Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
– –.j J s JsD=D D=D
tt
CC
mr jr
tt
ms js
CC
......
tt
11mj
CC
11
1
1
csrcsr
c
t
s
r
mm mmjj jj
n
n
C
n
n
=
141
рые образуют сеть (s + 1), или r-сеть. Соединяя узлы r-сети с узлами подсетей, получим полную сеть. Тогда число узлов уменьшится на DJ, а число подсетей уменьшится с (s + 1) до 1; т.е.
на Ds = s независимых подсетей станет меньше. Число независимых j-путей изменится на величину разности Dj:
(3.89)
Если каждую подсеть соединяет с другой подсетью только
одна ветвь, то DJ = Ds. Тогда из соотношения из (3.89) можно
видеть, что число независимых замкнутых m-путей и число независимых разомкнутых j-путей в сумме останется прежним.
Ни в данной сети, ни в двойственной сети не появляются новые
контуры, не замыкаются разомкнутые пути. По этой причине
подсети хотя и соединены, но не взаимодействуют, остаются независимыми. В таком случае измененных путей нет.
Если таким образом соединены все подсети, то получается
одна сеть. Далее при соединении узлов количество связей растет в пределах только одной сети. Было показано, что в одной
сети при уменьшении числа узлов увеличивается число конту-
m
ров, и в матрице
C появляются новые строки, т.е. возникает
матрица изменения путей DC. Положим, что замкнутые m-пути
m
1
p
в подсетях
разомкнутые до этого пути
остаются прежние, а вновь замыкаются только
s
j
1
p
в (s + 1)-сети. В новые контуры
r
должны входить ветви, принадлежащие подсетям (поскольку
подсети соединяются теперь не менее чем двумя узлами).
1
Матрица преобразования подсетей C
имеет блочно-диагональный вид. На главной диагонали стоят матрицы преобразования
подсетей и r-сети соединения как для m-путей, так и для j-путей.
Эта матрица, транспонированная для экономии места, имеет вид
(3.90)
142
mj
rj
sj
00
22
00
11
mj
C
mj
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Метрические матрицы подсетей можно представить аналогично и, таким образом, произвести расчет каждой из подсетей и сети соединений независимо от других, используя подматрицы в (3.90), по формулам подраздела 3.1.
Матрица преобразования путей от свободных ветвей к пол-
2
ностью связанной сети C
становится сложнее, поскольку появляются новые элементы. Эти элементы представляют ветви,
замыкающие в подсетях те контуры, в которые превратились
разомкнутые пути при соединении подсетей и r-сети. Транспо-
2
нированная матрица C
отличается от аналогичной матрицы
изменения соединений (3.45) в пределах одной сети:
mm mm
1
csr
111
CCC
n
ttt
1
...
2
=
t
n
s
n
r
... ... ...
ms
CC C
tt t
mj jjj∆
1
csr
∆
∆
mr
∆
CC C
tt t
s
(3.91)
r
Здесь m
и m
1
0
означают полное число контуров, а j
2
0
1
и j
0
–
2
0
полное число разомкнутых путей в подсетях (включая r-сеть)
и в соединенной сети. В подсетях имеем n
ветвей, контуров и j-путей в первой подсети; n
ло ветвей, контуров и j-путей в последней подсети; n
, m1 и j1 – число
1
, ms и js – чис-
s
, mr и jr –
r
число ветвей, контуров и j-путей в сети соединения. При этом
Dm – это число тех разомкнутых путей, которые при измене-
нии структуры превратились в замкнутые пути.
mC2
Матрица преобразования контуров соединенной сети
mC1
держит как
из строк вновь образованных контуров. Матрица
из двух подматриц. Одна включает пути в подсетях и обозначена как (
обозначена как (DC
mC1s, mC1r
, так и матрицу изменений DC, которая состоит
mC2
). Другая – матрица соединяющих путей, она
s
, DСr). В матрице DСr ненулевые элементы
со-
состоит
перечисляют изменяемые при соединении разомкнутые ранее
пути в r-сети, а также те ветви, которые в подсетях замыкают
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
1
2
1
sr
ms s
s
mt t
t
mr r
r
tt
mm m
n
CC
C
n
CC
D
D
=
D
143
эти разомкнутые j-пути в контуры. В DCs ненулевые элементы
перечисляют те ветви s-сетей, которые замыкают образованные
при соединении подсетей пути Dm и создают новые контуры.
s
Именно DC
включает новые элементы, которые отража-
ют взаимодействие s-подсетей и r-подсети в соединенной сети.
