Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензор инерции. Матричные преобразования моментов инерции при повороте и переносе системы координат. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
Н.В. КРАМАРЕНКО
ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ
МАТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПОВОРОТЕ И ПЕРЕНОСЕ
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2019
УДК 531.23(075.8)
К 777
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент А.А. Рыков
канд. техн. наук, доцент Н.А. Чусовитин
Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов
для студентов II курса факультета летательных аппаратов
и механико-технологического факультета очной и заочной
формы обучения
Крамаренко Н.В.
К 777 Тензор инерции. Матричные преобразования моментов
инерции
при повороте и переносе системы координат: учебное
пособие / Н.В. Крамаренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2019. – 54 с.
ISBN 978-5-7782-3896-1
Для решения таких практически важных задач, как определение
реакций в подшипниках вращающегося неотбалансированного тела в
теоретической механике или определение главноцентральных осей
поперечного сечения сложной формы изгибаемого стержня в сопротивлении материалов, требуется знать формулы преобразования как
осевых, так и центробежных моментов инерции.
В учебном пособии формулы преобразования осевых и центробежных
ния тензора инерции. Наиболее краткой является индексная форма записи, в которой ij-й компонент тензора инерции определяется через
двойные суммы. Для студентов младших курсов машиностроительных специальностей, которые не имеют навыков работы с индексными формулами, такая форма записи непонятна для применения.
способе сохраняется универсальность доказательства формул преобразования для каждого момента инерции, а также появляется наглядность применения этих формул для практических задач.
моментов инерции рассматриваются с позиции преобразова-
учебном пособии рассматривается матричный способ. При таком
В
УДК 531.23(075.8)
ISBN 978-5-7782-3896-1 © Крамаренко Н.В., 2019
© Новосибирский государственный
технический университет, 2019
Введение .................................................................................................................. 4
1. Общие понятия .................................................................................................... 5
1.1. Какие бывают моменты масс .................................................................... 5
1.2. Какие бывают оси инерции ....................................................................... 6
1.3. Где используются моменты инерции ....................................................... 8
2. Справочные формулы ......................................................................................... 9
2.1. Двойное векторное произведение ............................................................. 9
2.2. Смешанное произведение векторов ........................................................ 12
2.3. Преобразование проекций вектора при повороте осей (связь
между проекциями вектора на оси двух прямоугольных систем
координат) ................................................................................................ 13
3. Источник тензора инерции – кинетический момент твердого тела ............. 15
4. Геометрическая интерпретация тензора инерции .......................................... 19
5. Преобразование моментов инерции при повороте осей ................................ 21
5.1. Кинетическая энергия твердого тела в исходных осях ......................... 21
5.2. Кинетическая энергия твердого тела в новых повернутых осях ......... 23
5.3. Примеры .................................................................................................... 24
Пример 1 .................................................................................................. 24
Пример 2 .................................................................................................. 26
Пример 3 .................................................................................................. 29
5.4. Обратная задача: нахождение угла поворота двух осей до их
главных направлений вокруг третьей главной оси .............................. 32
6. Преобразование моментов инерции
7. Преобразование моментов инерции при повороте и параллельном
переносе осей ................................................................................................... 41
8. Алгоритм решения задачи определения реакций в подшипниках
вращающегося тела ......................................................................................... 42
9. Алгоритм решения задачи определения главноцентральных осей по-
перечного сечения стержня............................................................................. 47
10. Таблицы моментов инерции .......................................................................... 48
Библиографический список ................................................................................. 53
ОГЛАВЛЕНИЕ
при параллельном переносе осей ....... 36
ВВЕДЕНИЕ
Студенты младших курсов сталкиваются с понятием моментов
инерции в теоретической механике и в сопротивлении материалов.
При решении простейших задач достаточно осевых моментов инерции
и формулы Гюйгенса–Штейнера для их простейших преобразований
при параллельном переносе осей координат.
Однако для решения таких практически важных задач, как определение реакций в подшипниках вращающегося неотбалансированного
тела в теоретической механике или определение главноцентральных
осей поперечного сечения сложной формы изгибаемого стержня в сопротивлении материалов, необходимо знать формулы преобразования
не только осевых, но и центробежных моментов инерции.
Такие формулы можно вывести различными способами.
