Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( ) ( )
–.
tt
ttt t
t t t ct
= D= = D ×
11 1 1
– – –,
c ct ct c
( )
21
2 11
.
m mm
cc c c c c
i Ye Y Ye i i
α+ α α
αα
= = +D = +D
121
–1 –1 –1
– –– –
f ab abdcab CZC CZC
× D D +D D =
CZ C CZ C C Z C C Z C
mm m
= D D D +D D
CZC CZC CZC CZY ZC
( ) ( )
11 1
m mm m
–1
Чтобы получить матрицу решения Y
m
жим слева на
m
C1 и матрицу изменений структуры DC. Затем подставим вме-
C2t и справа на mC2, выраженные через матрицу
сто сокращений a, b, c, d элементов
–1 –1
( )
1 11 1
mm m
11 1
–1
1
2+
, матрицу mY′2 умно-
c
m
Z′2 их значения из (3.51),
–1
–1
произведем необходимые преобразования и получим матрицу
решения новой сети (для базиса замкнутых путей при умень-
2+
шении числа узлов). Это матрица Y
1
трицу решения первой сети Y
и матрицу изменения структу-
c
, выраженная через ма-
c
ры DC:
21
+
YYY
= +D =
cc c
=+ DD D D
Y I YZ C CZI YZ C C I ZY
( ) ( ) ( )
–1
где второе слагаемое, обозначенное как DY
, есть матрица из-
c
(3.52)
менения решения сети.
Эта формула описывает изменения в сети при наложении
связей – для базиса замкнутых путей. Студенты могут сде-
лать вывод этой формулы самостоятельно.
2+
Матрица решения новой сети Y
1
шений Y
и матрицы изменения решения DYc. Они представ-
c
равна сумме матрицы ре-
c
ляют метрические матрицы сетей. Эти матрицы не связаны с
потоками, процессами или другими объектами. То есть это
свойства самого пространства двойственных сетей.
Матрицы решения связывают воздействия и отклики. Зададим в сети воздействующие силы. Например, если вектор e
miα
задает источники напряжения (ЭДС), то токи
вой сети в соответствии с (3.52) равны
в ветвях но-
c2
(3.53)
α
122
( ) ( ) ( )
–1
21 1 1 1
– – –,
c c ct ct c
Y Y IY C CIY C CIY
+
=+ DD D D
–.
cc
Z Z ZY Z=
( )
( ) ( ) ( )
22 1 1
–1
11 1 1
– – ––
–– – – .
c c cc c c
c ct ct c
Z ZZYZZZY YZZZYZZYZ
Z Z I YZ C CZ I YZ C CI ZY Z
++
= = +D = D =
= DD D D
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Компоненты второго слагаемого в (3.53) вызваны изменением связей, заданных DC. Они изменяют компоненты вектора отклика старой сети в компоненты отклика новой сети. Таким образом, токи в ветвях новой сети равны токам в ветвях
miα
старой сети плюс дополнительные токи D
обусловленные
c1
изменением структуры сети.
Если метрика единичная (веса или сопротивления ветвей
2+
единичные, т.е. Z = Y = I), то Y
в соотношении (3.52) прини-
c
мает более простой вид:
где Y
1
= mC1t(mC
c
m
C1t)–1 mC1.
1
(3.54)
Это выражение содержит только матрицы преобразования
путей, которые представляют свойства структуры. Нет ни материи элементов, ни потоков в сети.
Расчет узловой сети при наложении связей. Матрица решения сети Z
зомкнутых путей связанной сети имеет вид Z
Матрицу решения новой сети Z
при переходе от свободных ветвей к базису ра-
c
= jAt(jAYjAt)–1 jA.
2+
для базиса разомкнутых
c
c
путей при соединении узлов получим из инварианта двойственности по формуле (2.22): Y = Y
+ YZcY. Умножим обе ча-
c
сти справа и слева на Z и перепишем это выражение в виде
Подставим в (3.55) значение Y
получим матрицу решения Z
2+
c
(3.55)
2+
из (3.52), преобразуем и
c
для разомкнутых путей сети:
Выражения слева и справа от квадратных скобок, а также
в самих квадратных скобках запишем как матрицу решения
1
сети для базиса разомкнутых путей Z
1
тить запись: Z
= Z(I – Y
c
1
Z). Отсюда следует, что
c
, что позволяет сокра-
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
–1
2 1 11 1 1
–– ,
c c c c ct ct c
Z Z Z Z Z C CZ C CZ
+
= D= D D D D
–1
21 1 1 1 1
.
c c c c ct ct c
Y Y Y Y YZ C CZ C CZ Y
+
= +D = + D D D D
21 1
– –.
