Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
12
==++=
( )
D =D +D +D = × × × =
21
4,861111 2,720418 7,581529.
mm m
сс
PP P= +D = + =
Токи, напряжения и мощности в ветвях связанной сети
171
Таблица 3.2
297
891
264 627
Ветви
858
858
736 164
858
1716
1 472 328
437
874
381 938
124
496
61 504
Параметр
с
Ток i
Напряжение e
Мощность по ветвям
m
Pс = eсi
с
с
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
105
–105
–210
22 050
105
11 025
–378
–378
142 884
Сумма мощностей по всем ветвям связанной сети с источниками напряжения равна:
2 1 10
mc c
P ei e i= +…+ =
1 10
cc c
3 641 022 693 693 5254 693 7,581529.
= ×= =
( )
Напомним, что мощность в сети, состоящей из отдельных
подсетей, равна:
m ms m m mr
PPPPP
c c cc c
1 4 + 25 6 4 9 175 36 4,861111.
= += =
1
710
710
504 100
149
298
44 402
Сумма мощностей изменения решения по всем ветвям подсетей:
m m m mr
PP P P
=++=
0,116391 0,982993 1,621034 2,720418.
12
7541 11 9 7 4
Теперь можно проверить, что мощность в соединенной сети
равна сумме мощности в сети из подсетей и мощности изменения решения:
172
( )
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Или получим тот же результат в простых дробях:
21
mm m
PP P= +D = + × × × =
сс
175 36 7541 11 9 7 4 5254 693.
Студентам предлагается самим проверить это полезное арифметическое упражнение, которое дает точный результат выполнения постоянства мощности при изменении структуры сетей.
Таким образом, при соединении ветвей, изменении структуры мощность источников тока и напряжения распределяется между данной и двойственной сетью, оставаясь постоянной.
В дальнейшем это свойство постоянства мощности в двойственных сетях при изменении структуры будет применяться
при моделировании сложных систем в предметных областях
техники и экономики.
При расчете по частям объемы вычислений уменьшаются.
Простая оценка показывает, что для расчета сети из пяти контуров надо обратить матрицу пятого порядка. В процессе расчета
по частям была обращена одна матрица второго порядка и три
матрицы первого порядка. Время обращения матрицы пропорционально кубической степени ее порядка, следовательно, с ростом размера сети (сетевой модели сложной системы) эффективность расчетов будет возрастать.
Существует различие между расчетами матриц решения и
расчетом компонент откликов на ветвях при заданном векторе
воздействия. Расчеты по частям компонент заданного вектора
для замкнутой сети или разомкнутой сети различаются тем,
что часть умножений матрицы на матрицу заменяется умножением матрицы на вектор, что требует меньше вычислений,
с одной стороны, но вызывает необходимость повторения расчетов для каждого нового вектора, с другой стороны.
Выбор алгоритма зависит от поставленной задачи и от условий расчета. Матрицу решений выгодно получить в том случае,
когда для одной структуры сети задают векторы с разными
компонентами; тогда можно получать реакцию одной структуры на разные воздействия, но при этом придется многократно
умножать матрицу на матрицу.
Если структура сети меняется, то выгоднее получать ком-
поненты для каждого вектора всякий раз заново, используя
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
ΔC
s
ΔZʹс ΔC
s
Матрица C
подсети s+1
Матрица Cs подсети s
Исходные данные:
Построение матриц С и A
по матрице инциденций
1
Выделение подсетей в
соединенной сети
Расчет подсетей на параллельных
компьютерах
Y
s+1
= mC
s+1
(mC
s+1 Z
mC
s+1
1
)–1 mC
s+1
Y
1s
= mC
s
(mCs Zs mC
s
)–1 mCs
Y
12
= mC
2
(mC2 Z12 mC
2
)–1 mC2
Матрица Z
подсети s+1
Матрица C2 подсети 2
Матрица Zs подсети s
Матрица C1 подсети 1
Матрица Z2 подсети 2
Матрица Z1 подсети 1
ЭВМ с параллельной
архитектурой
Процессор r (s+1)
Процессор s
Процессор 2
Процессор 1
ΔC
s
ΔC
s
... ΔC
s
ΔC
s
ΔYʹс = ΔC
s
Y
1
ΔC
s
+ ... + ΔC
s
Y
s
ΔC
s
+ ΔC
s
Y
r
ΔC
s
Y
11
с
= mC
1
t
(mC1 Z1 mC
1
t
)–1 mC1
ΔZсʹ = (ΔYʹс)
1
ΔC
s
ΔZʹс ΔC
s
ΔC
s
ΔZʹс ΔC
s
Y
s+1
ΔC
s
ΔZʹс ΔC
s
Y
s+1
= ΔY
s+1
Y
s
ΔC
s
ΔZʹс ΔC
s
Y
s
= ΔY
s
Y
2
= Y
1
+ ΔYс
Комп-ты вектора d
s+1
в s+1
Компоненты вектора ds
Компоненты вектора d
Y
1
ΔC
s
ΔZʹс ΔC
s
Y
1
= ΔYс
173
преимущества меньшего объема вычислений при умножении
матрицы на вектор. При этом с изменением структуры может
меняться и вектор воздействия, для объема вычислений это
несущественно. Отсюда получаются или матрица решения, где
на каждом этапе происходит перемножение матриц, что требует больше вычислений; или компоненты вектора – часть перемножений матриц заменяется умножением матрицы на вектор, но матрица решений в явном виде не вычисляется.
