Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
D= D= ×
−−−
( )
1 2 12
22 2
–
4 5 6 8 9 8 9
4 0,500 0,167 0,333 4 1 4 0,5 0
5 0,500 0,833 0,333 5 5 0,5 0
6 0,500 0,1 67 0,667 6 6 0,5 0
c t ct
I YZ C Z CD= D=
′′ ′ ′
−− − −
=− −× =
−−
D= D= ×
−−
151
ражения вида (I – Y
ности, это матрица решения узловой сети Z
1
Z). Как показывает инвариант двойствен-
cs
1
= I – Y
cs
1
Z для
cs
разомкнутых путей или матрица решения двойственной контурной сети. Затем эти матрицы умножаются на матрицы изменения путей DC. Для каждой сети это выполняется отдельно,
в данном примере – в соответствии с разбиением строк 8 и 9 матрицы (3.98) по подсетям.
Для подсети 1 расчет этого блока имеет следующий вид:
1 2 3
1 0,5 0,25 0, 2 5
1 1 11
I YZ C Z C
– 2 0,5 0,75 0,25
( )
c t ct
11
−
3 0,5 0,25 0,75
′′ ′ ′ ′′
8 9 8 9 8 9
−
1 1 0 0,25 1 0 1
× = −= −
2 2 0 0,25 2 0 1 1 4
3 1 3 0 0,75 3 0 3
Для подсети 2 получим:
Для сети соединений, связывающей подсети:
7 8 9 10
7 0,778 0, 44 4 0,111 0, 22 2
11
–
I YZ C Z C
( )
cr r t cr t
rr
8 0,222 0,556 0,11 1 0,222
9 0,222 0,444 0,889 0,222
−−
10 0,222 0,444 0,111 0,778
−−
152
( )
11
7 8 9 10
7 0,778 0, 44 4 0,111 0, 22 2
8 0,222 0,556 0,11 1 0,222
–
9 0,222 0,444 0,889 0,222
10 0,222 0,444 0,111 0,778
rr
cr r t cr t
I YZ C Z C
−−
D= D= ×
−−
−−
′′ ′
′
( )
8 80 0
′′
′′
′′
( )
9 90 0
′′
′′
′′
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
8 9 8
7 72 1
81 81 1
×=
9
−
13
9 1 92 2
−−
10 1 1 10 1 2
Эти вычисления также выполняются для каждой подсети
параллельно.
Теперь вычислим матрицу импедансов двойственной сети
= DZ′, которая включает замыкаемые при соединении
DZ
s+2
пути. Она имеет вид DZ′ = DC
s
(I – Y
1
cs
s
) DC
и включает расчет
t
составляющих матрицы сети изменений отдельно для каждой
подсети.
Матрица DZ
равна сумме этих матриц по всем подсетям.
s+2
В каждой подсети переменные приводятся к системе координат изменяемых путей, поэтому их можно суммировать и получить общее воздействие на (s + 2)-сеть со стороны всех подсетей,
включая (s + 1)-сеть. Для первой подсети используем полученный выше результат. Тогда метрическая матрица пересечений
для первой подсети примет вид
1 11
′
Z CZ I Y Z C
D=D D=
1 1 11
1 2 3 8 9
1 2 3 8 9
= × × −=
9 1 9 0 0,75
1 2 1 0 0, 25
2 1 2 0 0, 2 5
−
3 1 3 0 0,75
–
ct
′′
−
Для второй подсети используем (3.98) и результат, полученный ранее:
4 5 6 8 9
−
8 1 8 1, 5 0
= ×× =
Z CZ I Y Z C
D=D D=
2 12
′
2 2 22
4 5 6 8 9
4 3 4 0,5 0
5 1 5 0,5 0
6 2 6 0, 5 0
–
ct
′′
−
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
8 1 1 8 4 8 1 1 820
9 1 1 9 1 9 2 2 902
′′
′′
= × ×=
′′
14
′′′ ′
D =D +D +D =
′ ′′ ′
′ ′′ ′
( )
1
8 9 8 9
8 0,286 0 8 11 0
2 77
9 0 0,364 9 0 14
YZ
−
′ ′ ′′
′′
′′
D=D = =
′′
Для r-сети соединений, используя (3.98) и результат, полученный ранее:
153
rr
′
Z CZ I YZ C
D=D D=
r r rr t
7 8 9 10 8 9
7 8 9 10 8 9
72 7 2 1
−
10 2 10 1 2
1
–
′′
−
13
−
Суммируя значения компонент этих матриц, получим метрическую матрицу двойственной сети, состоящей из изменяемых (замыкаемых) путей. Это замыкаемые пути 8′ и 9′. Они
проходят через ветви подсетей и сети соединений, т.е. по ним
подсети взаимодействуют, «пересекаются». Отсюда название
«сеть пересечений»:
ZZZ Z
′ ′ ′′ ′′ ′′
8 9 8 9 8 9 8 9
8 0 0 8 1,5 0 8 2,0 0,0 8 14 0
= ++ =
9 0 0, 75 9 0 0 9 0,0 2, 0 9 0 11
12
r
.
