Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
1
m
t
j
mA
AC
j
A
−
= =
.
j jj
t
Y AY A=
61
получим сразу компоненты mic (измеримые величины), которые
являются откликами в ветвях связанной сети. Далее в главе 3
будем именно так решать задачу электрической цепи контур-
ным методом при заданных e
как источниках напряжения.
0
Разомкнутые пути. Базис разомкнутых путей является
взаимным относительно базиса замкнутых путей (определен
в подразделе 1.4). Через узлы начала и конца разомкнутого
пути проходят гиперплоскости, ортогональные ветвям сети.
В электрической цепи это эквипотенциальные поверхности,
создающие разность потенциалов на разомкнутом пути.
В свободных разомкнутых ветвях базис состоит из разомкнутых путей, а замкнутых путей нет. При соединении ветвей
часть разомкнутых путей замыкается, уменьшается число узлов. В соответствии с (2.1) и (2.2) появляется базис замкнутых
путей. Пути взаимного базиса путей в связанной сети выражаются через пути в свободных ветвях посредством матрицы преобразования A, как в (2.6). Матрица A является также матрицей преобразования C прямого базиса путей в двойственной
сети. Как показано в (2.6), матрица A преобразования взаимного базиса свободных ветвей в пути взаимного базиса связан-
m
ной сети состоит из подматриц
кнутых путей (они же подматрицы
A замкнутых путей и jA разом-
j
C и mC для двойственной
сети):
ется во взаимный базис путей в связанной сети
ле
разомкнутых путей обозначим
формуле (1.9) в подразделе 1.4:
риантными E и контравариантными I компонентами, которые
(2.15)
jpα
Взаимный базис путей в свободных ветвях
jpα
= jAjp
1
α
. В связанной сети метрический тензор в базисе
0
j
Y, он получается аналогично
преобразу-
0
jpα
по форму-
1
(2.16)
Вектор в базисе разомкнутых путей сети представлен кова-
62
11
.
j jj
I YE=
( )
–1
–1
11 0
.
j j j jj j
t
E Y I AY A AI= =
( )
–1
1 00
.
j jj j j j j
ct t t c
E A E A AY A AI Z I= = =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
обозначены заглавными буквами, чтобы отличать их от компонент в замкнутых путях.
В свободных ветвях обозначим эти компоненты как E
их связывает метрический тензор Y: I
= YE0, откуда E0 = Y–1I0.
0
В связанной сети обозначим компоненты вектора как
j
их связывает метрический тензор,
Y:
и I0,
0
j
E1 и jI1;
(2.17)
При переходе от свободных ветвей к связанной сети меня-
j
ются компоненты вектора. Контравариантные компоненты
I1
преобразуются как взаимный базис путей, относительно кото-
j
рого они ковариантные:
j
E1 разомкнутых путей связанной сети через метрический тен-
j
Y получим из (2.12):
зор
I1 = jAI0. Ковариантные компоненты
(2.18)
Это ковариантные компоненты в базисных разомкнутых
путях. Чтобы получить компоненты в отдельных ветвях свя-
j
занной сети
тых путей в пространство всей сети. Для этого матрицу
ножим на
Здесь Z
Ec, надо перейти из подпространства разомкну-
j
j
E1, получим
At ум-
(2.19)
представляет собой метрический тензор подпро-
c
странства разомкнутых путей связанной сети. По сути, это
матрица решения сети для разомкнутых путей. Умножая Z
справа на вектор I
j
Ec, т.е. отклики на ветвях связанной сети. Далее в главе 3
ты
, получим сразу ковариантные компонен-
0
будем именно так решать задачу электрической цепи узловым
методом при заданных I
как источниках тока.
0
Проблема состоит в том, что изменение структуры меняет
размерности подпространств замкнутых и разомкнутых путей. Матрицы преобразования путей становятся прямоугольными. Такие матрицы не имеют обратных матриц. Формаль-
c
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
,
cc
Z Y ZY I+=
.
cc
ZY Z Y I+=
63
но это означает, что нельзя делать обратных преобразований
структуры, например вернуть соединения после разъединений, поскольку это означает переход от пространства с меньшей размерностью к пространству с большей размерностью.
Это подобно попытке восстановить шар по его проекции на
плоскость. Однако очевидно, что после разъединения ветвей
можно затем снова соединить ветви, т.е. существуют обратные
преобразования структуры.
