Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем
11
фа. Однако электрическая цепь сама есть физическая система
со своими свойствами. Тензорный метод представляет процессы и структуру различных сложных систем, включая электрические цепи, используя аналогии с абстрактными сетевыми
моделями.
1.2. Процессы иструктура сложных систем
Развитие общества и технологий увеличивает влияние структуры связей элементов на поведение сложных систем, происходящие в них процессы. Изменение связей (конструкций машин,
технологий, хозяйственных связей) требует совместного анализа
процессов и структуры. В элементах системы происходят физи-
ческие процессы (например, в виде потоков энергии, информации, материальных потоков). Соединения элементов образуют
структуру, а слияние или разделение границ элементов изменяет
структуру.
Структура играет важную роль в физических, технических, экономических, информационных и биологических системах. Структура не только определяет порядок соединения
элементов, но и влияет на суть процессов, которые происходят
в системах.
Физические явления порождены связями между элементами на разных уровнях размеров пространства. Ядерные взаимодействия связывают в ядре протоны, нейтроны и мезоны. Само
ядро вместе с электронными оболочками составляет структуру
атома. На уровне атома возникают электромагнитные явления,
когда нуклоны ядра и электроны составляют единую систему.
Многообразие химических процессов возникает при соединении атомов в молекулы за счет обмена электронами на внешних оболочках. Число способных к взаимодействию электронов
определяет валентность. И так далее, до космических масштабов, где основным взаимодействием является не только электромагнетизм, но и гравитация. Структура связей элементов на
каждом уровне образует системы различной сложности.
Для анализа сложных систем применяют методы математического моделирования. Существуют методы моделирования процессов и методы моделирования структуры системы.
Уравнения поведения (связывают воздействие, метрику эле-
12
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ментов, отклики) описывают процессы, но не рассматривают
структуру. При изменении структуры надо получать новые
уравнения. Структуру представляют графы, схемы, сети, комплексы топологии, но они не описывают процессы.
Одновременно представить в сетевых моделях процессы и
структуру позволяет тензорный метод двойственных сетей. В
этом методе величины процессов представлены своими компонентами в базисах замкнутых и разомкнутых путей – системах координат пространства структуры. Сетевые модели
представляют процессы и структуру системы. При изменении
структуры изменение процессов получается как преобразование координат. Такие преобразования обеспечивает постоянство суммы метрических тензоров двойственных сетей при изменении структуры (инвариант двойственности).
Сеть задана множеством элементов. Элементы – это протяженности с их границами, которыми они соединяются (или
разделяются). Каждый элемент определяет одно измерение
в пространстве структуры. Координатами являются замкнутые и разомкнутые пути в сети. Структура соединения элементов – это проекции сети в разные системы координат. Множество независимых путей определяет базис в пространстве
структуры. Преобразованиями координат являются или выбор в качестве базиса других путей, или изменение структуры связей, но с прежними путями, или изменение структуры
с другим выбором путей. В сети есть инварианты, которые
не меняются при изменении структуры. Например, сумма базисных замкнутых и разомкнутых путей постоянна и равна
числу ветвей в сети.
В пространстве сети могут находиться, изменяться различные объекты, например процессы как потоки одних величин
под действием других величин. В качестве процессов рассматриваются потоки энергии, информации, материи, людей и т.д.
Изменение величин, измеряющих процессы, потоки, при изменении структуры рассчитывают с помощью матриц преобразования путей. Состояние системы с новой структурой можно
рассчитать по состоянию старой структуры как преобразование
координат. Не надо для новых соединений выводить и рассчитывать заново уравнения поведения системы.
ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем
13
Тензоры в геометрии – это объекты, компоненты которых при изменении системы координат преобразуются линейно, умножением на матрицу преобразования базиса. Объекты в сети, измеримые величины, при изменении структуры,
путей, преобразуются линейно, умножением на матрицу преобразования путей базиса, что соответствуют понятиям тензоров.
Отличие сети в том, что в ее пространстве есть два типа координат – замкнутые пути и разомкнутые пути. Они образуют два
независимых подпространства в пространстве сети. При изменении структуры замкнутые пути могут размыкаться, а разомкнутые могут замыкаться, тогда меняется размерность их подпространств. В геометрии при изменении системы координат
размерность пространства не меняется. В двойственной сети
замыканиям соответствуют размыкания, и наоборот. Поэтому
суммы размерностей подпространств замкнутых путей и разомкнутых путей в двух двойственных сетях постоянны при изменении структуры. Две двойственные сети образуют полное
пространство, в котором измеримые величины процессов преобразуются линейно при изменении структуры, т.е. соответствуют тензорам. В этом отличие пространства структуры от обычного пространства.
