Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензор инерции. Матричные преобразования моментов инерции при повороте и переносе системы координат. Учебное пособие
.pdf
7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
J
ПРИ ПОВОРОТЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОМ
ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ
Введем следующие обозначения:
Cx y z
Cx y z
Оxyz
ленных осях примут вид
– исходные главноцентральные оси;
000
– повернутые центральные оси;
111
– удаленные оси, параллельные осям
222
Cx y z
111
.
Тогда тензоры инерции в главноцентральных и повернутых уда-
JI JIII
00 22222
Cy Dxyyyz
00
I
0
x
00,[]
00
IIII
022222
zxzyzz
II I
22222
xxyxz
. (7.1)
Матрицы поворота и дистанций запишутся в виде
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
xx yx zx
[ ] cos ( , ) cos ( , ) cos ( , ) ,
Axyyyzy
01 01 01
01 01 01
cos( , ) cos( , ) cos( , )
xz yz zz
01 01 01
2
dabae
x
Dabdbe by
ae be d
2
yC
2
z
ax
C
2
,
2
ez
2
C
(7.2)
Учитывая матрицы (7.1) и (7.2), объединим формулы (5.3) и (6.6)
в одну:
[][][ ][] []
AJ A MD
D С
T
0
. (7.3)
Получили единую формулу для преобразования моментов инерции
при повороте и параллельном переносе осей из главноцентрального в
произвольное положение.
41
8. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ В ПОДШИПНИКАХ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Рассмотрим пример из сборника заданий по теоретической механике под редакцией А.А. Яблонского [4, задание Д17]. Пусть тело в виде
сплошного цилиндра (рис. 8.1) вращается вокруг вертикальной оси z.
Для определения реакций в подшипниках А и В необходимо знать мо-
, ,
менты инерции
текающему из итоговой формулы (7.3).
1. Выбираем главноцентральную систему координат
С
, в которой моменты инерции цилиндра известны из таблиц, и
находим осевые моменты, при этом центробежные моменты инерции
нулевые:
II I
zzxzy
. Найдем их по следующему алгоритму, вы-
Cx y z
000
1
.
Imr II rh III
222
,(3), 0
212
m
Если тело вращения составное, например, в цилиндре содержится
пустота в виде конуса (рис. 8.2), то сначала определяются моменты
инерции сплошного цилиндра в осях
С
2222
, затем определяется общий центр тяжести С с осями
С
1111
и конуса в осях
С
и вычисляются моменты инерции составного тела в этих осях по формулам преобразований (6.6) при параллельном переносе осей.
[]
В результате находим исходный тензор инерции
J
0
C
в главно-
центральных осях:
III I
JJ III I
0
С
III I
00
00
00
. (8.1)
Таблицы главноцентральных моментов инерции приведены в разделе 10.
42
Рис. 8.1 Рис. 8.2
J
2. Поворачиваем старую систему координат
обозначено
находим тензор инерции
С , вокруг оси С на угол
[]
по формуле (5.3):
C
[][][ ][]
JAJA
СС
0
Cx y z
до положения
T
. (8.2)
000
, на рис. 8.2
Сxyz
Новая система координат XYZ, которая на рис. 8.2 обозначена
Сxyz
, будет давать следующую матрицу направляющих косинусов:
111
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
xX yX zX
[ ] cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
AxYyYzY
cos( , ) cos( , ) cos( , )
xZ yZ zZ
cos( , ) cos( , ) cos( , )
xxx
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
10 0
0cos cos(90)
os (90 ) cos 0 sin cos
0c
111
yyy
111
zzz
111
10 0
0cos sin.
111
и
43
Тогда тензор инерции в новых центральных осях XYZ, на рис. 8.2
обозначено
Сxyz
111
, в соответствии с (8.2) принимает вид
[ ] [ ] [ ] [][ ][]
JJ J AJA
С XYZ x y z С
10 0 10 0
0cos sin 0 0 0cos sin .
0sincos 0sin cos
111 0
00
I
I
00
I
T
Вначале умножим вторую матрицу на третью и получим
10 0
[][ ][ ]0cos sin 0 cos sin
JJ J I I
С XYZ x y z
111
0sincos
III
XXYXZ
III
XY Y YZ
III
XZ YZ Z
I
0sin cos
00
II
.
Из последней формулы находим моменты инерции:
III I
cos cos sin sin cos sin ,
II II I
Y
,0,0;
XXYXZ
22
II III
II I I I
cos sin sin cos ( )sin cos ,
YZ
sin sin cos cos sin cos .
