Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензор инерции. Матричные преобразования моментов инерции при повороте и переносе системы координат. Учебное пособие
.pdf
Добавим и вычтем слагаемые, чтобы образовать скалярные произведения, и поставим их на первые места в скобках:
()
А BC
(( ) ( ))
iB AC AC C AB AB
AC AB
xyyzzxyyzz
xx xx
(( ) ( ))
jB AC AC C AB AB
AC
yzzx
yy xy zzxx
( ( ) ( )).
kB AC
CAB
zxxyy
zz zzzxxyy
AC C AB AA B
AB
yy
В скобках стоят скалярные произведения
()(()())
А BC iBAC C AB
xx
( ( ) ( )) ( ( ) ( )).
jB AC C AB kB AC C AB
yy zz
Перегруппируем слагаемые отдельно для вектора В и вектора С:
()
А BC
() () ()
iB AC jB AC kB AC
xyz
() () ()
iC AB jC AB kC AB
xyz
()()
iB jB kB A C
xyz
()()
iC jC kC A B
xyz
()().
BAC CAB
11
В итоге получили
x
x
B
A
()()()ABC BACCAB
.
Формула (2.1) доказана.
2.2. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
()()()ABC BCA C AB . (2.2)
Доказательство [1, с. 21]. Произведение трех векторов типа
()ABC
называется смешанным произведением векторов и пред-
ставляет собой скаляр. Запишем это произведение через проекции векторов А, В и С:
ijk
ABC iA jA kA B B B
()
yzxyz
CCC
yz
AAA
xyz
BBB
xyz
CCC
xyz
.
Численно смешанное произведение векторов определяет объем косоугольного параллелепипеда с
площадью основания, равной моду-
лю
()
ным модулю вектора
, и боковым ребром, рав-
C
(рис. 2.1).
Из этого следует, что в смешанном
произведении возможны циклические перестановки сомножителей:
()()()ABC BCA CAB .
Рис. 2.1 [1, рис. В.14]
Формула (2.2) доказана.
12
2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРА
B
X
Х
В
x
B
B
B
ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ
(СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРОЕКЦИЯМИ ВЕКТОРА НА ОСИ
ДВУХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ)
{ } [ ]{} {} [ ] { }
Ab b A B
T
. (2.3)
В евклидовом пространстве ненулевой вектор имеет в общем случае
различные проекции на оси двух систем координат с произвольной взаимной ориентацией осей. Покажем, как
влияет взаимная ориентация осей прямоугольных систем координат на связь
между двумя вариантами проекций
одного и того же вектора.
Доказательство формулы
(2.3) [1, с. 29]. Будем исходить
из того,
что оба варианта проекций задают
один и тот же вектор, т. е., например,
для вектора
где
ра
b на оси двух систем координат, a
b (см. рис. 2.2)
bBIBJBKbibjbk
,(),
BB
YZ
и
YZxyz
,(),
bbb
– соответственно проекции векто-
yz
Рис. 2.2 [1, рис. В.17]
(, , )IJK
и
(, , )ijk
,
– орты
рассматриваемых систем координат. После скалярного умножения
обеих частей этого уравнения на большие орты
,,IJK
получим
() ()(),
biI b jI bkI
Xx y z
biJ b jJ bkJ
()()(),
Yx y z
biK b jK bkK
()()( ).
Zx y z
13
Здесь скалярные произведения двух ортов дают элементы матрицы
X
Z
B
B
B
B
B
направляющих косинусов:
iI iI xX a
1 1 cos( , ) cos( , ) ,
jI jI yX a
1 1 cos( , ) cos( , ) ,
kI kI zX a
1 1 cos( , ) cos( , ) ,
11
13
12
и т. д.
Тогда
ab a b ab
11 12 13
xyz
,
ab ab ab
21 22 23
Yxyz
ab ab ab
31 32 33
xyz
,
.
Более компактный вид эти соотношения имеют в матричной форме
записи:
aaa b
Baaa
Xx
Yy
Z
11 12 13
aaa b
21 22 23
31 32 33
[]BAb
.
,
b
z
Явный вид матрицы направляющих косинусов:
aaa iI jI kI
11 12 13
[] ( ) ( ) ( )
Aaa a iJ jJ kJ
21 22 23
aaa iKjKkK
31 32 33
cos( , ) cos( , ) cos( , )
xX yX zX
cos( , ) cos( , ) cos( , ) .
xY yY zY
cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
xZ yZ zZ
()()()
()()()
(2.4)
14
Матрица направляющих косинусов, или матрица поворота, имеет
K
несколько замечательных свойств, из которых для нас важно то, что
обратная матрица равна матрице, транспонированной к матрице А:
1T
[] []AA
Поэтому формула обратного пересчета проекций вектора на оси первой системы координат по его известным проекциям на оси второй
имеет вид
[]bA B
Формула (2.3) доказана.
.
T
.