cc c c c
Z Z Z YZ Z Z
+
= D= D
123
т.е. матрица решения новой сети Z
1
цу решения старой сети Z
и матрицу изменения путей DC. Эта
c
2+
выражается через матри-
c
(3.56)
формула для разомкнутых путей описывает изменения в заданной сети при наложении связей. С учетом инварианта (3.52)
можно записать
Формулу (3.56) также представим как формулу (3.52): в виде
1
суммы матрицы решения Z
= ZDYcZ, причем DYc здесь остается той же самой:
DZ
c
и матрицы изменения решения
c
(3.57)
Эта формула аналогична (3.52), но для разомкнутых путей
при соединении узлов в сети. В (3.52) знак «плюс» показывает, что метрические параметры увеличиваются с ростом числа
переменных (контуров), знак «минус» здесь показывает двойственное уменьшение этих параметров с уменьшением числа
разомкнутых путей.
В формуле (3.52) порядок матрицы решения сети равен размерности базиса контуров, а в формуле (3.57) порядок матрицы
решения равен размерности базиса разомкнутых путей. Можно
выбрать вариант расчета сети, в котором меньше переменных,
а следовательно, меньше объем вычислений.
Расчет сети при разрывании связей. При разрывании связей число независимых замкнутых путей уменьшается, а число разомкнутых путей возрастает, поскольку возрастает число
узлов. В двойственной сети разрыванию связей соответствует
наложение связей.
Нельзя получить формулы разъединения прямо по формулам
соединения, т.е. по матрицам решения при наложении связей,
1
2+
например Y
1
шения Y
входит в матрицу изменения решения DYc, а матрица
c
решения Z
= Y
c
1
входит в матрицу изменения решения DZc. Однако
c
– DYc. Дело в том, что искомая матрица ре-
c
124
( ) ( )
––
–.
cccc ct ct
= +D = + D D D ×
( ) ( )
––
–.
cccc ct ct
= +D = + D D D ×
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
разрыванию связей в данной сети соответствует соединение узлов
в двойственной сети. Тогда из формул расчета при соединениях в
двойственной сети двойственными преобразованиями можно получить формулы разъединения в заданной сети. И наоборот, по
формулам соединений в данной сети с помощью двойственных
преобразований можно получить формулы разъединения в двойственной сети.
Таким образом, поскольку разъединению в данной сети соответствует соединение в двойственной сети, то повторим все
рассуждения о выводе матриц решения при наложении связей. В результате запишем формулу (3.52) для замкнутых путей в двойственной сети, заменяя путем подчеркивания все величины на двойственные величины:
21 1 1 1
+
Y Y Y Y I YZ C CZI YZ C
×D = + D D D D
C I ZY Y YZ C CZ C CZ Y
( )
11 1 1 1
c c ct ct c
–1
Получили изменения в двойственной сети при наложении
связей – для замкнутых путей. Используем соответствие двойственных метрических величин и матриц преобразования в сети
и двойственной сети: Z = Y, C = A, DC = DA, Y
1
1
= Z
куда ясно, что Y
. Делая в (3.58) двойственные замены, по-
c
c
лучим формулу расчета матрицы решения Z
путей при разрывании связей в сети:
2– 1 1 1 1
Z Z Y Z I ZY A AY I ZY A
×D = + D D D D
A I YZ Z ZY A AY A AY Z
( ) ( )
11 1 1 1
c c ct t c
Здесь новая матрица решения Z
–1
2–
при разрывании связей
c
выражена через старую матрицу решения Z
матрицу изменения путей DA. Разрывание связей есть обратное преобразование структуры по отношению к наложению
связей, для которого матрица изменения решения для разомкнутых путей получена в (3.56). Знак «плюс» показывает, что
метрические параметры возрастают, поскольку растет число
–1
(3.58)
= Zc, а Zc = Yc, от-
c
2–
для разомкнутых
c
–1
(3.59)
1
и ортогональную
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
–1
2 11 1 1 1
c
– –.
c c ct ct c c
Z Z Z C CZ C CZ Z Z
+
= DD D D = D
( )
–1
2– 1 1 1 1
–.
c c ct ct c
Y Y Y A AY A AY= DD D D
2– 1 1 1
– – –.
c c cc c c c
Y Y Z Y Z YZ Y Y YY= D= D = D
125
переменных – разомкнутых путей, а в (3.56) их число уменьшалось. Эта формула описывает изменения в заданной сети
при разрывании связей – для разомкнутых путей.