mC2
Тогда подматрица контуров
для расчета сети по частям
имеет вид
m
1s
C
Здесь
m
1r
C
– матрица преобразования сети соединения подсистем;
t
s
– матрица изменения структуры подсетей; DC
DC
t
– матрица преобразования отдельных подсетей;
t
изменения сети соединения подсетей. За счет r-сети соединений эта матрица отличается от матрицы преобразования при
изменении соединений в одной сети. Изменение матрицы преобразования двойственной сети при соединении подсетей
получается аналогично, с использованием рассмотренных в
подразделе 2.5 инвариантов: суммарное число контуров и разомкнутых путей остается постоянным, а ориентации ветвей
дополняют друг друга.
В остальном расчет по частям, соответствующие формулы
и алгоритмы аналогичны расчету сети при изменении структуры, который рассмотрен в подразделе 3.4. Для перехода от
подсетей к связанной сети установлена связь между их ма-
1
трицами решения Y
и Y
с
матрица в (3.92) теперь имеет более сложный вид, но формула расчета по частям имеет такой же вид, как в (3.52). Таким
образом, табл. 3.1 представляет матрицы решения для любых
изменений структуры сети. Они обозначены, например, как
2+
матрица решения Y
для базиса замкнутых путей при соеди-
с
нении узлов и матрица решения Z
путей при разъединении узлов. С использованием инварианта двойственности получены матрицы решения для обратных
задач: при разъединениях узлов получена матрица решения
(3.92)
r
– матрица
t
2
и матрицей изменений DC. Хотя
с
2–
для базиса разомкнутых
с
144
( ) ( )
12
1 11 1 2 2 2 2
,
m mm m m m m m
11 1 1
– – –,
c ct ct c
( )
21 1
2
.
m
cc c c c c
i Y e Y Y e Y e Ye
α+
α αα α
= = +D = +D
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
2–
Y
и при введении соединений узлов – матрица решения Z
с
2+
с
Аналогичные формулы с двойственными заменами получаются для двойственной сети.
Таким образом, получен метод расчета сетей при любых вариантах изменения структуры, включая декомпозицию и расчет
по частям, а также объединение частей в решение полной сети.
Напомним, что для расчета контурной сети при наложении
связей (соединении подсетей) полагали, что матрицы решения
1
старой Y
Y C CZ C C Y C CZ C C
= =
ct t c t t
где Y
и новой сети Y
c
2+
– матрица решения сети при уменьшении числа узлов.
c
Подставляя выражение для матрицы
2+
имеют одинаковый вид:
c
–1 –1
+
и
m
C2 через матрицы mC1
(3.93)
и DC и преобразуя, получим матрицу решения сети по частям
2+
для замкнутых путей новой сети Y
1
цу старой сети Y
=+ DD D D
Y I YZ C CZI YZ C CI ZY
( ) ( ) ( )
и матрицу изменения путей DC, как в (3.52):
c
21
+
YYY
= +D =
cc c
, выраженную через матри-
c
–1
(3.94)
.
где второе слагаемое, обозначенное как DY
1
менения решения сети. Здесь Y
– блочно-диагональная ма-
c
трица. Она объединяет матрицы решения подсетей и сети
связей, которые расположены вдоль ее главной диагонали,
– это матрица изменений.
а DY
c
Матрицы решения связывают воздействия и отклики в се-
тях. Например, если заданы источники напряжения (ЭДС) e
miα
то токи
в ветвях новой сети равны
c2
Компоненты второго слагаемого в (3.95) вызваны соединением подсетей, заданных DC. Они преобразуют компоненты
вектора отклика в старой сети, состоящей из отдельных подсетей в компоненты вектора отклика в новой, соединенной сети.
, есть матрица из-
c
(3.95)
,
α
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
–1
211 1 1
–.
c c ct ct c
Z Z Z C CZ C CZ= DD D D
21 1
– –.
cc c c c
Z Z Z YZ Z Z= D= D
145
Формулы расчета по частям отличаются от формул пересчета решения тем, что им соответствуют только соединения, т.е.
уменьшение числа узлов (поскольку происходит соединение
подсетей), а матрица решения исходной сети состоит из независимых матриц решения подсетей. Поскольку формулы разъ-
единения подсетей здесь не рассматриваются, то в обозначении
матриц решения знак «плюс» опущен, т.е. пишется, например,
2
вместо Z
Z
c
c
2+
.