Алгоритм расчета по частям сети с внутренними воздействиями и замкнутыми путями реализует этапы расчета сложной сети по частям в соответствии со схемой, которая приведена на рис. 3.12.
с
1
с
s+1
с
s
с
1
метрические параметры Z,
структурные параметры С,
компоненты вектора d
s+1
подсети 1
с
с
t
t
t
1
2
s
с
1
s
–
s+1
с
s
с
1
с
с
0
M
t
s+1
t
с
t
s+1
s
s+1
s+1
с
s+1
t
с
s+1
s+1
s
1
с
с
σ
1
Рис. 3.12. Схема алгоритма расчета сети по частям
с использованием параллельных процессоров (для контуров,
174
( )
11
–.
s ss
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
замкнутая система)
1. Задать исходные данные: метрические параметры ветвей – матрица Z (или Y) сети свободных ветвей, структура соединенной сети – матрица преобразования C (или A); вектор
воздействия в свободных ветвях – источники напряжения
j
α
I
или источники тока
.
0
me0
2. Разделить соединенную сеть на подсети, выделив отдельные блоки в матрице преобразования
mC1
, ..., mCs, mC
s+1=r
(или
методом декомпозиции графа на несвязанные компоненты).
Способ разделения на подсети – выделение сети соединений подсетей или разделение подсетей в узлах – определяются условиями задачи.
3. Выделить подматрицы изменений в матрице преобразо-
s
вания DC
, DC, т.е. строки тех путей, которые замыкаются при
соединении подсетей (или размыкаются при разделении сети).
4. Произвести расчет s-подсетей и (s+1)-сети соединения под-
сетей по формуле расчета сети Y
1
cs
= mC
s
(mCsZ
t
m
s
C
)–1 mCs, можно
s
t
выполнить на ЭВМ с параллельной архитектурой.
5. Расчет сети пересечений, которая состоит из ветвей, составляющих изменяемые пути при соединении частей в целое.
Она обеспечивает взаимодействие частей в целой сети. Расчет
взаимодействия подсетей с сетью изменений: DC
s
(I – Y
1
Z), ко-
cs
торые трижды повторяются в формулах расчета сети при любых изменениях структуры – в одной сети или при разделении
1
на подсети. Для контурной матрицы Y
это означает, что двой-
с
ственная матрица решения подсетей и сети соединений преобразуется к изменяемым путям, поскольку (I – Y
1
Z) = YZ
cs
1
. На
cs
этом этапе расчеты выполняются параллельно.
6. Построение метрической матрицы для двойственной (s+2)-
сети изменений (пересечений). Эта сеть составлена только из
разделяемых при декомпозиции контуров, ее порядок сравним
с порядком подсистем. Метрическая матрица этой сети обеспечивает двойственное изменение решения при сохранении инварианта двойственности:
α
Z CZ I Y Z C C Z C
D =D D =DD D
2
s cs t cs t
+
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
11 1 1 1 1 1
21 1
... .
s ss s
s c t cs t cs t
Z CZ C C Z C C Z C
++
++
D =D D + +D D D +D D D
Расчеты вклада каждой подсистемы в эту матрицу можно
выполнить параллельно.
7. Сама матрица изменения метрики DZ
получается сум-
s+2
мированием вкладов всех подсетей в виде
175
Обращение этой матрицы DY
s+2
= (DZ
)–1, если ее порядок
s+2
сопоставим с порядком подсистем и сети соединений, выполняется на одной ЭВМ. Если (s+2)-сеть велика по сравнению с подсетями, то можно и ее также рассчитать по частям, но уже с помощью двойственного алгоритма.