Запишем (3.56) для разомкнутых путей в двойственной сети,
для этого заменим все величины двойственными величинами с
подчеркиванием букв:
(3.60)
Получили изменения в двойственной сети при наложении
связей для разомкнутых путей. Используем соответствие вели-
1
1
= Z
чин в заданной сети и двойственной сети: Z = Y, Y
DC = DA. Матрица решения новой двойственной сети Z
1
жается через Z
трице Z
2+
c
старой сети и матрицу изменений путей DC. Ма-
c
в двойственной сети соответствует Y
2–
в данной сети.
c
c
, C = A,
c
2+
выра-
c
Тогда, подставляя двойственные величины, получим формулу
для вычисления матрицы решения замкнутых путей при разрывании связей в сети:
(3.61)
Эту формулу представим, как в (3.57), – в виде разности ма-
1
трицы решения старой сети Y
, которая здесь точно такая же, как и в (3.59):
DZ
c
и матрицы изменений решения
c
(3.62)
Эта формула описывает изменения в заданной сети при раз-
рывании связей – для замкнутых путей. Формулы (3.61) и (3.62)
описывают обратное преобразование структуры – разрывание,
заданное матрицей DA, в отличие от соединений, которые и даны
в (3.57). Знак «минус» показывает, что метрические параметры
сети для замкнутых путей уменьшаются (не увеличиваются) при
разъединении части узлов, когда уменьшается число контуров.
Осталось получить формулы изменения решения в двой-
ственной сети при разрывании связей – для замкнутых путей, а также при разрывании связей – для разомкнутых путей.
126
( )
–1
2– 1 1 1 1 1
–– .
c c c c ct ct c
Y Y Z Y Z C CZ C CZ= D= D D D D
( )
–1
2– 1 1 1 1 1
.
c c c c ct ct c
Z Z Y Z YZ C CZ C CZ Y= +D = + D D D D
21
ccc
YYY
+
= +D
2– 1
–
cc c
YYZ= D
21
1
–
–
ccc
cc
ZZZ
Z Z YZ
+
= D=
= D
2– 1
1
ccc
cc
ZZY
Z Z ZZ
= +D =
= +D
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Подставляя двойственные величины, получим формулу вы-
2–
числения матрицы решения Y
замкнутых путей при разрыва-
c
нии связей в двойственной сети:
(3.63)
Используя двойственные замены, получим формулу расче-
2–
та матрицы решения Z
для разомкнутых путей при разрыва-
c
нии связей в двойственной сети:
(3.64)
Таким образом, получено восемь формул расчета при изменении структуры сетей – четыре для заданной сети и четыре
для двойственной сети. По две формулы при наложении связей и по две при разрывании связей. Из каждых двух – одна
для замкнутых путей, другая – для разомкнутых путей. Это
математическая основа расчета систем с переменной структурой. Все варианты расчета матриц решения двойственных
сетей при уменьшении и увеличении числа узлов для замкнутых путей и для разомкнутых путей представлены в табл. 3.1.
Формулы расчета матриц решения при изменении
структуры сети
Данная сеть Двойственная сеть
Уменьшение числа узлов
(наложение связей)
Для замкнутых путей
Матрица решения
при увеличении
числа контуров
Для разомкнутых путей
Матрица решения
при уменьшении
числа разомкнутых путей
Таблица 3.1
Увеличение числа узлов
(разрыв связей)
Матрица решения
при уменьшении
числа контуров
Матрица решения
при увеличении
числа разомкнутых путей
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
2– 1
1
–
–
cc c
cc
YYZ
Y Y YY
= D=
= D
21
ccc
YYY
+
= +D
2– 1
1
ccc
cc
ZZY
Z Y ZY
= +D =
= +D
21
1
–
–
ccc
cc
ZZZ
Z Z YZ
+
= D=
= D
11 1
– – –;
ct ct c
( )
–1
11 1
.
c c ct ct c
Z Z Y Z Z C CZ C CZD=D =D D D D
11
11 1 1
– – – –;
c ct ct c
( )
( )
–1
11 1
–1
11 1
.
c c ct ct c
ct ct c
Z Y Y Y Z C CZ C CZ
Y A AY A AY
D=D =D D D D =
=DD D D
127
Окончание табл. 3.1
Данная сеть Двойственная сеть
Увеличение числа узлов
(разрывание связей)
Для замкнутых путей
Матрица решения
при снижении
числа контуров
Для разомкнутых путей
Матрица решения
при увеличении
числа разомкнутых путей
Уменьшение числа узлов
(наложение связей)
Матрица решения
при увеличении
числа контуров
Матрица решения
при уменьшении
числа разомкнутых путей
Матрицы изменения решений в каждом случае обладают
симметричной двойственностью и представлены в соотношениях (3.52), (3.56), (3.58) – (3.61), (3.63), (3.64).