Z
44
22
В окончательном виде получаем
x
J
III I
22
II I I II
yyz
cos sin , ( )sin cos ,
111
,0,0;
11111
xxyxz
II I
1
z
22
sin cos .
Тензор инерции принимает вид
I
x
[][ ] 0
JJ I I
С xyz y yz
111 1 11
0
00
1
II
11 1
yz z
3. Параллельно сдвигаем старые центральные оси
yz
го положения
тензор инерции в удаленных осях
, которые на рис. 8.2 обозначены Axyz, и находим
222
[]
по формуле (6.6):
D
JJМD
DC
. (8.3)
В этом случае новые координаты произвольной точки dm:
xxa yyb zze
21 2 1 21
ax x by y ez z
,,,
CC C C CC
222
0, , .
.
Сxyz
111
до ново-
Матрица дистанций в соответствии с (6.5) принимает вид
22
dabaed
xx
Dabdbe d yz
ae be d y z d
22
yyCC
22
zCCz
0
0
45
00
.
Искомый тензор инерции (8.3) принимает вид
II I
[]
II I I
Dxyy yz
II I
xz yz z
I
x
00.
0
00
1
IIМ dyz
111
yyz yCC
II
11 1
yz z
22222
xxyxz
22 2 22
22 22 2
2
d
x
0
Из шести моментов инерции в новых осях
222
I I dM I I dM I I dM
xxx yyy zzz
21 21 21
IIIyzMI
xy yz yz CC xz
0, , 0
22 22 11 22
,,,
нам требуется только три:
00
2
yz d
CC z
2
IIIdmIym
21 1
zzzz zC
IIIIyzm
22 11
yz yz zy yz CC
III
22
xz xz zx
22
0.
,
(8.4)
,
Получили такие же формулы, как в [4, задание Д17].
4. Далее записывается система уравнений кинетостатики для опре-
деления динамических реакций в подшипниках, в которую моменты
инерции (8.4) входят как коэффициенты. Решение такой системы
уравнений не представляет труда.
46
9. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
В сопротивлении материалов в задаче расчета на прочность изгибаемых
стержней вначале требуется определить положение главноцентральных
осей поперечного сечения стержня.
В учебнике по сопротивлению материалов [8, с. 122] рассматривается пример
определения главноцентральных осей
для равностороннего уголка (см. рисунок).
Сначала находим положение центра тяжести сечения – точку С. Затем
проводим
моменты инерции. Таким образом, исходные оси Cxyz, которые на рисунке обозначены Cxy, являются центральными, но не главными. При
этом осевые моменты инерции в силу симметрии одинаковы:
через нее такие оси Cxy, чтобы легко можно было вычислить
II
.
xy
Ось z (на чертеже не показана) направлена на наблюдателя и является
главной, так как
II
xz yz
0
.
Угол поворота вокруг оси z до новых, уже главных осей CXYZ, ко-
Cx y
торые на рисунке обозначены
tg
2
II
()0
, найдем из выражения (5.8):
00
22
II
xy xy
xy
.
Тогда
290, 45 .
Новые оси
Cx y
00
– центральные и главные, т. е. главноцентральные.
47
10. ТАБЛИЦЫ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
I
M
M
M
Моменты инерции по [2, с. 169].
Форма тела
Стержень весьма малого поперечного сечения
Круглая пластинка весьма малой толщины
Прямоугольный параллелепипед (относительно оси
симметрии)
Момент инерции
2
l
3
2
r
4
22
ab
M
12
z
Полый шар со стенкой весьма малой толщины
48
2
2
r
3
Окончание таблицы
M
M
M
Форма тела
Круглый диск и круговой цилиндр
(относительно оси симметрии)
Круговой цилиндр (относительно поперечной оси)
Шар
Момент инерции
2
r
2
M
22
(3)
lr
12
2
2
r
5
I
z
Тор
3
22
Rr
4
49
Моменты инерции по [5, с. 274]
I
I
I
I
I
I
Тело Момент инерции
Отрезок прямой
11
22
Ml I Ml
xx
,
12 3
Площадь прямоугольника
Площадь эллипса
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольная пирамида
11
22
IMbIMa
xy
,
33
1
22
IMab
cz
11
IMbIMa
xy
44
()
3
22
,
1
IMab
cz
x
y
z
M
x
20 4
22
()
4
1
22
()
Mb c
3
1
22
()
Ma c
3
1
22
()
Ma b
3
3
22
Hb
4
M
3
22
y
Iab
z
Ha
20 4
M
22
()
5
4
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]