново получать решение,
расчет откликов на новые или прежние воздействия. Для расчета новой структуры целесообразно использовать известный
расчет сети со старой структурой, например для вариантов проектирования, анализа опасностей при изменениях соединений
элементов установки, которые могут приводить к авариям.
Предположим, что известно одно решение для сети (например, для сети из отдельных свободных ветвей или подсетей).
Пусть произошло слияние или разделение узлов между ветвями в сети. Задача состоит в получении матрицы решения
для новой структуры по матрице решения старой структуры
и матрице изменения структуры. Пусть в старой сети из n ветвей имеется J
узлов и одна подсеть, т.е. s1 = 1. Тогда, как по-
1
казано в (2.1), (2.2), число базисных разомкнутых путей равно
= J1 – s1, а контуров m1 = n – j1. Если в новой сети также одна
j
1
подсеть, а число узлов изменилось, например часть узлов DJ соединили, то узлов в сети J
станет меньше. Тогда J2 = J1 – DJ,
2
и число разомкнутых путей изменится:
соответственно изменится и число замкнутых путей, контуров:
Уменьшение числа узлов увеличивает количество независимых контуров и уменьшает количество независимых разомкнутых путей, и наоборот.
Обозначим вектор базисных путей в старой сети как p
mp1, jp1
= (
). Замкнем часть узлов в данной сети, тогда коли-
(3.43)
(3.44)
1
=
α
118
11
22
mm
jj
n
CC
CC
CC
=∆
11
11
22
mm
jj
n
CC
CC
jC
jj
CC
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
чество независимых контуров увеличится на Dm = DJ. До-
2
пустим, что новые пути базиса p
, состоят из тех же ветвей,
α
что и прежние пути. Тогда в матрицах преобразования старой
сети C
α
и новой сети C
α′1
α
все элементы останутся прежними,
α′2
но распределение строк изменится. Строк контуров, m-путей,
станет на Dm больше, а строк разомкнутых путей, j-путей, станет на Dm меньше. Строки новых m-путей составят матрицу
изменений структуры сети; обозначим ее как DC. Тогда получим выражение матрицы C
α
новой сети через C
α′2
α
старой
α′1
сети и матрицу изменений DC:
n
m
m
C
1
ααα
==∆∆
′′′
12
ααα
1
j
C
j
1
1
m
mC C
j
2
где двойная черта отделяет в матрице C
j
C2.
и
Если часть узлов разомкнуть, то узлов станет больше: J
+ DJ. Разомкнутых путей базиса станет больше на Dj = DJ
= J
1
α
′
α
1
α
′
α
m
2
j
1
j
2
α
подматрицы mC2
α′2
(3.45)
2
=
(число подсетей прежнее), а контуров меньше на Dm = DJ. Тог-
m
да подматрица DC в новой сети переходит от
C2 к jC2, т.е. они
меняются местами:
n
==∆∆ =∆ ∆
′′′
ααα
12
m
ααα
j
′
α
1
1
1
;
α
j
C
′
α
1
α
m
C
где двойная линия показывает теперь новую границу между
m
C2 и jC2.
В двойственной сети произойдут обратные изменения, т.е.
замкнутся узлы, уменьшится число разомкнутых путей и увеличится число контуров. Если число векторов базиса, т.е. зам-
<
mm m
21 2
mC
α
′
α
j
2
α
′
α
(3.46)
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
–1
1
1 11 1
,
m mm m
ct t
Y C CZ C C=
( )
–1
2
2 22 2
,
m mm m
ct t
Y C CZ C C
+
=
119
кнутых или разомкнутых путей, при изменении структуры
увеличивается и появляется матрица изменений, то можно
решить задачу расчета новой сети по найденной матрице решения старой сети и матрице изменений.
Решение для сети, в которой растет число переменных при
изменении структуры, можно преобразовать в решение для
двойственной сети, где уменьшается число переменных при
таком же изменении структуры, с помощью инварианта двойственности.
Матрицы решения сети при изменении структуры. Рас-
1
смотрим переход от матрицы решения старой сети Y
трице решения новой сети Y
2
или Z
c
2
с помощью матрицы из-
c
к ма-
c
менений DC. При соединениях узлов матрицу решения для
2+
базиса замкнутых путей обозначим как Y
ния для базиса разомкнутых путей – как Z
, а матрицу реше-
c
2+
. При разъедине-
c
ниях узлов матрицу решения для базиса замкнутых путей обо-
2–
значим как Y
путей – как Z
, а матрицу решения для базиса разомкнутых
c
2–
. Матрицы решения при разъединениях узлов
c
получим с использованием инварианта двойственности. Если
в сети производятся и соединения, и разъединения, т.е. одни
узлы соединяются, а другие разделяются, то следует получить
матрицы решений сначала для одного вида изменений, потом
для другого и результаты сложить (в соответствии с принципом суперпозиции).
Расчет контурной сети при наложении связей (уменьшении числа узлов). Матрицы решения старой и новой сетей
имеют одинаковый вид, различаясь структурой соединения
1
ветвей. Матрица решения старой сети Y
при переходе от сво-
c
бодных замкнутых ветвей к базису замкнутых путей связанной сети имеет вид (текущие индексы опускаем):
а матрица решения новой сети, Y
(3.47)
2+
имеет такой же вид:
c
(3.48)
120
2 11 11
mm
nn
mC mC
CC
DD
DD
1
1
111 1 1
22
1
2
mm mm
m tt
mm
tt
mm
mm
m CZ C CZ C a b m
m cd m
CZ C CZ C
m
D
D
′
= =
DD
DD
( )
m ef
m gh
−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
но через Y
2+
обозначена матрица решения сети, где уменьшено
c
число узлов.
m
Выразим в (3.45) матрицу
C2 через матрицу mC1 и матрицу
DC из (3.45):
1
−
mm
D
+
Y CC
c tt
1
m
= D
1
n
m nZn m
D
mm
1
m
D
CC
1
tt
(3.49)
Произведение в скобках дает в символах матрицу метриче-
ского тензора (импедансов, комплексных сопротивлений) свя-
m
занной сети
Z′2 следующего вида:
(3.50)
Здесь справа через a, b, c, d сокращенно обозначены элемен-
m
ты матрицы
Обратную матрицу к этой матрице (
Z′2.
m
Z′2)–1 = (mC2ZmC2t)–1
получим также в символьном виде. Если опустить промежуточные выкладки, то эта матрица примет следующий вид:
mm
′′
YZ
= =
22
mm
1
−− −
11 1
a I b ca a b
+D − D
( )
1
= =
D
Здесь введено обозначение D = (d – ca
−
1
ca
−D D
m
2
e, f, g, h сокращенно обозначены элементы матрицы
ведем для примера вид элемента f матрицы (3.51), чтобы показать процесс преобразований при обращении:
1
D
m
2
–1b)–1
(3.51)
, а справа через
m
Y′2. При-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]