Две связанные между собой матрицы изменений при наложении связей в данной сети и разрывании связей в двойственной сети:
Y Y ZY
D=D =
cc
= DD D D
I YZ C CZI YZ C CI ZY
( ) ( ) ( )
–1
Две связанные между собой матрицы изменений при разрыва-
нии связей в данной сети и наложении связей в двойственной сети:
Y Y ZY I YZ C CZI YZ C C
D = D = D D D D×
c c ct ct
× = DD D D
IZY IZY A AYIZY A AIYZ
( ) ( ) ( ) ( )
––
( ) ( )
–1
(3.65)
(3.66)
–1
(3.67)
(3.68)
128
b6
pʹ3
pʹ1
b4
b4
b1
b6
p2 A b3
pʹ3
A–B
b5
b2
b3
B
b5
а
б
pʹ1
b1
b2
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Инвариант двойственности является основой метода расчета
сетей при любых изменениях структуры, включая декомпозицию на подсистемы и расчет по частям, а также объединение частей в решение полной сети (сетевой модели сложной системы).
3.5. Пример расчета матриц решения
приизменении структуры
Рассмотрим пример расчета сети из шести ветвей на рис. 3.8,
а, которая при соединении узлов A и B преобразуется в сеть на
рис. 3.8, б, или наоборот. Выполним расчет матрицы решения
новой сети по формулам изменения матрицы решения старой
сети. Сравним это с прямым расчетом матрицы решения сети с
новой структурой.
Рис. 3.8. Изменение структуры сети – соединение узлов:
а – исходная сеть; б – узлы A и B соединены в один узел
Сначала проведем расчет матрицы решения сети при соединении узлов, затем проведем расчет матрицы решения сети при
разделении узлов.
Направление соединения узлов показано жирным пунктиром с двумя стрелками. Другие стрелки показывают ориентации
ветвей и направления выбранных контуров, которые показаны
тонкими линиями и представлены в матрицах преобразования
1
и C2. Результатом соединения узлов становится изменение пу-
C
тей. В данном случае разомкнутый путь p
превращается в замкнутый путь p
по тем же ветвям b
и b3. Таким образом, данный путь по составу
1
в сети на рис. 3.8, б, проходя
3
в сети на рис. 3.8, а
3
ветвей остается прежним.
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
41
51
61
41
51
61
110011 1
2111 110
4000100
5000010
6000001
129
Матрицы преобразования путей, элементы которых показывают пути в исходной сети на рис. 3.8, а и сети с изменением
структуры на рис. 3.8, б, имеют следующий вид:
1 2 3 4 5 6
′
11 1 11
′
2 11 1
′
31 1
1
C
=
′
−−
−
′
′
2
C
1 2 3 4 5 6
′
11 1 11
′
2 11 1
′
31 1
=
′
−−
−
′
′
m
m
j
j
j
j
(3.69)
m
m
m
j
j
j
Пути p
и p2 были и остались замкнутыми. Можно видеть, что
1
хотя элементы матриц преобразования не изменились, но подма-
mC1
трица контуров в первой сети
увеличилась в mC2 на одну стро-
ку 3. Эта строка и представляет собой матрицу изменений DC. Путь
, который проходит по ветвям b3 и b1, преобразовался из разом-
p
3
кнутого пути в замкнутый путь. Двойная линия разделяет замкну-
–1
тые и разомкнутые пути. Матрицы А = C
1
−
C
=
1 2 3 4 5 6
′
′
− −−
′
3 10 1 1 11
− −−
′
′
имеют следующий вид:
t
−
′
130
1
1 2 3 4 5 6
110011 1
2111 110
3 10 1 1 11
4000100
5000010
6000001
11 11000
2010000
3011000
41 11100
51 1 1 0 1 0
6001001
C
−
′
−
′
− −−
′
− −−
=
′
′
′
1 1 1 1 1 3 1 141
2 1 1 1 4 1 213
′′
′′
′′
= ×=
′′
−−
( ) ( )
–1 –1
11
1 2
13 1
1 11
2 14
m mm
t
Z CC
′′
′
−
′
= =
′
−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1 2 3 4 5 6
′
−−
′
A
=
C
′
1
−
′
=
t
′
′
−−
−−
−
В двойственной сети соединениям узлов соответствуют разъ-
единения узлов.
Расчет сети при соединении узлов. Пусть метрика ветвей
единичная, Z = I, для простоты вычислений. Тогда матрицу
1
решения Y
кнутых путей: Y
вания
сети на рис. 3.8, а получим по формуле для зам-
c
1
mC1
состоит из первых двух строк матрицы C1 в (3.69).
c
= mC
1
(mC1mC
t
1
)–1 mC1, где матрица преобразо-
t
Эту матрицу получим за три шага.
1. Метрическая матрица связанной сети в этом случае получается как произведение матриц преобразования
т.е.
m
Z′ = mC1 mC
1
. Таким образом:
t
mC1
и mC
1
t
,
t
2. Обратная метрическая матрица связанной сети:
11
mm
CC
3. Матрицу решения для исходной сети получим умножением на
m
1
C
t
1 2
11
1 2 3 4 5 6 1 2
−− −
21
51
−
61 1
и mC1:
(3.70)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]