8. Матрица решения для изменяемых путей (например, замыкаемых контуров), имеет вид DY
s+2
c
= DC
s
(DZ
t
)–1DCs. Эта ма-
s+2
трица воздействует на двойственные матрицы решения подсетей и дает блоки матрицы изменения DY
×DC
d
(I – Y
1
Zd), где g, d меняются от 1 до (s+1). Данные блоков
сd
gd
= (I – Y
c
1
Zg)DC
сg
g
t
DY
s+2
c
×
изменяют значения метрических параметров подсетей в те значения, которые они имеют в соединенной сети. Эти расчеты выполняются параллельно.
При практической реализации алгоритма удобнее вычис-
лять блок матриц из пункта 5, а именно DC
трицу DY
s+2
c
= DC
s
(DZ
t
)–1DCs для (s+2)-сети. Это означает при-
s+2
g
(I – Y
1
Zg), а не ма-
сg
ведение матриц решения подсетей к изменяемым путям.
9. Таким образом, получаем матрицу изменения решения
. Она суммируется с матрицей решения Y
DY
c
ния соединенной сети Y
2
1
= Y
+ DYc, если число переменных при
c
c
1
в матрицу реше-
c
соединении подсетей растет, либо вычитается, если число пере-
2
1
= Z
менных при соединении уменьшается: Z
– ZDYcZ. Этот этап
c
c
можно выполнять параллельно. Он дает матрицу решения соединенной сети.
10. Если задан вектор источников напряжения (ЭДС) e
0
α
то, умножая на него матрицу решения (параллельно) получим
токи отклика в ветвях соединенной сети
m
i
α
= Y
c
2
0
e
.
c
α
Данный алгоритм расчета сети по частям с использованием
параллельных процессоров (схема дана на рис. 3.12) предназначен для замкнутой системы, где базисом являются замкнутые пути, контуры. Если сеть представляет открытую систему,
,
176
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
в которой базисом являются разомкнутые пути, а двойственный
вектор разомкнутых путей задан контравариантными компо-
j
α
I
нентами
путей Z
или надо найти матрицу решения для разомкнутых
0
2
, то эти же этапы алгоритма расчета по частям выпол-
c
няются с надлежащими двойственными заменами величин. Расчет матрицы решения сети по частям для разомкнутых путей
(открытая система) получается заменой всех величин на двойственные величины.
Для расчета двойственной сети по частям алгоритмы меня-
ются местами, т.е. алгоритм расчета матрицы решения для замкнутых путей данной сети применяется для расчета матрицы
решения разомкнутых путей в двойственной сети, и наоборот.
Матрица решения получена так, что на каждом этапе вычисляются только ее отдельные блоки, что допускает выполнение
всех операций с использованием ЭВМ с параллельной архитектурой или другой параллельной вычислительной техники.
Можно видеть, что расчет по частям проведен без итераций,
т.е. решение получено сразу, что повышает эффективность применения данного метода декомпозиции и распараллеливания
расчета задачи на уровне сети или сетевой модели предметной
области. Такую возможность обеспечивает инвариант двойственных сетей. Можно также одновременно использовать другие методы распараллеливания вычислений на более низких уровнях:
от параллельного выполнения элементарных операций до блочных методов решения систем уравнений и методов вычислений
с разреженными матрицами. Это повысит общую эффективность
расчетов.
Выводы поглаве 3
Двойственные сети применяются для моделирования процессов и структуры сложных систем. Процессы представляют собой
потоки одних величин под действием других величин в структуре двойственных сетей. Независимость замкнутых и разомкнутых путей позволяет создавать сетевые модели открытых и замкнутых систем разных предметных областей в ортогональных
базисах одной сети. В данной главе было рассмотрено поведение
сетей с воздействиями и откликами при изменении структуры.
Изменения структуры состоят в изменении соединений элемен-
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
11 1 1
– – –,
c ct ct c
177
тов, ветвей в одной связанной сети, или в разделении целой сети
на части, или в соединении целой сети из частей, отдельных подсетей. Для всех видов изменения структуры расчет сети (сетевой
модели сложной системы) осуществляется одним методом. Различие в базисе замкнутых или разомкнутых путей, а также виде
матрицы преобразования измененяемых путей.
1. Расчет сетей при изменении структуры производится
уравнениями, основанными на инварианте двойственности сетей. Форма уравнений расчета определяется типом базисных
путей и зависит от вида преобразования структуры (связывание свободных ветвей в соединенную сеть, изменение соединений в связанной сети; а также разделение сети на подсети
и соединение из подсетей). Эти виды расчета различаются составом блоков в матрицах преобразования, соответствующих
подматрице изменения путей.