Система без процессов. Рассмотрим систему, состоящую
из элементов и структуры связей, которая соединяет элементы. В такой «мертвой» системе есть все элементы и связи, но
нет процессов. Элементы системы представляют собой протяженные объекты, у которых есть границы. Множество соединений создает структуру связей элементов. Точка не имеет
границ. Линия, ветвь, имеет две точки границы, ее начало и
окончание. Двумерная грань, поверхность, имеет два вида
границ – линии, границами линий являются точки. Многогранник имеет три вида границ – грани, границами граней являются линии, границами линий являются точки.
Понятия элементов сети сопоставимы с определениями в
геометрии Евклида. Точка есть то, что не имеет частей. Линия
есть длина без ширины, а края линии – точки. Поверхность
есть то, что имеет только длину и ширину, края же поверхности – линии.
14
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Элементы соединяются границами. Например, две линии
соединяются при слиянии их точек-границ. Грани соединяются при слиянии их границ-линий, а также граничных точек
линий. При соединении граней соединяются многогранники.
Разъединение происходит при разделении границ элементов.
При соединении две границы сливаются в одну. При разделении одна граница между соединенными элементами разделяется на две. Соединение и разделение границ элементов есть
изменение структуры.
Система с процессами. Система «оживает», когда в элементах протекают процессы. В качестве процессов рассматриваются потоки энергии, материи, информации, которые меня-
ются при изменении структуры связей. Процессы возникают
при воздействии на систему и представляют собой потоки одних величин (отклики) под действием других величин при сопротивлении материи элементов. Вид материи характеризует
метрика пространства конкретной системы. Процессы описывают уравнениями поведения различного вида.
Уравнения процессов не включают описание структуры.
Структура связей нематериальна; она определяет порядок соединения элементов, состоящих из материи. Различие между
процессами и структурой представлено в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Различие между процессами и структурой сложных систем
Процесс Структура
Воздействие, приложенная сила Элементы
Сопротивление (метрика) Связи
Отклик Замкнутые и разомкнутые пути
Нет структуры Нет метрики
Величины процессов заданы своими компонентами в координатах-путях в пространстве структуры. При изменении структуры, или путей, величины процессов меняются как компоненты
тензора (скаляра, вектора и т.д.) при изменении системы координат умножением на матрицы преобразования путей. Инвариант
группы преобразований определяет вид геометрии, которой соответствует физическая теория [4, 5].
ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем
15
1.3. Двойственность
В пространстве структуры сетей свойством двойственности
обладают открытые и замкнутые пути, данная и двойственная
сети, внешние и внутренние воздействия. Двойственными являются противоположные и независимые парные понятия, которые дополняют друг друга до целого.
Понятие двойственности известно давно и проявляет себя
в различных областях. Это взаимное дополнение противоположностей имеет разные названия: дуализм, диада, дихотомия, бинарная оппозиция, противоположность, полярность. Идея двойственности дошла до нас в мифах древних народов. Геб и Нут
у египтян, Ки и Ан у шумеров, Пракрити и Пуруша у индийцев,
Инь и Ян у китайцев, Ометикутль и Омесигуатль у ацтеков, Ахриман и Ормюзд у персов – все это названия богов или активных двойственных начал, взаимодействие которых, по мнению
древних философов, приводит в движение мир. Стороны двойственности вступают в союз, где их различия теряются, образуя
целое, обладающее способностью к движению, развитию. Так,
Пракрити и Пуруша объединяются в Прадхане, Ян и Инь сливаются в Дао, Ахраман и Ормюзд соединяются в Митре, Ометеотль образует единое для Ометикутля и Омесигуатля (Попков,
2010 [42]; Щукарев, 1934 [48]).
Двойственные понятия широко используются в философии
и других науках: физике, математике, химии и др. При этом
продолжает развиваться все то, что «действительно удивительно и божественно для вдумчивого мыслителя – это присущее
всей природе удвоение числовых значений, и наоборот, раздвоение – отношение, наблюдаемое во всех видах и родах вещей»
(Платон [41, с. 159]).
Двойственные понятия символизируют тепло и холод, день
и ночь, черное и белое, добро и зло, мужское начало и женское
начало.
Двойственные противоположности взаимодействуют, и это
формирует порядок из первоначального мирового хаоса, вводя
в него различия и создавая наблюдаемые структуры окружающего мира. При этом в центре одного может существовать частица противоположного.