Для расчета двойственной сети пересечений обратим DZ′,
обозначив ее DY′:
Расчет этой матрицы можно производить на одном процессоре, если ее порядок близок к наибольшему порядку матриц
подсетей. Если же сеть пересечений оказалась велика, то и ее
можно рассчитать по частям, используя такой же алгоритм, но
для двойственной сети. Сеть пересечений может стать большой
для сильно связанной сети, когда много контуров превращается в разомкнутые пути.
154
′′
×× =−
′′
×× =−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
С ростом размеров системы ее связность, как правило, снижается, и отдаленные элементы оказывают меньшее влияние
друга на друга. Например, экономическая матрица В. Леонтьева может содержать нескольких тысяч строк, но в ней оказываются не более 3–4 % ненулевых элементов. Малое заполнение
ненулевыми элементами матриц сложных систем породило направление, известное как «разреженные матрицы», где производят действия только с элементами, которые отличны от нуля.
Теперь можно получить все блоки матрицы изменений DY
c
Изменения метрики, которые произошли при разделении сети
на подсети (и были запасены в двойственной сети к сети пересечений), возвращаются на свои места, приводя все параметры
к виду соединенной сети. Расчеты можно выполнять параллельно. Сначала рассчитаем диагональные блоки.
Для подсети 1 получим
8 9
1 0 0,25
11 1 1 1 1
Y I Y Z C Y C I ZY
D = DDD = − ×
c ct c
– – 2 0 0,25
( ) ( )
11 1 1
′
3 0 0,75
−
.
′′
8 9 1 2 3
′′
8 0,286 0 8 0 0 0
′′
9 0 0,364 9 0, 25 0, 25 0,7 5
−−
1 2 3
11 1 3
−−
2 1 1 3 1 44
−
333 9
Для подсети 2 получим
8 9
−
4 0,5 0
22 1 2 2 1
D = DDD = ×
Y I Y Z C Y C I ZY
c ct c
′′
8 0,286 0 8 0,5 0, 5 0,5
′′
900,3649000
– – 5 0, 5 0
( ) ( )
22 2 2
′′
8 9 4 5 6
′
6 0, 5 0
4 5 6
−
5 1 1 1 1 14
611 1
41 1 1
−−
−
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
′′
D = DDD = ×
′′
D = DDD = − ×
Для сети соединений получим
rr r r
Y I Y Z C Y C I ZY
c cr r t r cr
11
––
( ) ( )
′
8 9
7 0,667 0, 333
−
8 0,333 0,333
9 0,667 0,667
−
10 0,333 0,667
155
′′
8 9 7 8 9
′′
8 0,286 0 8 0,67 0, 33 0, 67 0,33
××
′′
9 0 0, 3 64 9 0,3 3 0,33 0, 67 0,67
−
10
−
7 8 9 10
7 0,1 67 0,023 0,046 0,144
8 0,023 0,072 0,144 0,049
= =
−
9 0, 04 6 0,144 0,289 0, 098
10 0,144 0,049 0,098 0,193
−
7 8
7 58 8 16 50
8 8 25 50 17
=
9 16 50 100 34
10 50 17 34 67
−
9 10
−
2 9 77×
( )
Далее рассчитаем блоки вне диагонали. В силу симметрии
метрической матрицы сети достаточно получить три таких блока
матрицы изменения решения DY
21
r1
, DY
а три других блока – DY
c
и DY
c
, например DY
c
r2
будут к ним транспониро-
c
12
c
, DY
ваны.