Двойственные сети позволяют решить эту проблему, поскольку в них сумма размерностей подпространств замкнутых
и разомкнутых путей постоянна. Это значит, что если в одной
сети размерность пространства растет, то в двойственной сети
размерность пространства уменьшается. Тогда можно рассмотреть изменение структуры в сети с уменьшением размерности и благодаря двойственности перейти к сети, где размерность пространства увеличивается. Это позволяет выполнять
как соединения, так и разъединения ветвей, производить расчеты преобразования структуры.
Матрицы решения (метрические тензоры) обеспечивают,
как показано выше, расчеты сетей при изменении структуры.
Эти метрические тензоры связывает соотношение, инвариант
двойственности при изменении структуры. Он состоит в том,
что при изменении структуры сумма метрических тензоров
замкнутых и разомкнутых путей в двойственных сетях остается постоянной и эта сумма равна метрическому тензору простейшей сети, состоящей из свободных ветвей. При переходе
от свободных замкнутых ветвей с метрикой Z или сети из сво-
–1
бодных разомкнутых ветвей с метрикой Y = (Z)
к сети из со-
единенных ветвей инвариант двойственности имеет вид
где I – единичная матрица.
Для двойственной сети этот инвариант имеет вид
(2.20)
(2.21)
64
( )
( ) ( )
–1
–1 –1
.
cc
m mm m j j j j
t tt
Y Z Y YZ Y
C CZ C C Y A AY A AY
==+=
= +
( )
( ) ( )
–1
–1 –1
.
cc
m mm m j j j j
t tt
Y Z Y YZ Y
C CZ C C Y A AY A AY
==+=
= +
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Таким образом, инвариант двойственности есть свойство пространства. Есть два вида путей – замкнутые и разомкнутые. Других видов путей нет. Асимметрия состоит в том, что замкнутые
пути можно представить разомкнутыми путями, а разомкнутые
пути нельзя представить замкнутыми путями. Замыкание пути
вводит новое измерение – одномерный путь охватывает часть
двумерной поверхности. По разомкнутым путям происходит
прямолинейное (поступательное) движение. По замкнутым путям происходит вращательное движение. Любое движение состоит из поступательного и вращательного движений. Других видов
движений нет. Двойственность сохраняет полноту замкнутых и
разомкнутых путей в пространстве. Замкнутому пути одной сети
соответствует разомкнутый путь в другой сети, и наоборот.
–1
Если задана метрика (веса ветвей) Z = Y
, то инвариант
двойственности – это постоянство суммы метрических тензоров
четырех видов: замкнутых и разомкнутых путей данной сети;
замкнутых и разомкнутых путей двойственной сети; замкнутых
путей сети и двойственной сети; разомкнутых путей сети и двойственной сети. Это выражают следующие четыре соотношения.
1. Метрический тензор замкнутых путей простейшей данной сети равен сумме метрических тензоров замкнутых и разомкнутых путей связанной данной сети:
2. Метрический тензор разомкнутых путей простейшей
двойственной сети равен сумме метрических тензоров замкнутых и разомкнутых путей связанной двойственной сети:
3. Метрический тензор замкнутых путей простейшей данной сети равен сумме метрических тензоров замкнутых путей
связанной сети и двойственной сети:
(2.22)
(2.23)
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
( ) ( )
( ) ( )
–1 –1
–1 –1
.
cc
m mm m m mm m
tt
m mm m j j j j
t tt
Y Z Y ZZ Z
C CZ C C Z C CZ C CZ
C CZ C C Y A AY A AY
==+=
=+=
= +
( ) ( )
( ) ( )
–1 –1
–1 –1
.
cc
jjj j j jj j
tt tt
j j j j m mm m
tt t
Z Y Z YZ Y
A AY A A Y A AY A AY
A AY A A Z C CZ C CZ
==+=
=+=
= +
( ) ( )
( ) ( )
–1 –1
–1 –1
.
m mm m m mm m
tt tt
m mm m j j j j
tt t t
C CC C C CC C
C C C C A AY A A I
+=
=+=
65
(2.24)
4. Метрический тензор разомкнутых путей простейшей
данной сети равен сумме метрических тензоров разомкнутых
путей связанной сети и двойственной сети:
(2.25)
Следует помнить, что в двойственных сетях выполняются
соотношения
Также очевидно, что Y
m
C = jA, mC = jA, Ct = A–1, Y = Z, Z = Y, Y = (Z)–1.
