Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
51
этом исчезает один независимый разомкнутый путь, уменьшается размерность подпространства разомкнутых путей. Общая
размерность пространства путей сети не меняется, она постоянна и равна количеству элементов – ветвей. Итак, при изменении числа узлов меняется число независимых замкнутых
путей, противоположно меняется число разомкнутых путей,
но сумма их размерностей не меняется.
Рассмотрим сеть, двойственную к данной сети. В теории
графов двойственность связана с понятием планарности, т.е.
определяется только для графов, которые укладываются на
плоскости без пересечений. Планарный граф делит плоскость
на области конечные, если конечна их площадь, и бесконечные в противном случае. Ветви, охватывающие конечные области, образуют контуры, которые в теории графов называют
ячейки. Каждая ветвь графа сети является общей не более чем
для двух областей. Ячейки внутри графа имеют конечную площадь, а ячейка, дополняющая граф до всей плоскости, – бесконечную площадь. Внутренние ячейки-контуры охватывают
все ветви. Это ограничивает свободу выбора путей, в частности
контур должен составлять непрерывную замкнутую линию.
Для построения двойственного графа в каждую область
помещается один узел, затем через каждую ветвь проводится
линия, связывающая узлы в соединяемых ею областях. Эта
линия представляет ветвь в двойственной сети (графе). Совокупность таких ветвей и есть двойственная сеть. Таким образом, двойственными являются контуры и узлы. Примеры
такого построения даны на рис. 2.6, а и рис. 2.7. Из теории
графов известно, что двойственным к двойственному графу является исходный граф. Это касается и сетей.
Количество ветвей в сети n и в двойственной сети n одинаково: n = n. Ранг графа равен цикломатическому числу двойственного графа. В сетях это означает равенство числа линейно
независимых замкнутых путей (контуров) данной сети числу
линейно независимых разомкнутых путей двойственной сети.
Замкнутому пути в одной сети соответствует разомкнутый
путь в двойственной сети, и наоборот.
Структуру двойственной сети можно построить по ее матрице преобразования путей C, которая равна матрице преобразо-
52
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
вания путей взаимного базиса исходной сети, C = A. В исходной сети матрица A ортогональна, как отмечалось, ее матрице
–1
преобразования C = A
.
t
Знаки при ненулевых элементах матриц преобразования
определяют направление ориентации каждой ветви по отношению к базису путей. В каждой сети возможны две равноправные
ориентации ветвей и путей. То есть если сменить направления
у всех ветвей и всех путей в сети на противоположные, то матрица преобразования не изменится. Построив «каркас» структуры
двойственной сети с помощью областей и узлов, можно выбрать
в этой сети два варианта ориентации связанных ветвей и ориентации путей, выбранных в такой сети.
Пути – это координаты в заданном пространстве сети, они
могут быть выбраны разными вариантами. Сеть определяют
ветви, а их границы образуют узлы, и эти узлы определяют
заданную структуру. Если задать ориентацию каждой из свободных ветвей и сохранять ее при соединении ветвей в сеть,
то каждая ветвь будет выходить из одного своего узла (границы) и входить в другой свой узел. Таким образом, ориентация
ветвей по отношению к узлам (границам) задана еще до введения путей. Это свойство существует независимо от того, введены координаты, т.е. пути, или не введены. При выборе путей
их ориентация может совпадать с ориентацией ветвей, через
которые они проходят, или быть противоположной. Это выражается положительным или отрицательным знаком при соответствующем элементе в матрице преобразования путей.
Взаимную ориентацию ветвей и узлов определяет матрица
инциденций (если ветвь соединена с узлом, то говорят, что они
1
инцидентны). Эту матрицу обозначим как M
, где индекс 0
0
обозначает узлы (0-симплексы), которые связаны с 1-симплек-
1
сами, т.е. ветвями. Столбцы M
перечисляют узлы, а строки
0
перечисляют ветви сети. В каждой строке знак –1 стоит в столбце узла, из которого данная ветвь выходит, а знак +1 стоит в
столбце узла, в который данная ветвь входит. Степень узла A
обозначим q
и определим как алгебраическую сумму по столб-
A
цу, который данному узлу соответствует. Матрица инциденций
однозначно определяет структуру сети, т.е. показывает, как соединены между собой ветви. При соединении и разъединении
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
b1
b1
b5
b3
H
D
b4
C
b6
b6
b4
b2
b3
b5
F
Данная сеть
E
B
A
G
53
в сети если меняется количество узлов или меняется инцидентность узлов и ветвей, то меняется и матрица инциденций.
