Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензор инерции. Матричные преобразования моментов инерции при повороте и переносе системы координат. Учебное пособие
.pdf
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ
5.1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ИСХОДНЫХ ОСЯХ
1
При сферическом движении твердого тела скорость произвольной
точки определяется формулой Эйлера
Кинетическую энергию твердого тела с учетом последнего выра-
жения можно записать в следующем виде:
TJ
T
2
vr
kk
[]
[1, с. 384]
. (5.1)
.
11 1
Tmv mvv mv r
22 2
Используем круговую подстановку смешанного произведения век-
торов (2.2):
1111
Tmv r rmv rmv K
2222
Здесь
– главный момент количеств движения системы относительно неподвижной точки
kk k k kk k kk
О, который можно записать в виде (3.1)
2
kk k k k kk k
()()ABC BC A .
Krmv
0 kkk
KJ
21
.
()
.
.
0
Тогда кинетическую энергию твердого тела при сферическом дви-
x
x
жении можно представить в векторном виде:
11
TK J
,
o
22
от которого перейдем к матричному виду (5.1):
1
TJ
Распишем произведения матриц:
1
TIII
()
xxx xyy xzz
2
()
yyxxyyyzz
T
2
III
[]
[]
.
Здесь
, ,...,
II I
yyz
– осевые и центробежные моменты инерции твер-
III
().
zzxxzyyzz
дого тела в системе координат Oxyz. Видно, что кинетическая энергия
составляет квадратичную форму относительно угловых скоростей.
Частный случай 1. Если оси системы координат Oxyz направить по
главным осям инерции тела для точки О, то центробежные моменты
инерции обнулятся и кинетическая энергия запишется в более простом
виде:
1
TI I I
222
.
xyyzz
2
Частный случай 2. Если вращение происходит вокруг главной
оси z, то кинетическая энергия принимает простейший вид:
2
I
1
TI
zz
22
22
2
zz
.
5.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
B
x
X
J
В НОВЫХ ПОВЕРНУТЫХ ОСЯХ
В старой системе координат xyz тело имело вектор угловой скоро-
сти
вектор угловой скорости
. После поворота в новой системе координат XYZ тело имеет
, который будет определяться как новый
вектор в соответствии с формулами (2.3)
[] []
Ab b A B
[] []
AA
T
T
,
.
Матрицу (тензор) инерции в старых осях xyz обозначим
Распишем кинетическую энергию:
11
TJ AJA
11
22
T
[] ([])[][]
22
TTT T T T
AJA AJA
([]) [ ][] [][ ][] .
xyz xyz
xyz xyz
TT T
В новых осях кинетическая энергия имеет такой же вид:
1
T
.
[]
2
XYZ
Здесь через
[]
J
обозначена матрица, т. е. тензор инерции в новых
YZ
TJ
осях XYZ, который найдем, сравнивая последние формулы:
[][][][]
XYZ xyz
AJ A
T
. (5.2)
[.]
J
yz
По этой формуле можно вычислить осевые и центробежные моменты инерции при повороте координатных осей.
Замечание 1. Обычно при решении практических задач в качестве
исходных осей выбирают главноцентральные оси. В этом случае цен-
23
тробежные моменты инерции будут нулевыми. Обозначим этот тензор
J
J
J
[]:
инерции через
J
0
C
JJ I
xyz C y
0
00
I
x
00
00
.
I
z
.
[]
:
C
Тензор инерции в повернутых центральных осях обозначим через
[ ] [ ] [][ ][] [][ ][]
XYZ С xyz С
JAJAAJA
TT
0
В результате формулу поворота (5.2) получаем в следующем виде:
[ ] [][ ][]
AJ A
СС
T
0
. (5.3)
5.3. ПРИМЕРЫ
В учебниках [1–3] приведены примеры для некоторых частных
случаев преобразования моментов инерции. Каждый раз вывод этих
формул производится путем громоздких преобразований. Покажем,
как эти формулы легко получаются через общую матричную формулу (5.2).
Пример 1
В учебнике А.А. Яблонского [3, с. 117] выведена формула для осевого момента инерции относительно произвольной оси (рис. 5.1),
, ,
направленной под углами
к главным осям xyz:
II I I
222
cos cos cos
xyz
. (5.4)
Выведем ту же формулу матричным произведением через тензор
инерции.
24
Исходные оси Cxyz – главные, т. е. центробежные моменты инер-
x
X
ции нулевые и тензор инерции имеет вид диагональной матрицы:
III
xxyxz
[] 0 0
JIII I
xyz xy y yz y
III I
zyzz z
I
x
00
00
.
Новая система координат
YZ XY
(на рис. 5.1 оси X, Y не показаны) будет давать следующую матрицу направляющих косинусов по
формуле (2.4):
aaa
11 12 13
[]
Aaa a
cos( , ) cos( , ) cos( , )
xX yX zX
cos( , ) cos( , ) cos( , )
xY yY zY
cos( , ) cos( , ) cos( , )
xyz
21 22 23
aaa
31 32 33
aaa
11 12 13
aaa
21 22 23
cos cos cos
.
Рис. 5.1 [3, с.117, рис. 94]
Здесь первые две строки матрицы не определены.
Тогда по формуле (5.2) тензор инерции в новых осях
[][][][][]
JJAJA
XYZ XY xyz
T
aaa I aa
11 12 13 11 21
aaa I aa
21 22 23 12 22
cos cos cos cos
00 cos
x
00 cos
y
00
25
I
z
aa
13 23
aaa IaIaI
11 12 13 11 21
aaa IaIaI
21 22 23 12 22
cos cos cos
xxx
yy y
Ia Ia I
13 23
zz z
cos
cos
cos
XXYX
III
XY Y Y
III
XY
.