Первый способ опирается на физическое определение каждого момента инерции как интеграла от массы,
щие координаты. При таком подходе формулы преобразования для
каждого осевого или центробежного момента инерции выводятся независимо и доказательства становятся настолько громоздкими, что их
невозможно вставить в современные часовые рамки преподавания соответствующих курсов. Такой подход используется в учебниках [1–3].
Второй способ опирается на понятие тензора инерции. В этом
чае любой момент инерции представляется в виде типового, который
зависит от i- и j-координат, и тогда формулы преобразования становятся универсальными как для осевых, так и для центробежных моментов
инерции. При таком подходе также возможны два способа изложения.
1. Можно вывод формул проводить в индексной форме с использо-
ванием
двойных сумм по индексам. Такой способ наиболее компактен
для изложения, но непонятен для применения, поскольку студенты
младших курсов машиностроительных специальностей не имеют
навыков работы с индексными формулами.
2. Другой способ – матричный. При таком способе сохраняется
универсальность доказательства формул преобразования для каждого
момента инерции, а также появляется наглядность применения этих
формул для
практических задач.
умноженной на соответствую-
слу-
4
М
y
x
x
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
1.1. КАКИЕ БЫВАЮТ МОМЕНТЫ МАСС [1]
При движении системы материальных точек большую роль играют
величины, характеризующие распределение масс точек. Называют эти
величины моментами масс и определяют как суммы произведений
масс точек системы на однородную функцию их координат:
mx y z
kk
l
где
точки, оси или плоскости. Для наших задач нужны моменты относи-
тельно осей.
Момент нулевой степени дает полную массу системы точек:
Моменты первой степени называют статическими моментами
масс точек. Для плоских тел, лежащих в плоскости xy, получаем статические моменты относительно осей x, y:
– степень момента. Моменты вычисляют относительно
000
mxyz m
kkkk k
,
kk
.
Smxyzmx
Моменты второй степени
называют соответственно осевым моментом инерции системы относительно оси z и центробежным моментом инерции относительно
осей x, y. Название «центробежный» объясняется тем, что такие мо-
менты инерции появляются в уравнениях для динамических реакций в
подшипниках вращающегося тела от центробежных сил инерции.
100
kkkk kk
Imhmxy
zkk kkk
222
,
5
Smxyzmy
Imxy
,
010
kkkk kk
ykkk
.
1.2. КАКИЕ БЫВАЮТ ОСИ ИНЕРЦИИ
x
J
y
J
x
J
y
J
x
J
y
J
М
х
М
х
x
J
Если центр тяжести тела лежит на оси z, то такая ось называется
центральной.
Если для оси z центробежные моменты инерции
и
z
равны
z
нулю, то такая ось называется главной.
Если центр тяжести тела лежит на оси z и центробежные моменты
инерции
и
z
равны нулю, то такая ось называется главноцен-
z
тральной.
Центробежные моменты инерции равны нулю в двух случаях: когда тело имеет либо плоскость материальной симметрии, либо ось материальной симметрии. Эти ситуации отражены в следующих двух
теоремах.
ТЕОРЕМА 1. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости
, является главной осью инерции тела в точке пересечения прямой с
плоскостью симметрии.
Доказательство [1, с. 325]. Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии Р (рис. 1.1). Проведем ось Oz перпендикулярно
этой плоскости Р, точка О – точка пересечения оси Oz и плоскости Р.
Проведем взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, лежащие в плоско
сти Р. Докажем, что центробежные моменты инерции
и
z
рав-
z
ны нулю.
Так как плоскость Р есть плоскость материальной симметрии тела,
то для каждой материальной точки
,)(,
тами
(, , .)
kk k
у z
kkk
у z
найдется точка
Тогда центробежный момент инерции
тела с массой
k
равной массы с координатами
k
m
и координа-
k
равен нулю:
z
-
Imxzmxzmxz
xz kkk kkk kk k
(I) (II)
Аналогично можно доказать, что
J
yz
()0
0.
Следовательно, ось Oz
.
является главной осью инерции тела в точке О. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2. Если тело имеет ось материальной симметрии, то
эта ось является главной центральной осью инерции этого тела.
Доказательство [1, с. 324]. Пусть ось Oz – это ось материальной симметрии тела, тогда центр масс С лежит на этой оси (рис. 1.2).