= Zc, а Zc = Yc.
c
Формулы (2.22) – (2.25) связывают метрику (Z, Y) и структуру (C, A) двойственных сетей независимо от наложенных
векторов или других объектов. Таким образом, это свойства самого пространства, в котором нет процессов, потоков, нет воздействий и откликов.
Если веса ветвей равны единицам, т.е. метрика единичная,
Z = Y = I, где I единичная матрица, то инвариант двойственности принимает простой вид, представленный в (2.26):
(2.26)
Инвариант двойственности здесь выражен только матрицами преобразования путей при переходе от простейшей сети к
связанной сети. В этом случае он не зависит от метрики, физических свойств ветвей, от потоков энергии или других потоков
в сети. Это показывает, что инвариант двойственности является свойством структуры пространства, таким же, как свойства
66
( ) ( )
–1 –1
;
m mm m j j j j
t t tt
џџџџ +=
( ) ( )
–1 –1
;
m mm m j j j j
t t tt
C CC C A AA A I+=
( ) ( )
–1 –1
;
mmm m mmm m
tt t t
CCC C CCC CI+=
( ) ( )
–1 –1
,
j jj j j jj j
tt tt
A AA A A AA A I+=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
однородности и изотропии. Таким образом, имеем четыре вида
инварианта изменения структуры двойственных сетей, когда
метрика единичная и в сети нет потоков:
• для замкнутых и разомкнутых путей в заданной сети:
• для замкнутых и разомкнутых путей в двойственной сети:
• для замкнутых путей двух двойственных сетей:
• для разомкнутых путей двух двойственных сетей:
где mC = jA, jA = mC; I – единичная матрица.
Если задана метрика (сопротивления, массы, вязкости) и
потоки энергии в виде воздействий и откликов, то этот инвариант проявляется как закон сохранения потока энергии при изменении структуры. Он связывает процессы и структуру в сетях, сетевых моделях сложных систем, обеспечивая переход
к другой структуре при соединении или разъединении.
Изменение границ элементов, числа узлов в сети, их слияние и разделение определяет изменение структуры. В теории
графов предполагается, что количество узлов (вершин графа)
не меняется. Изменение числа вершин приводит к изменению
графа, поскольку он определяется двумя инвариантами: множеством вершин-узлов и множеством ветвей-ребер. Сеть определяет только один инвариант: постоянным является множество ветвей, а узлы, границы ветвей, могут меняться.
Двойственная сеть дополняет изменение структуры сети
так, что остается постоянным число границ-узлов и остается
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
67
постоянной суммарная размерность подпространств замкнутых и разомкнутых путей. Метрические тензоры двойственных сетей дополняют друг друга до «целого», до единичной
матрицы, их сумма постоянна, инвариантна.
В электрической цепи с источниками тока или напряжения
инвариант двойственности состоит в постоянстве суммы рассеиваемых мощностей в двух двойственных сетях при любом
соединении их ветвей. Так проявляется закон сохранения потока энергии, который находится в ряду других законов сохранения (импульса, момента импульса, энергии). Этот закон
применяется для моделирования физических и технических,
экономических и биологических систем; обеспечивает возможность параллельных расчетов сложных систем по частям.
Законы сохранения определяют условия, при которых некоторые измеримые величины в замкнутой физической системе не меняются с течением времени. Законам сохранения
величин энергии, импульса, момента импульса соответствуют
свойства пространства и времени. Сохранение энергии связано
с однородностью времени, т.е. энергия при движении замкнутой системы постоянна и не зависит от начала отсчета времени.
Сохранение импульса связано однородностью пространства,
этому соответствует поступательное движение. Сохранение момента импульса связано с изотропией пространства, этому соответствует вращательное движение.
Постоянству потока энергии в замкнутой системе двух двойственных сетей при любых соединениях ветвей соответствует
двойственность структуры пространства.
2.6. Примеры инварианта двойственности
приизменении структуры
Выполнение инварианта двойственности для двух сетей.