Для открытых сетей, разомкнутых путей используем общие
формулы отношений между матрицами решения в двойственных сетях, рассмотренные выше. Матрица решения для базиса
разомкнутых путей аналогична матрице решения (3.56) при наложении связей в сети и получается с использованием инварианта двойственности (3.55):
(3.96)
Таким образом, для j-путей матрица решения соединенной
сети Z
2
выражается через матрицы решения подсетей Z
c
1
и ма-
c
трицу изменения путей DC. Эту формулу также можно пред-
1
ставить в виде суммы матрицы решения Z
нений решения DZ
= ZDYcZ, причем DYc здесь остается той же
c
и матрицы изме-
c
самой, что в (3.94):
(3.97)
Отсюда видно, что эта формула практически такая же, как в
соотношении (3.55) и представляет преобразования метрических
параметров сети. По сравнению с (3.94), где метрические параметры увеличиваются с ростом количества переменных (замкнутых путей, контуров), здесь матрица изменения решения DZ
вычитается, что показывает двойственное уменьшение этих параметров с уменьшением количества разомкнутых путей.
При разделении данной сети на подсети в двойственной сети
также происходит разделение на подсети. Это следует из топологических соотношений между ветвями, узлами и подсетями.
При этом сумма замкнутых путей и разомкнутых путей в сово-
c
146
1ʹ
b9
b5
b7
4ʹ
b7
b4
b1
b4
Б
А
b6
b2
b10
b5
b1
b3
b8
b9
7ʹ
а
в
г
Б
А
b6
б
b2
b10
2ʹ
7ʹ
b3
9ʹ
p8ʹ
p8ʹ
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
купности двух двойственных сетей всегда остается постоянной,
хотя меняется число узлов, подсетей, число замкнутых и разомкнутых путей в каждой из сетей. Таким образом, между всеми парами подсетей в данной и двойственной сети возникают
такие же отношения, как если бы они рассматривались как независимые сети.
3.7. Пример расчета сети почастям
В качестве примера рассмотрим расчет по частям сети из
10 ветвей, которая разделена на три подсети, представленные
на рис. 3.9 [24]. Задача состоит в том, чтобы получить решение большой связанной сети по решениям подсетей, на которые она разделена.
p9ʹ
4ʹ
b
8
Рис. 3.9. Соединение подсетей в сеть с помощью r-сети
соединений; подсети: а – сеть 1; б – r-сеть соединений; в – сеть 2;
г – связанная сеть, в которой ранее разомкнутые пути 8′ и 9′
стали контурами и включают новые ветви
В матрице преобразования при соединении подсетей в сеть
часть разомкнутых путей замыкается. При этом появляются
новые элементы, соответствующие ветвям, через которые замыкается контур.
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
71
81
91
C
mj
mj
147
При расчете по частям сеть разделена на три подсети – два треугольника и сеть соединений, квадрат. Эти подсети показаны наверху. Внизу – связанная сеть, где квадрат соединяет треугольники.
Пути 8′ и 9′, которые в квадрате были разомкнуты, стали конту-
рами в связанной сети. Выбор замкнутых путей показан на схеме.
В данном примере ветви имеют веса (сопротивления), т.е. метрика неединичная. Проведем расчет потоков – откликов в ветвях на приложенные воздействия.
2
Матрица преобразования путей связанной сети C
′
11 11
′
21
′
31
′
4 111
′
51
2
=
′
61
′
′
′
′
10 1
−
−
–1 –1
–1 1
11 1
имеет вид
m
j
j
m
j
j
m
∆=∆
∆=∆
j
(3.98)
mC1
Здесь строки 1′, 4′, 7′ составляют матрицу
подсетей.
Вместе со строками 8′ и 9′, представляющими DC с измененными путями Dj = Dm, т.е. с разомкнутыми путями, которые пре-
mC2
вратились в контуры, они составляют матрицу
2r
сети. В матрице измененных путей DC
лены новые ветви из подсетей, которые замыкают в связанной
(в строках 8 и 9) добав-
связанной
сети разомкнутые пути, превращают их в контуры. Эти элементы выделены жирным шрифтом [19, с. 297]. При расчете по частям изменения в связанной сети производятся с помощью матрицы решения сети, двойственной к сети изменений.
