Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензор инерции. Матричные преобразования моментов инерции при повороте и переносе системы координат. Учебное пособие
.pdf
Новая система координат с большими буквами ОXYZ, которые на
рис. 5.3 и 5.4 обозначены Oxyz, будет давать следующую матрицу
направляющих косинусов:
aaa xx yx zx
11 12 13 1 1 1
[ ] cos( , ) cos( , ) cos( , )
Aaa a xy yy zy
21 22 23 1 1 1
aaa xz yz zz
31 32 33 1 1 1
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
cos 0 cos (90 ) cos 0 sin
cos (90 ) 0 cos sin 0 cos
010 010
.
Тогда тензор инерции в новых осях ОXYZ, на чертеже Oxyz, находится по формуле (5.2)
[ ] [][ ][]
JAJA
XYZ xyz
T
cos 0 sin 0 0 cos 0 sin
01 0 0 0 0 10.
sin 0 cos 0 0 sin 0 cos
I
1
I
2
I
3
Сначала выполним умножение справа, а затем слева:
cos 0 sin cos 0 sin
[]010 0 0
JI
XYZ
II I I
sincos sincos 0 sin cos
II II
13 13
sin 0 cos sin 0 cos
22
cos sin 0 sin cos sin cos
13 1 3
00
III
XXYXZ
III
XY Y YZ
II
XZ Y
II
11
II
33
I
2
2
22
.
I
ZZ
31
Отсюда находим как осевые, так и центробежные моменты инер-
x
x
x
ции в новых осях:
22
II I II
II I
cos sin , ,
XY
13 2
22
sin cos ,
Z
13
II I
XZ
II II
()sincos()sin2,
I
YZ
I
XY
sincos sincos
13
1
31 31
0,
0.
2
(5.7)
В результате получили такие же выражения (5.6), как и в учебнике [2].
5.4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА: НАХОЖДЕНИЕ УГЛА ПОВОРОТА
ДВУХ ОСЕЙ ДО ИХ ГЛАВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
ВОКРУГ ТРЕТЬЕЙ ГЛАВНОЙ ОСИ
Пусть для тела известны все моменты инерции в старых централь-
,Оxyz
ных осях Оxyz, которые на рис. 5.5 и 5.6 обозначены
одна ось
y
является главной. Тогда исходный тензор инерции имеет
1
111
причем
вид
III
xxyxz
[] 0 0
JIII I
xyz xy y yz y
III I I
zyzz xz z
II
0
xz
.
0
z
Необходимо найти угол поворота двух других осей
11
до их
главного положения Оxyz.
32
x
С
z
x
z
1
x
1
x
1
O
y
1
y
Рис. 5.5 Рис. 5.6
y
1
z
y
Новая система координат с большими буквами ОXYZ, на рисунках
Оxyz, будет давать следующую матрицу направляющих косинусов:
xX yX zX
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
AxYyYzY
[ ] cos( , ) cos( , ) cos( , )
xZ yZ zZ
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
xx yx zx
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
111
xy yy zy
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
111
xz yz zz
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
111
z
1
cos 0 cos (90 )
010
s (90 ) 0 cos sin 0 cos
co
cos 0 sin
01 0.
Тогда тензор инерции в новых осях ОXYZ, на рисунках Оxyz, при-
мет вид
[ ] [][ ][]
JAJA
XYZ xyz
33
T
cos 0 sin 0 cos 0 sin
X
01 0 0 0 0 10 .
sin 0 cos sin 0 cos
II
xxz
I
y
0
II
xz z
Сначала выполним умножение справа, а затем слева:
cos 0 sin 0
[]010 0 0
JI
XYZ y
sin 0 cos
bb
11 13
0
bb
31 33
cos sin 0 cos sin
bb bbIII
11 31 13 33
00 .
sin cos 0 sin cos
bb bb
11 31 13 33
IIII
yXYYYZ
III
XZ YZ Z
XY XZ
Здесь обозначено:
bI I bI I
11 13
cos sin , sin cos ,
xxz xxz
bI I bI I
31 33
cos sin , sin cos .
xz z xz z
После всех подстановок путем сравнения находим
cos sin cos ( cos sin )
Ibb II
Xxxz
sin ( cos sin ) cos 2 sin cos sin
III I I
xz z x xz z
11 31
22
22
cos sin 2 sin cos ,
II I
xz xz
34
XZ x xz
13 33
cos sin cos ( sin cos )
IbbII
sin ( sin cos )
sincos cos sin sincos
IIII
xxzxzz
()sincos(sincos),
II I
xz xz
sin cos sin ( sin cos )
Ib b II
Zxxz
cos ( sin cos ) sin cos 2 cos sin ,
II I I I
xz z x z xz
13 33
0, , 0.
IIII
XY Y y YZ
II
xz z
22
22
22
Учитывая тригонометрические формулы преобразования
2sin cos sin2 ,
22
cos sin cos 2 ,
найдем
22
II I I
Xx z xz
II I I
Zx z xz
cos sin sin 2 ,
22
sin cos sin 2 ,
sin 2
III I
XZ z x xz
IIII
XY Y y YZ
() cos2,
2
0, 0.