Рассмотрим пример выполнения инварианта двойственности
для двух сетей из трех ветвей с двойственной структурой, которые представлены на рис. 2.11. Данный пример наглядно
показывает, что замкнутому пути p′
разомкнутый путь p′
в правой сети, а разомкнутым путям p′2 и p′3
1
в левой сети соответствуют замкнутые пути p′
Сети являются двойственными по отношению друг к другу.
в левой сети соответствует
1
и p′3 в правой сети.
2
68
а
A
p2ʹ
B
p3ʹ
b3
b2
b1
С
p1ʹ
b3
p2ʹ
123
1
0
2
3
1 11
1
1
m
j
ppp
p mC
Cp j
pj
C
α
′
−−
′
=
′
( )
123
1
1
2
3
1
11
11
jm
t
mj
ppp
pj
CA
CA C p m
m
p
CA
−
′
=
′
= = =
′
=
( ) ( )
–1 –1
.
mmm m mmm m
ct t t t
Y CCZC C CCC C= =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
p1ʹ
b2
Рис. 2.11. Двойственные сети из трех ветвей: а – заданная сеть,
один контур, два разомкнутых пути; б – двойственная сеть, два
контура, один разомкнутый путь
b1
б
p3ʹ
Матрица преобразования путей в простейшей сети к путям в
соединенной сети, которые показаны на рис. 2.11, а, имеет вид
Матрица преобразования путей в простейшей сети к путям
в двойственной сети, которые показаны на рис. 2.11, б, имеет
вид (индексы опущены):
Получим матрицу решения данной контурной сети при единичной метрике Z = I:
ветствует подматрица
В заданной сети один контур p′
m
0
C
α
(2.27)
, которому в матрице C
1
0
соот-
α
, состоящая из одной первой строки:
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
0
1 2 3
11 1 1
m
Cm
α
′
= −−
0
1 2 3
211
31 1
m
m
C
m
α
′
=
′
′
′′
′′
( )
−
−−
−−
( ) ( ) ( )
–1 –1 –1
.
mmm m mmm m j jj j
ct t t t t t
Y CCZC CCCC CAAA A= = =
69
В двойственной сети подматрица mC
это контуры p′
и p′3:
2
0
состоит из двух строк –
α
Задание студентам: по заданным на схеме путям построить полные матрицы преобразования данной сети и
двойственной сети.
Сначала вычислим выражение в скобках (2.27) и получим
обратную матрицу:
1
1
−
11
−
31
′
1
1 13
mm
1 2 3 1
CC
= − − −=
1 1 1 1 2 1 1 3
t
m mm
= =
Y CC
( )
t
′
Далее получим
m mm m
Y C CC C
= =
ct t
′
1 1 2 3
1 1 1 13 13 13
2 1 1 1 3 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 3
=− − −=−
′
1 1 2 3
′′
1
3 1 3 13 13 13
Получим матрицу решения двойственной контурной сети
при единичной метрике:
(2.28)
70
211 22 1
31 1 31 2
′′
′′
′′
′′
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 13 13 13 1 23 13 13 1 1
2 13 13 13 2 13 23 13 2 1
3 13 13 13 3 13 13 23 3 1
−−
− + −=
−−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Сначала вычислим выражение в скобках в (2.28) и получим обратную матрицу:
2 3
mm
CC
1 2 3 2 3
= =
t
11 1
2 1
31
′′
2 3
1
−
′
mm
CC
( )
2 23 13
=
t
′
3 13 23
−
−
Далее получим
m mm m
Y C CC C= =
ct t
′′
2 3 1 2 3
1 1 1 1 23 13 13
2 1 2 1 3 2 3 1 3
= = −
3 1 3 13 13 23
′′
2 3 1 2 3
′′
2 23 13 2 1 1
′′
3 13 23 3 1 1
−
−
–1
−
Сложив матрицы решения (метрические тензоры) данной и
двойственной сети, получим единичную матрицу, что подтверждает выполнение инварианта двойственности Y
+ Yc = I:
c
Данный пример показывает выполнение инварианта двойственности для сетей, в которых веса ветвей равны единицам,
т.е. единичная метрика пространства структуры.
Инвариант двойственности при изменении структуры се-
тей. Две двойственные сети из пяти ветвей даны на рис. 2.12.
Для них получим матрицы преобразования, метрические тен-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]