Эти блоки матрицы изменения решения дают параметры
взаимодействия подсетей в полной сети. Получим DY
спечивает взаимодействие подсети 1 и подсети 2:
=
1r
и DY
c
12
, он обе-
c
2r
,
c
8 9
1 0 0,25
12 1 1 2 1
Y IYZ CYCIYZ
c ct c
– – 2 0 0, 25
( ) ( )
11 22
′
3 0 0,75
−
156
( ) ( )
12 1 1 2 1
11 22
8 9
1 0 0,25
– – 2 0 0, 25
3 0 0,75
c ct c
Y IYZ CYCIYZ
′′
′
D = DDD = − ×
−
×× =
′′
D = DDD = − ×
×× =
′′
D = DDD = ×
×× =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
′′
8 9 4 5 6
′′
8 0,286 0 8 0,5 0, 5 0,5
′′
900,3649000
−
4 5 6
1000
2000
3000
Таким образом, ветви подсетей 1 и 2 в соединенной сети не
1r
взаимодействуют. Блок DY
сети 1 и сети соединений r. Получим DY
обеспечивает взаимодействие под-
c
1r
:
c
8 9
1 0 0,25
1 11 1
rr
Y IYZ CYCIYZ
c c t cr r
– – 2 0 0, 25
( ) ( )
11
′′
8 9 7 8 9 10
′′
8 0,286 0 8 0,67 0, 33 0, 67 0,33
′′
9 0 0, 3 64 9 0,3 3 0,33 0, 67 0,67
′
3 0 0,75
−
−
−
7 8 9 10
111 2 2
−
21 1 2 2
= −−−
33 3 6 6
−−−
1 33
Наконец, получим
8 9
−
4 0,5 0
2 12 1
rr
Y IYZ C YCIYZ
c c t cr r
– – 5 0,5 0
( ) ( )
22
′
6 0, 5 0
′′
8 9 7 8 9 10
′′
8 0,29 0, 0 0 8 0, 6 7 0, 33 0,67 0, 33
′′
9 0,00 0, 36 9 0,33 0,33 0, 67 0,67
= −
−
8 9 10
7
42 1 21
−−−
52 1 2 1
62 1 2 1
1 21
−
−
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
,, 1202212211
r
е еее
α
= =
11
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 0, 25
2 1 1 1 1 4 2 2 2 0, 25
3 1 1 1 3 0 3 0,25
c
i
−−
=− − ×=
−−
157
Все блоки матрицы изменений можно получить на параллельных процессорах, а затем использовать для расчета изменений откликов при соединении. Для расчетов этих матриц
на ЭВМ применяются десятичные дроби, что дает результат с
округлением. Для точного расчета постоянства мощности при
изменении структуры результаты расчета блоков в данном
примере даны в простых дробях. Сумма откликов в исходной
сети из отдельных подсетей и откликов в сети изменений дает
отклики в ветвях новой, связанной сети.
Таким образом, расчет связанной сети получим по частям.
Вместе с тем можно показать полную матрицу изменений DY
c
если подставить полученные выше числовые значения каждого
блока. Суммируя матрицу изменений DY
1
подсистем Y
, получим матрицу решения Y
с
с матрицей решения
c
2
соединенной сети.
с
Для расчетов эту матрицу выписывать нет необходимости, поскольку вычисления производятся параллельно, т.е. по отдельным блокам.
Для проверки правильности проведенных расчетов зададим
источники воздействия, например источники напряжения,
и рассчитаем отклики в ветвях соединенной сети. Полученные
токи и напряжения в ветвях проверим на выполнение законов
Кирхгофа в узлах и контурах. Пусть в ветвях сети заданы следующие источники напряжения е
:
α
,
Отклики-токи на ветвях исходной сети из отдельных подсетей получим умножением их матриц решения, полученных
выше, на соответствующие части вектора источников напряжения. Матрицы решения подсетей запишем здесь в десятичных
дробях. В подсети 1 токи равны
.