Как отмечалось, в сети можно выбрать два варианта ориентации ветвей и ориентации путей. В двойственной сети если изменить
направления у всех ветвей и всех путей, то матрица преобразования не изменится, т.е. также есть два варианта ориентации ветвей
и путей. Однако если изменить ориентации ветвей (по отношению
к узлам), то матрицы инциденций для заданной сети и для двойственной сети хотя и останутся прежними по составу ненулевых
элементов, но знаки при этих ненулевых элементах поменяются.
Двойственность пространства-структуры связана с понятием направления. Направление в сети дополняется противоположным направлением в двойственной сети. При изменении
связей ветвей двойственных сетей сохраняются измерения этого пространства. Увеличение числа базисных замкнутых путей
в одной сети приводит к уменьшению числа базисных замкнутых путей в двойственной сети, но их сумма постоянна. Одновременно обратные изменения происходят с разомкнутыми
путями. Повторим, что замкнутому пути в одной сети соответствует разомкнутый путь в двойственной сети, и наоборот.
Инварианту двойственности при изменении структуры (будет рассмотрен далее) соответствует закон постоянства суммы
мощностей в двойственных электрических цепях.
На рис. 2.8 сеть из шести ветвей показана тонкими линиями, а двойственная сеть – жирными линиями. Сети имеют одинаковое число замкнутых и разомкнутых путей:
Двойственная сеть
b2
Рис. 2.8. Две двойственные сети из шести ветвей
54
1
2
3
1
0
4
5
6
11
11
11
11
11
11
Сумма –3 1 1 1
0
ABCD
b
b
b
M
b
b
b
−+
−+
+−
=
−+
−+
−+
+++
=
1
2
1
3
0
4
5
6
11
11
11
11
11
11
Сумма 1 1 1 3
0
EFGH
b
b
b
M
b
b
b
+−
−+
+−
=
+−
+−
+−
+++−
=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
• в данной сети: n = 6, J = 4, s = 1, j = 3, m = 3;
• в двойственной сети: n = 6, J = 4, s = 1, j = 3, m = 3.
Матрицы инциденций у этих сетей разные. Ориентация ветвей в исходной сети задана на рис. 2.8. Ориентацию ветвей в
двойственной сети дает простой алгоритм, который рассмотрен
в [16]. Для этого начнем с узла F двойственной сети, контур для
которой составляют ветви b
вые ориентации для ветвей b
, b4 и b5 в данной сети, выберем пер-
1
, b4 и b5 и т.д. Полученные ориен-
1
тации ветвей даны стрелками на ветвях двойственной сети.
1
Матрица инциденций M
для данной сети с узлами A, B, C
0
и D на рис. 2.8 имеет следующий вид (можно проверить, что
сумма степеней узлов равна нулю):
Матрица инциденций M
E, F, G и H (выделены кружками на рис. 2.8), имеет вид (проверить, что сумма степеней узлов равна нулю):
(2.7)
1
для двойственной сети с узлами
0
(2.8)
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
( )
( )
0
–31111
1 1 –3 6 6 1 2.
i i ABC D
EFGH
qqq q q q q q q
qqqq
nn
αα
=+= + = + + + +
+ + + + = ++ ++ ++ ++ +
+++++ =+=+ =
∑∑
b6
p1ʹ
b1
b3
p2ʹ
p3ʹ
b4
p5ʹ
p6ʹ
b5
p4ʹ
C
D
A
B
b2
55
Сумма модулей степеней узлов в двух двойственных сетях
равна удвоенному количеству ветвей, т.е. равна 12:
Задание студентам: составить блок-схему алгоритма
определения ориентации ветвей.
Поскольку сумма модулей степеней узлов в двух двойственных сетях равна сумме числа их ветвей, то можно определить
ориентации ветвей в двойственной сети по ориентациям ветвей
в заданной сети. Затем выбрать пути в двойственной сети и получить их матрицу преобразования. Исходная сеть с выбранными путями представлена отдельно на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Выбор путей в исходной сети из шести ветвей
Также можно начать с матрицы преобразования путей в
двойственной сети. Она ортогональна матрице преобразования
путей от свободных ветвей к связанным ветвям в исходной
сети, т.е. C
0
α
= (C
0
)–1. Ортогональность дает единственное по-
αt
строение сети, т.е. соединяя ветви в соответствии с элементами в столбцах матрицы преобразования C
строить структуру двойственной сети, а затем получить ее
матрицу инциденций.