,
35
Для того чтобы новые оси XYZ были главными, центробежный мо-
X
x
x
x
x
J
I
мент инерции
должен равняться нулю:
Z
III I
() cos20
XZ z x xz
sin 2
.
2
Последнее уравнение умножим на 2 и поделим на
II I
() 20,
zx xz
II I
()tg220.
sin 2
cos 2
zx xz
cos 2
:
Окончательно получим
2
I
tg 2
Из этой формулы находится угол
xz
()
II
. (5.8)
z
, на который нужно повернуть
оси, чтобы они стали главными.
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ
Пусть произвольное несимметричное тело вращается вокруг
.z
оси
В старых осях xyz, которые на рисунке обозначены
2
1111
тело имеет известные моменты инерции, образующие полный тензор
инерции:
,Oxyz
III
xy xz
[]
yz xy y yz
II I
III
zyzz
.
Найдем все моменты инерции в новых осях XYZ, которые на ри-
сунке обозначены
Oxyz
2222
.
36
z
x
x
2
z
1
dm
y
O
1
O
2
x
1
b
x
2
e
d
z
a
1
y
2
Новые координаты произвольной точки dm:
,,
xa y yb z ze
Здесь a, b, e – координаты центра
бежные моменты инерции в новых осях имеют следующий вид:
Iyzdmybzedm
x
211
22 22
y z dm b y dm e z dm b e dm
11 1 1
Ixzdmxazedm
y
211
22 22
11 1 1
21 21 21
О
в новых осях. Осевые и центро-
1
22 2 2
22
22();
22 2 2
22
zdm axdm ezdm a e dm
22();
()()
()()
37
. (6.1)
Ixydmxaybdm
x
x
x
x
x
x
z
211
22 2 2
22
22 22
ydm axdm bydm a b dm
11 1 1
22();
()()
Ixydmxaybdm
22 1 1
xy
Iyzdmybzedm
Ixzdmxazedm
Учтем, что дистанции между осями (см. рисунок) находятся как
и в соответствии с теоремой Вариньона о моменте равнодействующей
имеем
222 222 2 22
(), (), ( )
dbe dae dab
xyz
22
ydm a ydm bxdm abdm
11 1 1
22 1 1
yz
xz
22
y z dm b z dm e y dm be dm
11 1 1
22 1 1
22
zdmazdmexdmaedm
11 1 1
()()
()()
()()
;
;
;
, (6.2)
Здесь М – суммарная масса тела;
тяжести в старых осях;
параллельными осями.
dm x M y dm y M z dm z M
11 1 1 11
,,
CCC
, ,
, ,
ddd
yz
38
yz
111
CCC
– дистанции (расстояния) между
– координаты центра
. (6.2)
Тогда осевые и центробежные моменты инерции примут следую-
щий вид:
II byMezMdM
xx C C x
21 1 1
II axMezMdM
yy C C y
21 1 1
II axMbyMdM
zz C C z
21 1 1
I I ay M bx M abM
22 11 1 1
xy xy C C
I I bz M ey M beM
22 11 1 1
yz yz C C
I I az M ex M aeM
22 11 1 1
xz xz C C
22 ,
22 ,
22 .
Обычно в качестве исходной выбирается
О
ординат, т. е. начало
совпадает с центром тяжести тела С. В этом
1
2
2
2
,
,
.
центральная система ко-
случае
0, 0, 0
xyz
111
CCC
и формулы упрощаются: осевые моменты инерции находятся по теореме Гюйгенса–Штейнера, а центробежные моменты инерции определяются с учетом положения центра тяжести в новой системе координат:
I I dM I I dM I I dM
21 21 21
xxx yyy zzz
IIabMIIbeMIIaeM
22 11 22 11 22 11
xy xy yz yz xz xz
ax by ez
222
CCC
222
,,,
,,,
,,.
39
(6.4)
Представим последние формулы в матричном виде
x
J
J
II I
III
xy y yz
II I
xz yz z
22222
xxyxz
22 2 22
22 22 2
2
dabae
II I
IIIMabdbe
II I
11111
xxyxz
11 1 11
xy y yz y
11 11 1
xz yz z
Обозначим искомую матрицу в удаленных осях
[,]DJ
матрицу в исходных осях
Cx y z
111
– через
x
2
ae be d
[]
.
2
z
yz
через
222
(центральный
С
тензор инерции), третью матрицу – через [D] (матрица дистанций):
II I
[] ,
JI I I
Dxyy yz
II I
xz yz z
II I
[ ] , .
Cxyy yz y
III Dabdbe
III
11111
xxyxz
11 1 11
11 11 1
xz yz z
22222
xxyxz
22 2 22
22 22 2
2
dabae
x
ae be d
2
2
z
(6.5)
Тогда получим матричную форму записи предыдущих формул:
JJМD
DC
. (6.6)
Тензор инерции твердого тела относительно удаленных параллельных осей равен тензору инерции в центральных осях плюс
масса тела, умноженная на матрицу дистанций
.
Получили полную аналогию с теоремой Гюйгенса–Штейнера.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]