2. Уравнения расчета для отдельных видов преобразования
структуры являются частными случаями общих уравнений для
расчета при разделении сети на подсети или соединении целой
сети из подсетей. Два основных вида уравнений (и алгоритмов)
расчета сети при изменении структуры определяются видом заданного вектора воздействия (возбуждающего процесс в сети
или сетевой модели сложной системы).
3. Если процесс (распространение потока энергии) задан
внутренними источниками, то компоненты его вектора определяются разложением по базису замкнутых путей (определяющих контуры циркуляции потока внутри сети). Общее уравнение расчета при соединении подсетей в сеть для базиса контуров
дано в (3.52):
21
YY Y
= +D =
cc c
=+ DD D D
Y I YZ C CZI YZ C C I ZY
где в Y
( ) ( ) ( )
1
по главной диагонали расположены матрицы реше-
c
ния подсетей, DY
– матрица решения сети изменений
c
–1
(пересечений), а DC состоит из путей, измененных при соединении.
178
( )
–1
21 11 1 1
–,
c c c c ct ct c
Z Z Z Z Z C CZ C CZ= −D = D D D D
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
4. Если процесс (распространение потока энергии) задан
внешними источниками, то компоненты его вектора определяются разложением по базису разомкнутых путей (определяющих узлы входа и выхода потока из сети). Этому соответствует
общее уравнение расчета, представленное в (3.56):
где матрица решения соединенной сети Z
1
трицы решения подсетей Z
и матрицу изменений путей DC.
c
2
выражается через ма-
c
При расчете сети по частям разделением на независимые
подсети, которые можно рассчитать параллельно, двойственная сеть пересечений обеспечивает расчет без итераций, значительно уменьшая объем вычислений, повышая эффективность
расчетов. Представленные формулы расчета сетей при изменении структуры (включая разделение на части или соединение
из частей целого) получены аналитическим путем, с использованием инварианта двойственности, и представляют математический метод расчета сетевых моделей.
5. Рассмотрены условия эффективности преобразования известного решения в решение для новой структуры по сравнению
с расчетом заново. Формулы преобразования известных решений
сетей при изменении структуры получены двух видов:
• расчет матриц решения для новой структуры по матрице
решения для старой структуры. Требует больше вычислений
(много перемножений матриц), но позволяет быстро получить
решение для каждого нового вектора;
• расчет компонент заданного вектора (представляющего
процессы в сети, сетевой модели системы) при изменении структуры. Требует меньше вычислений (некоторые умножения матрицы на матрицу заменяются умножением матрицы на вектор),
позволяет получить решение для каждого нового вектора воздействия, для каждой новой структуры соединений, но не дает матрицу решения.
Алгоритмы расчета сетевых моделей при разделении на
произвольные подсистемы или при отключении, подключении
отдельных компонент и подсистем применяются при анализе
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
179
вариантов проектирования сложных систем, а также для исследования аварийных ситуаций в пожароопасных системах
(например, в нефтепереработке), в электроэнергетике, транспортных системах, шахтных коммуникациях, логистике цепей поставок, экономике.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит задача расчета сети? Какие есть виды рас-
чета сети? Приведите примеры.
2. Какие измеримые величины дает расчет сетей? Приве-
дите примеры.
3. В чем состоит расчет матрицы решения контурной сети?
4. В чем состоит расчет матрицы решения узловой сети?
5. Как производится расчет откликов в ветвях на приложен-
ные воздействия?
6. Приведите пример перехода от простейшей сети к соеди-
ненным двойственным сетям.
7. Приведите пример изменения матриц преобразования при
изменении структуры.
8. Приведите пример изменения матриц преобразования
при изменении структуры двойственных сетей.
9. В чем состоит асимметрия замкнутых путей и разомкну-
тых путей?
10. Как применяется инвариант двойственности при расче-
те сетей?
11. Приведите пример матриц преобразования при измене-
нии соединений.
12. Приведите пример матриц преобразования при деком-
позиции сети на части.
13. Как связаны закон постоянства мощности и инвариант
двойственности структуры?
14. В чем различие процессов и структуры системы?
15. В чем различие декомпозиции сети на части и измене-
ния соединений в сети?
16. В чем различие поведения подсистем и элементов си-
стемы при возбуждении?
17. Выведите алгоритм расчета сетей при изменении струк-
туры.
180
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
18. Какие существуют алгоритмы декомпозиции и расчета
сетей по частям?
19. В чем состоит расчет процессов в отдельных блоках се-
тевой модели?
20. В чем состоит расчет контурных сетей по частям?
21. В чем состоит расчет узловых сетей по частям?
22. В чем состоит расчет двойственной сети пересечений?
23. Что повышает эффективность расчета процессов в сети
по частям?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]