0
= A
α
0
, можно по-
αt
56
000000
123456
1
2
3
0
4
5
6
1 11000
00 10 11
010101
000100
0000 10
000001
pppppp
p
m
p
m
p
m
C
p
j
p
j
p
j
α
′
−−
′
− −−
′
−−
=
′
′
−
′
123456
0
1
0
2
0
3
0
0
4
0
5
0
6
1 11110
001101
0 10 0 1 1
000100
0000 10
000001
t
pppppp
p
p
p
A
p
p
p
mmmj j j
α
′′′′′′
−
−−
=
−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Матрица преобразования свободных путей в пути связанной сети на рис. 2.9:
Выразим пути в свободных ветвях через пути в связанной
сети, тогда получим матрицу обратного преобразования. Матрица обратного преобразования путей связанных ветвей в
α
пути свободных ветвей A
имеет следующий вид:
0t
(2.9)
Студентам предлагается проверить, что эти матрицы об-
α
0
A
ратные, т.е. что С
= I.
0t
α
Таким образом, для заданной сети получены прямые и обратные матрицы преобразования от базиса путей свободных ветвей к базису путей в сети из соединенных ветвей и обратно, при
этом:
• матрица С
связанных ветвей;
свободных ветвей.
• матрица A
0
α
α
0t
преобразует пути свободных ветвей в пути
преобразует пути связанных ветвей в пути
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
000000
123456
1
2
3
0
0
4
5
6
100000
10 10 0 0
110000
110100
1010 10
01 1001
pppppp
pj
pj
pj
CA
pm
pm
pm
α
α
′
′
−−
′
= =
′
−
′
−
′
b1
b5
b4
b6
b2
b3
F
E
p4ʹ
p5ʹ
p6ʹ
p1ʹ
p3ʹ
G
57
Транспонированная к A
α
матрица A
0t
α
является матрицей
0
прямого преобразования базиса свободных ветвей в базис свя-
0
занных ветвей двойственной сети С
. В матрице преобразова-
α
ния двойственной сети замкнутые и разомкнутые пути меняются местами:
Эти пути показаны в двойственной сети на рис. 2.10. Путь p′2
соединяет узлы H и E и проходит по ветвям –b
соединяет узлы F и E и проходит по ветвям +b2 и +b1. Ма-
p′
3
и –b1, а путь
3
трица инциденций однозначно определяет структуру сети. Ее
использование имеет практическое значение в логистике для
управления цепями поставок.
Hʹ
Рис. 2.10. Выбор путей в двойственной сети из шести ветвей
Пусть свободные ветви все замкнутые. Тогда двойственные
свободные ветви все разомкнутые. Соединим ветви, чтобы получить сеть с заданной структурой. Для этого размыкаем часть
58
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
контуров, и они превратятся в разомкнутые пути. В двойственной сети соединяем разомкнутые ветви, столько же разомкнутых
путей превратятся в замкнутые пути. Основные свойства изменения структуры двойственных сетей представлены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Соответствие преобразования структуры двойственных сетей
Параметр Заданная сеть Двойственная сеть
Тип соединения ветвей Параллельное Последовательное
Ориентация ветвей Встречная Одинаковая
Преобразование структуры Слияние узлов Разделение узлов
Изменение соединений J′ = J – 1
• изменение замкнутых
путей (контуров)
• изменение разомкнутых
путей
Возникает контур,
тогда: m′ = m + 1
Исчезает разомкнутый
путь, тогда: j′ = j – 1
J′ = J + 1
Исчезает контур, тог-
да: m′ = m – 1
Возникает разомкну-
тый путь: j′ = j + 1
Таким образом, в каждой сети при изменении структуры соединения ветвей меняется количество замкнутых и разомкнутых
путей, но их сумма остается постоянной, равной числу ветвей.
В двух двойственных сетях сумма замкнутых путей остается
постоянной; сумма разомкнутых путей остается постоянной.