1
i
1
= Y
с
1
е1:
c1
158
12
4 5 6
4111 42 40,833
51111652 50,833
6111 61 60,833
c
i = ×=
1
7 8 9 10
7 1 1 1 1 7 2 7 0,222
8 1 1 1 1 8 2 8 0,222
19 =
9 1 1 1 1 9 1 9 0,222
10 1 1 1 1 10 1 10 0,222
r
с
i
−
− −− −
= ×
−
−
11
1 2 3
1 1,0 1,0 3,0 1 1 1 0,023 1 1,0
2 1,0 1,0 3,0 1 44 2 2 2 0,023 2 1,0 1 44
3 3,0 3,0 9,0 3 0 3 0,068 3 3,0
m
с
i
−− − −
=−==
−
= − − −×=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1
В подсети 2 токи в ветвях равны 1i
2
= Y
с
е2:
c2
1
Токи в ветвях сети соединений равны 1i
r
с
=Y
еr:
cr
Токи в ветвях каждой подсети одинаковые, поскольку они
протекают по одному контуру. Токи, изменяющие их в решение сети, соединенной из подсетей, получим, умножая блоки
матриц изменения на компоненты вектора источников напряжения. Затем суммируем значения в полные токи в ветвях соединенной сети. Получим токи изменения решения в ветвях
для каждого блока матрицы изменения:
m
11
i
с
= DY
11
e1:
c
m
αb
i
= DY
с
0
αb
e
, например
b
c
72
82
91
10 1
1r
= DY
с
Токи связи первой подсети и сети соединений mi
7 8 9 10
1 0,030 0,030 0,061 0,061
−
1
mr
2 0,030 0,030 0,061 0,061
i
с
3 0, 091 0, 09 1 0,182 0,182
−−−
1r
er:
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
1
7 8 9 10
72
1 0,030 0,030 0,061 0,061
82
2 0,030 0,030 0,061 0,061
91
3 0, 091 0, 09 1 0,182 0,182
10 1
mr
с
i−= − − −×=
−−−
22
4 5 6
4 1 1 1 4 2 4 0,071 4 1
5 1 1 1 1 14 5 2 5 0,071 5 1 1 14
6 1 1 1 6 1 6 0,071 6 1
m
с
i
−− − −
=− ×= =
−
= −×=
−− − −
−− − −
−− − −
1 0,121 1 4
2 0,121 2 4 1 33
=−=−
3 0,364 3 12
−−
159
Компоненты mi
DY
12
c
= DY
21
c
= 0.
12
с
= mi
21
= 0, поскольку, как было показано:
с
Оставшиеся компоненты токов изменения в ветвях получаются следующие:
72
82
91
1r
= DY
с
Токи связи второй подсети и сети соединений mi
7 8 9 10
4 0, 095 0,048 0, 095 0, 048
−−−
2
mr
5 0, 095 0, 04 8 0, 09 5 0, 0 48
i
с
6 0, 095 0, 04 8 0, 09 5 0, 0 48
−
10 1
4 0,333 4 1
−−
5 0,333 5 1 1 3
= =
6 0,333 6 1
1r
er:
c
Токи связи сети соединений и первой подсети mi
1 2 3
7 0,030 0,030 0,091 7 0,030 7 1
1
mr
i
с
−
8 0,030 0,030 0,091 8 0,030 8 1
= ×= =
9 0, 0 61 0,061 0,182 9 0,061 9 2
10 0,061 0,061 0,182 10 0,061 10 2
11
2 2 1 33
30
Токи связи сети соединений и второй подсети mi
r1
= DY
с
r2
= DY
с
r1
e1:
c
r2
e2:
c
160
−− − −
= ×=
2 1 1 1 11 12 1
1 0,25 1 0, 02 3 1 0 1 0,121 1 0,1 52
2 0, 2 5 2 0,023 2 0 2 0,121 2 0,152
3 0,25 3 0, 068 3 0 3 0, 364 3 0,545
m m mr
сс с с с
ii i i i=+++=
−− −
= + + +− =
− −−
2 2 2 1 21 22 2
4 0,833 4 0 4 0,071 4 0,333 4 0,429
5 0,833 5 0 5 0,071 5 0,333 5 1,238
6 0,833 6 0 6 0,071 6 0,333 6 1,238
m m mr
сс с с с
ii i i i=+++=
−−
= ++ + =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
4 5 6
7 0, 095 0, 095 0, 09 5 7 0, 0 95 7 2
−
8 0, 0 48 0,048 0,048 8 0, 048 8 1
mr
2
i
с
−
= ×= =
9 0, 0 95 0,095 0,09 5 9 0, 0 95 9 2
−
10 0,048 0,048 0,048 10 0,048 10 1
42
5 2 1 21
61
Токи изменения в сети соединений mi
rr
с
= DY
rr
er:
c
7 8 9 10
7 0,1 67 0,023 0,046 0,144 7 2
m rr
8 0,023 0,072 0,144 0,049 8 2
i
с
9 0, 04 6 0,144 0,289 0, 098 9 1
−
10 0,144 0,049 0,098 0,193 10 1
−
7 0,283 7 196
8 0,384 8 266
= = ×
9 0,768 9 532
1 21 33
( )
10 0,101 10 70
Полные токи по каждой ветви соединенной сети получим
как сумму тока в исходной подсети и приращений от разных
блоков сети соединений. Это дает токи для ветвей подсети 1:
Значения для ветвей подсети 2:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]