16
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Двойственность в математике. В геометрии, особенно в
проективной геометрии, понятие двойственности появилось
в начале прошлого века. Здесь наибольший интерес представляют свойства двойственности, связанные с изменением структуры в математике, производстве, логистике, теории систем.
Наличие двойственности позволяет установить симметрию в
рассуждениях. Например, если заменить в любом верном предложении все входящие в него понятия на двойственные им понятия, то можно получить верное предложение, двойственное
первому. Этот принцип двойственности проявляется, например, в существовании прямой и обратной теорем в геометрии.
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы. Часто говорят о двух взаимно обратных, или двойственных друг другу, теоремах. Взаимно
обратные теоремы, истинность которых доказана, важны в математических исследованиях. Часто необходимо знать, какие
свойства можно принять за основные, вполне определяющие
объект исследования. Эти свойства объектов (геометрических
фигур, множеств) выделяются посредством доказательства обратных теорем. Возможность выделить таким путем некую
сущность объекта (свойство, инвариант) показывает важность
двойственных утверждений.
Принцип двойственности проективной геометрии: если верно предложение, касающееся точек, прямых, плоскостей и отношений инцидентности между ними, то верно и двойственное
предложение, получаемое из данного предложения. В суждениях можно поменять местами слова «прямая» и «точка»
(для проективного пространства слова «плоскость» и «точка»).
Например, предложению «три плоскости определяют точку»
соответствует двойственное предложение «три точки определяют плоскость». На плоскости этому соответствует аналогичная
пара утверждений. «Две точки определяют прямую» (известно, что через две точки можно провести единственную прямую). «Две прямые определяют точку» (в проективной геометрии две прямые пересекаются в одной точке, а параллельные
прямые пересекаются в несобственной, т.е. бесконечно удаленной точке). Признание равноправия собственных и несобствен-
ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем
17
ных элементов в проективной геометрии позволило использовать принцип двойственности, иначе параллельные прямые
оказались бы не имеющими общей точки.
Примером двойственности является задача линейного программирования. Прямая задача заключается в нахождении
максимума целевой функции изнутри выпуклого многогранника, расположенного в n-мерном пространстве. В этом пространстве многогранник задается линейной формой с n ограничениями, наложенными на m-мерный вектор-аргумент целевой
функции. Обратная, или двойственная, задача состоит в нахождении минимума целевой функции снаружи на поверхности многогранника, т.е. в пространстве, дополняющем многогранник прямой задачи до полного пространства, но здесь это
m-мерное пространство. Компоненты вектора переменных прямой задачи становятся значениями ограничений двойственной
задачи, и наоборот. Исходная и двойственная задачи дополняют друг друга до определенной целостности, как и в других видах двойственности.
В сетях есть три типа двойственности.
Двойственность путей. Замкнутые и разомкнутые пути противоположны, взаимно дополняют друг друга и переходят друг
в друга при замыкании и размыкании границ. Движения состоят из перемещений (по открытым путям) и вращений (по
замкнутым путям). Закон сохранения импульса связан с перемещениями. Закон сохранения момента импульса связан с вращениями. Асимметрия состоит в том, что замкнутые пути можно выразить через разомкнутые пути, но разомкнутые пути
нельзя выразить через замкнутые пути. При замыкании одномерной линии охватывается двумерная поверхность, т.е. возникает новое измерение. При замыкании двумерных путей необходимо охватить трехмерный объем, и т.д.
Двойственные сети взаимно дополняют друг друга. Замкнутому пути в одной сети соответствует разомкнутый путь в двойственной сети, и наоборот. При соединении и разделении границ
ветвей замкнутые пути размыкаются, разомкнутые пути замыкаются, меняется размерность их пространств. Сумма размерности пространств замкнутых путей и разомкнутых путей в двойственных сетях постоянна при любых соединениях ветвей.
18
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Двойственность замкнутых и открытых систем связана с величинами воздействия и отклика. Процессы возникают как потоки-отклики на приложенные воздействия в материи элементов. Это могут быть потоки энергии, информации. В замкнутых
системах (базисом являются замкнутые пути) воздействие измеряется как разность значений в двух точках, а отклик измеряется в одной точке. В открытых системах (базисом являются
разомкнутые пути) величины откликов и воздействий меняются местами. Например, в контурах электрической цепи воздействием является напряжение (разность потенциалов), а откликом – ток. Для внешних источников тока откликом является
напряжение на разомкнутых путях. Открытость и замкнутость
систем определяется размерностью базисов замкнутых и разомкнутых путей.