2.5. Инварианты двойственных сетей
Пусть в сети не меняются ветви, а меняется только структура их соединения. Существуют инварианты, т.е. величины,
которые остаются постоянными при любом изменении соединения ветвей двух двойственных сетей:
1) постоянно и одинаково количество ветвей в каждой сети
n = n = const;
2) постоянна сумма независимых замкнутых путей в двух
сетях: m + m = n = const;
3) постоянна сумма независимых разомкнутых путей в двух
сетях: j + j = n = const;
4) постоянна сумма количества узлов в двух сетях: J + J =
= n + 2s = const;
5) постоянна сумма модулей степеней узлов в двух сетях,
которая определяет ориентацию ветвей относительно узлов:
+ qα = q0 = n + n = 2n = const.
q
α
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
m
j
mC
С
j
C
=
59
Первый инвариант показывает, что размерность полного
пространства сети постоянна, т.е. число элементов-ветвей не
меняется. Меняется только размерность подпространств замкнутых и разомкнутых путей при разделении или соединении
узлов. Инварианты два и три показывают, что в двух двойственных сетях сумма размерностей подпространств замкнутых путей и разомкнутых путей постоянна при изменениях
структуры, хотя в каждой из сетей эти размерности меняются.
Инвариант четыре: в двух сетях постоянно суммарное число
узлов, определяющих структуру сетей. Пятый инвариант показывает, что ориентации в двойственных сетях дополняют
друг друга и каждая ветвь имеет обе своих возможных ориентации.
В пространстве структуры существует инвариант двой-
ственности: постоянна сумма метрических тензоров замкнутых и разомкнутых путей в двойственных сетях при любых
соединениях их ветвей. Метрический тензор свободных замкнутых ветвей обозначим Z, а обратный метрический тензор
свободных разомкнутых ветвей – Y. Если веса ветвей равны единицам, то Z = Y = I (здесь I – единичная матрица). Рассмотрим
получение метрического тензора в связанной сети из метрического тензора свободных замкнутых и разомкнутых ветвей.
Замкнутые пути. В свободных замкнутых ветвях базис состоит из замкнутых путей, а разомкнутых путей нет. При соединении ветвей часть замкнутых путей, контуров размыкается, растет число узлов. В соответствии с (2.1) и (2.2) появляется
базис разомкнутых путей, на это же число уменьшается базис
контуров. Пути базиса замкнутых и разомкнутых путей в связанной сети выражаются через пути в свободных ветвях посредством матрицы преобразования C, как в (2.4). Матрица C является также матрицей преобразования A взаимного базиса путей
в двойственной сети. Как показано в (2.5), матрица C преобразования свободных путей в пути связанной сети состоит из под-
m
матриц
C замкнутых путей и jC разомкнутых путей:
(2.10)
60
.
m mm
t
Z CZ C=
11
.
m mm
e Zi=
( )
–1
–1
11 0
.
m m m mm m
t
i Z e CZ C Ce= =
( )
–1
1 00
.
m mm m m m m
ct t t c
i C i C CZ C Ce Y e= = =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Базис замкнутых путей в свободных ветвях mp0 преобразу-
m
ется в базис замкнутых путей в связанной сети
m
p1 = mCmp0. В связанной сети метрический тензор в базисе
ле
контуров обозначим
m
Z, он получается так же, как в подразде-
p1 по форму-
ле 1.4 по формуле (1.9):
(2.11)
Вектор в сети представлен своими ковариантными компонентами e и контравариантными компонентами i в базисе
контуров. В свободных ветвях обозначим эти компоненты как
и i0, их связывает метрический тензор Z: e0 = Zi0, откуда
e
0
= Z–1e0. Здесь индекс указывает на тип сети, а не перечисля-
i
0
ет пути. В связанной сети обозначим компоненты вектора как
m
e1 и mi1; их связывает метрический тензор mZ:
(2.12)
При переходе от свободных ветвей к связанной сети меняются компоненты вектора. Ковариантные компоненты
m
преобразуются так же, как базис замкнутых путей
m
Контравариантные компоненты
m
через
Z получим из (2.12):
i1 в контурах связанной сети
e1 = mCe0.
m
e1
Это контравариантные компоненты в базисных контурах.
Необходимо получить компоненты в отдельных ветвях связан-
m
ной сети
ic, т.е. перейти из подпространства контуров в про-
странство всей сети. Для этого надо матрицу
m
i1, тогда получим
Здесь Y
представляет собой метрический тензор подпро-
c
странства контуров связанной сети. По сути, это матрица решения контурной сети. Умножая Y
(2.13)
m
Ct умножить на
(2.14)
на вектор воздействия e0,
c
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]