3. ИСТОЧНИК ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ –
КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ТВЕРДОГО ТЕЛА [2]
Главный момент количеств движения системы материальных точек, или кинетический момент, определяется через сумму
Krmv
kkk
В случае сплошного твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки
(центра вращения), эта формула заменяется
интегральным выражением
() ()
r v dm r r dm
r – вектор-радиус точки N тела
где
(рис. 3.1);
вращения тела вокруг неподвижного центра О; dm – элементарная масса тела в точке N; интеграл берется по всей массе тела.
– вектор угловой скорости
KJ
.
15
. (3.1)
,
Рис. 3.1 [2, рис. 345]
В этой формуле используется двойное векторное произведение, ко-
K
торое в соответствии с формулой (2.1)
()()()ABC BACCAB
приводится к следующему виду:
( ) ()() ()rrrrrrr rr
2
.
Поскольку вектор угловой скорости
твердого тела, то кинетический момент приводится к следующему
виду:
() ()
rrdmrdmrrdm
Распишем векторы:
2
K r dm r rdm
ijk rrrrrrdm
xyzxxyyzz
().
rrrirjrkrdm
xx yy zz x y z
Заменяем проекции радиуса-вектора точки через координаты этой
точки:
Ki j k xyzdm
xyz
()().
Разносим слагаемые по ортам:
Ki x y zdmj x y zdm
xy
xyzixjykzdm
xyz
222 222
()()
одинаков по всему объему
2
()
()
.
222
()
zxyz
()().
j xy yy zy dm k xz yz zz dm
xyz xyz
16
222
()( )
kxyzdmixxyxzxdm
Группируем слагаемые по ортам:
222
Ki x y zdm xx yx zxdm
j x y z dm xy yy zy dm
k x y z dm xz yz zz dm
()( )
xxyz
222
()( )
yxyz
222
()( )
zxyz
iK jK kK
xyz
Отсюда находим проекции кинетического момента:
Kxyzdmxxyxzxdm
xx x y z
K x y z dm xy yy zy dm
yy x y z
K x y z dm xz yz zz dm
zz x y z
которые после приведения подобных примут вид
Kyzdmyxdmzxdm
Kxydmxzdmzydm
K xzdm yzdm x y dm
Введем моменты инерции
22 22 22
(), (), ()
IyzdmIzxdmIxydm
xyz
I I xydm I I yzdm I I zxdm
xy yx yz zy zx xz
222
()( ),
222
()( ),
222
()( ),
22
() ,
xx y z
yx y z
zx y z
22
,,
() ,
.
22
().
(3.2)
17
Тогда
x
x
x
x
x
KI I I
KI I I
KI I I
xx xy y xzz
yyxxyyyzz
zzxxzyyzz
,
,
.
Запишем в матричном виде
K
KIII
KIII
yxyyyzy
zxzyzzz
III
xxyxz
x
или в виде (3.1)
KJ
.
Здесь векторы
Т
KKKK
yz xyz
,
Т
определяют векторы кинетического момента и угловой скорости. Совокупность коэффициентов, представленная матрицей
III
JII I
III
xz yz z
xy xz
yy yz
образует тензор второго ранга, который называется
, (3.3)
тензором инерции
тела в данной его точке. Диагональные компоненты матрицы представляют собой
осевые моменты инерции тела относительно осей Ох,
Оу и Oz; недиагональные компоненты матрицы, взятые с положитель-
ными знаками, называют
центробежными моментами инерции или
произведениями инерции в соответствующих плоскостях.
18
Подведем итоги – дадим ответы на ключевые вопросы.
1. Как выглядит тензор инерции? Это матрица размером три на три.
2. Что такое
главные оси? Если центробежные моменты инерции в
выбранной системе координат равны нулю, то такие оси называются
главными. В главных осях тензор инерции имеет простейший вид диагональной матрицы
00
I
x
JI
00
00
y
.
I
z
3. Что такое
центральные оси? Если оси проходят через центр тя-
жести, то такие оси называются центральными.
4. Что такое
главноцентральные оси? Если оси проходят через
центр тяжести и при этом еще и центробежные моменты инерции равны нулю, то такие оси называются главноцентральными.
4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ
Тензор инерции имеет геометрическую интерпретацию в виде
липсоида
инерции. Эллипсоид инерции – поверхность второго порядка, построенная в любой точке тела, характеризует набор моментов
инерции тела относительно осей, проходящих через эту точку. Для построения этой поверхности на каждой оси
ку
О, откладывают от этой точки отрезок
OKI
1
Геометрическое место концов отрезков
Ol, проходящей через точ-
.
l
ОK (точек K) и будет эллипсо-
идом инерции. Оси координат, направленные по взаимно-перпендикулярным главным осям эллипсоида инерции (
OX, OY, OZ на рис. 4.1),
являются главными осями инерции для данной точки тела.
эл-
19
В сопротивлении материалов при рассмотрении моментов инерции
плоских сечений стержней одна ось, перпендикулярная чертежу, является главной, и относительно нее моменты инерции не рассматриваются. Поэтому в таком случае эллипсоид инерции вырождается в
эллипс
инерции (рис. 4.2, 4.3).
Рис. 4.1 [1, с. 318, рис. 14.18]
Рис. 4.2 [6, с. 20, рис. 24] Рис. 4.3 [7, с. 70, рис. 38]
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]