Допустим, что в данном примере сеть возбуждается источниками напряжения, т.е. базисом для потоков энергии являются
замкнутые пути. Надо получить отклики на ветвях связанной
сети путем расчета подсетей, на которые она разделена. Для этого применим формулы расчета сети при изменении структуры,
148
11
c cc c
c ccc
Y YYY
Y YYY
DDD
= + DDD
DDD
1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 12
2 1 2 1
3 1 31
m
C jZ
j
′
−
′
= =
′
2
2
4 5 6 4 5 6
4111 43
5 1 5 1
61 62
m
C jZ
j
′
′
= =
′
7 8 9 10 7 8 9 10
7 1 1 1 1 72
8 1 84
9 1 91
10 1 10 2
r
r
m
j
CZ
j
j
′
−
′
= =
′
′
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
представленные выше. В данном случае подсети, составляющие
старую сеть, соединяются в связанную новую сеть. Рассматривается базис замкнутых путей. Таким образом, по матрице реше-
1
ния старой сети Y
трицу решения новой сети Y
и матрице изменений DYc надо получить ма-
с
2
по формуле (3.52).
с
Это можно представить через матрицы изменений подсетей,
которых в данной случае две, s = 2, и матрицу изменения s + 1
сети соединений подсетей в блочном виде:
21
YY Y
= +D =
cc c
1 1 1
sr ss
1 11 12 1
1
s Y sY Y Y
sr sr
11
+= +=
1 21 22 2
2
1 12
cr c c c
r r rr
+
r
r
(3.99)
Расчет блоков матрицы изменений DY
можно проводить па-
c
раллельно. В сумме с матрицей решения старой сети Y
2
матрицу решения новой сети Y
. Зададим матрицы преобразова-
с
ния и сопротивлений (метрики) для трех отдельных подсетей:
1
, она дает
с
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
′′
=− − × ×− ×
( )
′′
= × ××
149
Блоки подсетей выделены двойной линией и располагаются по
главной диагонали матрицы (3.98). Первая строка в каждой матрице – контур, остальные – разомкнутые пути. Для расчета подсетей надо обратить три матрицы (1 × 1). По этим исходным данным получим матрицы решения для подсетей и сети соединений.
mC1
Для сети 1 матрицей преобразования
являются первые три
столбца строки 1′ в матрице (3.98), а матрица решения имеет вид
1 11 1 1
mm m m
Y C CZ C C
= =
11
ct t
1 1 2 3 1
11 12 11
2111 11 2 1 21
1 2 3
′
–1
−
1
31 3 1 31
1 2 3
1 2 3
′
× −=− −
11 11 211 114
11 1 1
31 1 1
−
−
Для подсети 2, для которой матрица преобразования mC2 –
столбцы 4, 5, 6 строки 4′ в матрице (3.98), матрица решения
имеет вид
1 22 2 2
mm m m
Y C CZ C C
= =
22
ct t
4 4 5 6 4
41 43 41
51 4 1 1 1 5 1 51
61 6 2 61
4 5 6
′
4 5 6
′
×=
4111 511116
4111
–1
4 5 6
−
1
6111
150
( )
′′
−−
= − × ××
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Для сети соединений матрица преобразования mCr содержит
столбцы 7, 8, 9, 10 строки 7′ в матрице (3.98), матрица решения
имеет вид
1
mrmr mr mr
Y C CZ C C
= =
cr t r t
7 7 8 9 10 7
–1
−
1
71 72 71
81 8 4 81
7 8 9 10
′
71 11 1
91 9 1 91
10 1 10 2 10 1
7 8 9
7 8 9 10
′
71 11 1
×− =
8 11 1 1
91 11 1
10 1 1 1 1
71 11 1
−
− −−
−
−
10
19
Таким образом, получили матрицы решения подсетей, умножая которые на вектор воздействия, получим векторы откликов, т.е. токи в отдельных ветвях подсетей. Расчет каждой
подсети может выполняться параллельно и независимо от других. Преобразуем решения подсетей, соответствующих исходной сети, в решение связанной сети.
Расчет матрицы изменения решения. Эта матрица преобразует решение старой сети из отдельных частей в решение новой сети, соединенной в единое целое. На этом этапе с помощью
матриц решения подсетей формируем матрицу решения сети
пересечений. Эта сеть состоит из ветвей изменяемых путей, т.е.
замыкаемых при соединении подсетей (или размыкаемых при
разделении на части). Такие пути проходят через разные подсети и сеть соединения (если она выделена в отдельную подсеть),
т.е. «пересекают» их. Через эти пути подсети взаимно действуют в сети друг на друга.
Здесь получаем матрицу (s+2)-сети в квадратных скобках
(3.52) или (3.94). Для этого в каждой подсети вычисляются вы-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]