Отклики в ветвях сети на внешние воздействия (в открытых путях) и на внутренние воздействия (в замкнутых путях)
независимы, поскольку ортогональны их матрицы преобразования. Свойства независимости двойственных потоков позволяют применять сети для моделирования сложных систем.
1.4. Тензоры вгеометрии
Геометрия возникла из необходимости измерения участков
земли. Построению геометрии посвящен главный труд Евклида – «Начала», написанный около 300 г. до н.э., который стал
итогом трехсотлетнего развития античной математики. Для доказательства теорем использовались геометрические чертежи,
на которых при проведении вспомогательных линий неявная
истина становится очевидной. Со времен Р. Декарта, который
в 1637 г. предложил метод координат, используется арифметизация пространства, когда каждой точке сопоставляется тройка
чисел. Геометрические объекты стали описывать не чертежами, а алгебраическими выражениями. В аналитическом методе
можно рассматривать объекты, которые нельзя наглядно изобразить, например объекты многомерного пространства.
Объект можно описать набором чисел, его компонентами
в одной системе координат или в другой системе координат.
Возникает обратная проблема – соответствия разных наборов
чисел, алгебраических выражений одному геометрическому
ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем
19
объекту. Различные численные описания могут соответствовать одному объекту, но в разных системах координат. Или
разные численные описания могут соответствовать изменению
положения одного объекта в одной системе координат. В первом случае можно говорить о движении системы координат,
т.е. объект неподвижен, а его компоненты меняются в результате движения, преобразования системы координат. Это пассивная точка зрения на преобразование координат. Во втором
случае система координат неподвижна, а компоненты объекта меняются в результате его движения. Это активная точка
зрения на преобразование координат. Обе точки зрения равноправны. Пассивная точка зрения используется для определения соответствия разных наборов координат одному, инвариантному объекту в тензорном анализе.
Тензор (от лат. tensus – напряженный) определяется как
объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы
одного линейного пространства в элементы другого. Скаляры, векторы, билинейные формы и другие объекты являются
частными случаями тензоров. Тензоры задают в каждой точке пространства набором чисел – компонент в заданной системе координат. Значения компонент меняются при переходе
от точки к точке. «Точками» могут быть элементы различной
природы, определяемые числами – координатами этих точек.
Система координат определяет компоненты объекта в пространстве. «При построении векторного исчисления стараются
координатную систему уничтожить совсем, сопоставляя каждому вектору отрезок в пространстве, что дает возможность
определить различные операции с векторами чисто геометрическим образом. …При изучении более сложных объектов мы
уже теряем возможность простого наглядного представлении
их… поэтому мы опять вводим координатные системы» [11,
с. 345]. При изменении выбора координат компоненты объекта меняются, однако сам объект не меняется, т.е. его измеряемая величина остается постоянной. Например, вектор задают
разными компонентами в одной системе координат или в другой системе координат, но величина вектора (обычно говорят о
квадрате величины) остается постоянной, инвариантной. Для
того чтобы определить, как меняются компоненты объекта
20
1
1 11 1
1
1
...
...
... .
n
n
n
n n nn
y cx c x
y cx cx
= ++
= ++
.
j
j ii
y Cx=
,
i
i
px=p
.
j
j
py=p
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
при изменении системы координат, надо сначала определить,
как преобразуется сама система координат.
Пусть в пространстве с размерностью n старую систему координат определяет базис линейно независимых векторов x
где i = 1, …, n, и задан базис векторов y
, где j = 1, …, n, опре-
j
i
деляющих новую систему координат. Для преобразования системы координат надо выразить векторы нового базиса через
векторы старого базиса.
Коэффициенты, с которыми векторы старого базиса xi
представляют векторы нового базиса – y
матрицы преобразования базисов C
составляют элементы
j
j
, т.е.
i
,
Произвольный вектор p (точку) представим компонентами
старого базиса x
i
где p
– компоненты произвольного вектора (точки в простран-
стве) в старом базисе.
Разложение того же самого вектора p в новом базисе y
дет иметь компоненты p
Таким образом, в базисах разных систем координат один и
тот же вектор представлен разными компонентами. Чтобы
получить закон преобразования компонент этого произвольного вектора при изменении базиса, подставим в (1.3) выражение для вектора базиса из (1.1). Тогда:
(1.1)
:
i
(1.2)
бу-
j
, т.е.:
j
(1.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]