III
Из всех моментов инерции нам нужен в этом примере только последний
,I
который определится умножением третьей строки на третий
столбец:
cos cos cos cos cos cos
II I I
xyz
222
cos cos cos .
III
xyz
В результате получили такое же выражение (5.4), как и в [3].
Пример 2
В учебнике коллектива авторов под редакцией К.С. Колесникова
[1, с. 317], а также в учебнике А.А. Яблонского [3, с. 117] выведена
формула для осевого момента инерции относительно произвольной
, ,
оси, направленной под углами
к неглавным осям xyz. Вывод
основан на базовой формуле (рис. 5.2)
ii
2
,
Imh
из которой получено
222
II I I I
cos cos cos 2 cos cos
xyz yz
(5.5)
2 cos cos 2 cos cos .
II
xz xy
26
Выведем ту же формулу матричным способом через тензор инерции.
x
x
x
J
X
O
Рис. 5.2 [3, рис. 85]
Старые оси Оxyz – не главные, т. е. центробежные моменты инерции ненулевые и тензор инерции имеет вид
.
(на рис. 5.2 оси X, Y не по-
[]
yz xy y yz
Новая система координат
III
xy xz
II I
III
zyzz
YZ XY
казаны) будет давать следующую матрицу направляющих косинусов
по формуле (2.4):
aaa xX yX zX
11 12 13
[ ] cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
Aaa a xY yY zY
21 22 23
aaa x y z
31 32 33
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
cos(,) cos(,) cos(,)
aaa
11 12 13
aaa
21 22 23
cos cos cos
.
Здесь первые две строки матрицы не определены.
27
Запишем тензор инерции в новых повернутых осях по формуле (5.2):
[ ] [ ] [][ ][]
JJAJA
aaa aa
11 12 13 11 21
aaa II Iaa
21 22 23 12 22
cos cos cos cos
XYZ XY xyz
III
xxyxz
xy y yz
III
xz yz z
T
aa
13 23
cos
cos .
Вначале умножим вторую матрицу на третью и обозначим результат через матрицу [В]:
III
xxyxz
[] cos
BII Iaa bbb
xy y yz
III
xz yz z
aa bbb
11 21 11 12 13
12 22 21 22 23
aa bbb
13 23 31 32 33
cos
cos
.
Элементы матрицы [В] имеют вид
bIaIaIa b IaIa Ia
11 11 12 13 12 21 22 23
x xy xz x xy xz
b Ia Ia Ia b Ia Ia Ia
21 11 12 13 22 21 22 23
bIaIaIabIaIaIa
31 11 12 13 32 21 22 23
xy y yz xy y yz
xz yz z xz yz z
bI I I
13
xxyxz
,,
,,
,,
cos cos cos ,
bI I I
23
bI I I
33
cos cos cos ,
xy y yz
cos cos cos .
xz yz z
Тогда тензор инерции принимает вид
[][][][]
JJAB
aaabbb I I I
11 12 13 11 12 13
aaa bbb I I I
21 22 23 21 22 23
cos cos cos
XYZ XY
bbb I I I
31 32 33
28
XXYX
XY Y Y
XY
.
Из всех моментов инерции нам нужен в этом примере только по-
J
следний
,
который определится умножением третьей строки на тре-
тий столбец:
cos ( ) cos ( ) cos ( )
Ib b b
13 23 33
cos ( cos cos cos )
II I
xxyxz
cos ( cos cos cos )
III
xy y yz
cos ( cos cos cos ).
III
xz yz z
После приведения подобных получим
222
II I I I
cos cos cos 2 cos cos
xyz yz
2 cos cos 2 cos cos .
II
xz xy
В результате получили такое же выражение (5.5), как и в учебниках [1, 3].
Пример 3
В учебнике Л.Г. Лойцянского и А.И. Лурье [2] выведены формулы
для осевых и центробежных моментов инерции при повороте двух
главных осей на угол
22 2 2
II I II II I
cos sin , , sin cos ,
13 213
XYZ
вокруг третьей главной оси (рис. 5.3 и 5.4):
1
III
XZ
()sin2.
31
2
(5.6)
Выведем те же формулы через тензор инерции.
29
Воспользуемся рассуждениями, приведенными в [2, с. 292]: «Пусть
x
y
x
I
обозначает аксиальный момент инерции (т. е. вокруг оси симмет-
3
z
рии
, см. рис. 5.3 и 5.4), a
1
ции (т. е. вокруг осей
симметрии
.Oz
Выразим через них осевые и центробежные моменты
1
II
12
и )
y
11
однородного тела вращения с осью
– экваториальные моменты инер-
в системе осей Oxyz, получающейся при повороте системы главных
осей инерции
Ox y z
111
на угол вокруг главной оси
».Оу
1
z
z
1
x
1
y
1
Рис. 5.3 [2, рис. 349] Рис. 5.4
В наших обозначениях исходные оси с малыми буквами Oxyz, ко-
,Ox y z
торые на рис. 5.3 и 5.4 обозначены
являются главными, т. е.
111
центробежные моменты инерции нулевые, и поэтому тензор инерции
имеет диагональный вид:
III
xxyxz
[] 0 0 0 0
JIII I I
xyz xy y yz y
III I
xz yz z z
00 00
II
x
00
30
1
2
00
.
I
3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]