6
Проведем через центр масс С две перпендикулярные между собой и
x
J
М
М
х
х
NN
х
x
x
J
перпендикулярные оси Cz оси Сх и Су. Докажем, что центробежный
момент
Всегда можно найти материальные точки тела
массами
Координаты этих точек соответственно
Для точек
(, , и ()), , .
kk kkkk
равен нулю.
z
, ,
mm
симметрично расположенные относительно оси Cz.
kk
и
kk
с равными массами
у z хуz
Тогда
,)(,
у z
kkk
,
mm
соответственно имеем
kk
k
и
и
kkk
с равными
k
, , .
у z
Imxzmxzmxz
zkkkkkk kkk
(I) (II)
()
mxz m x z
kkk k k k
(III) (IV)
' ( ) ... 0,
где I, II, III и IV – соответственные части тела. (Аналогично записываются суммы для точек, лежащих ниже плоскости Сху.)
Рис. 1.1 [1, рис. 14.24] Рис. 1.2 [1, рис. 14.23]
0.
Можно также доказать, что
Итак, центробежные моменты
J
yz
и
J
zyz
равны нулю, следова-
тельно, ось Cz является главной центральной осью инерции тела. Теорема доказана.
7
Замечание 1. Центр масс тела С лежит в плоскости материальной
симметрии, значит, ось Cz является главной центральной осью инерции тела.
Замечание 2. Если тело однородно, то плоскость или ось материальной симметрии является просто плоскостью или осью геометрической симметрии.
1.3. ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Во-первых, моменты инерции появляются в теоретической механике в задачах динамики вращающихся тел. Для осесимметричных тел
или тел с плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения,
достаточно только осевых моментов инерции. Если же вращающееся
тело имеет произвольную форму, то в таких задачах используются как
осевые, так и центробежные моменты инерции. Например, при
расчете
динамических реакций в подшипниках А и В для случая вращения цилиндра, показанного на рис. 1.3, необходимо знать осевой момент
инерции вокруг оси z, а также центробежные моменты инерции в
осях zx и zy.
Рис. 1.3 [4] Рис. 1.4 [8]
Во-вторых, моменты инерции появляются в сопротивлении мате-
риалов при определении главноцентральных осей поперечного сечения
8
стержня (рис. 1.4). Для расчета изгибаемого стержня на прочность тре-
x
x
B
B
x
B
буется сначала определить центр тяжести поперечного сечения С, за-
, ,
тем найти моменты инерции
III
находится угол наклона главных осей
моменты инерции в главных осях. Новые оси
в центральных осях Cxy. Далее
yxy
,Cx y
а затем определяются
00
Cx y
– центральные и
00
главные, т. е. главноцентральные.
2. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
2.1. ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
()()()ABC BACCAB
(2.1)
Доказательство [1, с. 22]. Сначала рассмотрим скобку
ijk
BC B B B
()
iBC BC jBC BC kBC BC
()()().
yz zy zx xz xy yx
xyz
CCC
xyz
Обозначим для краткости проекции в скобках:
BC B C B C
(),
yz zy
CBCBC
(),
yzxxz
CBCBC
().
zxyyx
Тогда
()()()()
CiBCjBC k BC
yz
.
9
Вернемся к полному векторному произведению
ijk
А BC A A A
()
i A BC A BC j A BC A BC k A BC A BC
()()().
yz z y zx xz xy yx
xyz
BC BC BC
xyz
Распишем проекции от BC:
()
А BC
(( ) ( ))
iA BC BC ABC BC
yxy yx zzx xz
(( ) ( ))
jA BC BC A BC BC
zyz zy xxy yx
( ( ) ( )).
kA BC BC A BC BC
xzx xz y yz zy
Раскроем скобки:
()
А BC
(( ) ( ))
iBAC ABC ABC BAC
xyy yyx zzx xzz
(( ) ( ))
jBAC ABC ABC BAC
yzz zzy xxy yxx
(( ) ( )).
kBAC ABC ABC BAC
zxx xxz yyz zy y
Из первых и четвертых слагаемых вынесем компоненты вектора В, а из
вторых и третьих – компоненты вектора С:
()
А BC
(( ) ( ))
iB AC AC C AB AB
xyy zz xyy zz
(( ) ( ))
jB AC AC C AB AB
yzz xx yzz xx
( ( ) ( )).
kB AC AC C AB AB
zxx yy zxx yy
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]