Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
–,jJs=
.nmj= +
41
туры происходит в двух частях ветви. Например, размыкание
замкнутой линии в одной части приводит к замыканию разомкнутой линии в другой части ветви, и наоборот. Таким образом, минимальной ячейкой сети, как бы «молекулой», обладающей всеми свойствами сети, следует считать сеть из двух
ветвей.
2.3. Изменение структуры сети
Обозначим количество ветвей в сети через n, узлов – J, подсетей – s, независимых замкнутых путей – m (в теории графов
это цикломатическое число графа), независимых разомкнутых путей – j (ранг графа). Для каждой схемы соединения ветвей, структуры, эти пять параметров имеют значения, определяемые известными топологическими соотношениями:
(2.1)
(2.2)
Данные соотношения принимают по определению (Свами,
1984 [43], Горбатов, 2003 [9]) или ссылаются на исследования
топологов (Хэпп, 1974 [47]). Рассмотрим последовательно,
шаг за шагом, как получаются эти соотношения. Пусть есть
n разомкнутых, не соединенных ветвей. Тогда число узлов
J = 2n, а подсетей s = n. По каждой ветви есть разомкнутый
путь, проходящий от одного узла, границы ветви до другого; в
том же направлении, что и ориентация ветви, или в противоположном. Таким образом, базис состоит из разомкнутых путей j = n, при этом j = J – s = 2n – n = n.
При соединении двух отдельных ветвей по одному узлу два
узла сливаются в один, а две подсети – в одну подсеть. Число
узлов и подсетей уменьшится на единицу, т.е. число разомкнутых путей не изменится. Присоединяя ветви одним узлом
к узлам сети, получим, что каждый раз в сети на один узел
станет меньше и на одну подсеть меньше. Когда все ветви подключены одним узлом, то получим одну подсеть, s = 1, а число узлов составит J = n + 1, все пути остаются разомкнутыми.
Это граф типа «дерево».
42
–.
s
nJ s=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Теперь при соединении любой ветви вторым узлом на один
узел станет меньше, но подсеть останется одна. Таким образом, разомкнутых путей станет на один меньше, j = n – 1,
а значит, их базис станет меньше размерности пространства
сети. Вместе с тем при этом в сети возникает контур, поскольку какие-то две ветви будут соединены двумя узлами. Этот
контур станет началом базиса замкнутых путей. При подключении других ветвей вторыми узлами будет уменьшаться
число узлов, как и число базисных разомкнутых путей. Будет
расти число замкнутых путей. Когда разомкнутый путь исчезает, то замкнутый путь возникает, и наоборот. Этому соответствует соотношение (2.2). Этот процесс будет продолжаться
до тех пор, пока останется один узел, к которому подключены
все ветви-контуры. Тогда разомкнутых путей не останется, j = 0,
а число замкнутых путей, контуров, станет равно числу ветвей, m = n.
Если сеть состоит из s отдельных связанных подсетей, то,
проводя такие рассуждения, получим, что в каждой подсети
есть один «лишний» узел сверх числа ветвей, тогда общее количество узлов в полной сети J
= n + s, а число ветвей:
s
(2.3)
На рис. 2.4 показан пример изменения числа узлов и подсетей при соединении четырех разомкнутых ветвей, начиная
с рис. 2.4, а. Сначала присоединяем ветви одним узлом, получаем связанную сеть (рис. 2.4, б).
Построим базис разомкнутых путей в связанной сети. Каждый разомкнутый путь входит в один узел, проходит по ветвям и выходит из другого узла. Выбрав любой путь, охватим
два узла. Выберем каждый новый путь так, чтобы он добавил
еще один новый узел. Добавляя по одному узлу в каждый новый путь, охватим все узлы за j шагов. Далее новые пути будут проходить через уже охваченные узлы. Их можно выразить через уже построенные пути, т.е. новые пути линейно
зависимы. Таким образом, пути, охватившие все узлы, образуют базис в подпространстве разомкнутых путей пространства сети.
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
а
б
в
b3
b4
b2
b1
b1
b2
b3
b4
b4
b1
b2
b3
b4
b2
b3
b1
b3
b4
b2
b1
b1
b2
b3
b4
г
д
е
43
Рис. 2.4. Изменение структуры сети при изменении соединения
ветвей: а – свободные ветви образуют разомкнутые пути;
б – ветви связаны в сеть, граф которой – «дерево», контуров нет;
в, г, д – соединение двух узлов дает один новый независимый
контур, один независимый разомкнутый путь исчезает;
е – разомкнутых путей нет, свободные ветви образуют контуры
Замкнутый путь можно представить комбинацией разомкнутых путей, например тех, которые проходят через составляющие его ветви. Но до этого в дереве независимые пути строили присоединением нового узла, а значит, и ведущей к нему
ветви (узлы в сети – это границы ветвей, в отличие от графов,
где возможны узлы как изолированные вершины). Это означает, что в состав контура войдет хотя бы одна ветвь, не входящая в другие независимые разомкнутые пути. Кроме того,
по построению любая ветвь, замыкающая контур, линейно
зависима от остальных ветвей, его составляющих, поскольку
соединяет уже охваченные другими путями узлы. Таким образом, полученный контур нельзя представить комбинацией
оставшихся независимых разомкнутых путей. Он представляет собой новое измерение и относится к подпространству замкнутых путей. Его появление уменьшает базис подпространства разомкнутых путей на единицу. Пример представлен на
рис. 2.4, в. Общее число путей остается прежним и равно числу ветвей.
44
.p Cp
α
b bα
=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
При соединении затем любой пары из оставшихся узлов
число разомкнутых путей будет каждый раз уменьшаться на
единицу, а число контуров – увеличиваться на единицу. Если
соединять узлы из разных подсетей, то число контуров и разомкнутых путей не изменится, поскольку уменьшение числа
узлов уменьшает число подсетей. Соединив последние два узла
в один, получим «цветок с лепестками» – контурами, сходящимися в одном узле. Число контуров теперь равно числу
ветвей, а разомкнутых путей нет. Разрывая затем оставшийся узел и отделяя по одной ветви, получим каждый раз один
новый узел, соответствующий отдельному контуру, и одну новую подсеть. Это в соответствии с (2.1) не меняет числа разомкнутых путей, равное теперь нулю. Разъединив все ветви, получим набор отдельных свободных контуров, показанный на
рис. 2.4, е.
Таким образом, при изменении структуры сети суммарное
число независимых замкнутых и разомкнутых путей оставалось постоянным, равным количеству ветвей: n = m + j, т.е.
выполняется соотношение (2.2). Базисы замкнутых и разомкнутых путей двойственны: они дополняют друг друга до полного пространства сети и в то же время противоположны друг
другу – появление пути одного типа уничтожает путь другого
типа.
Преобразование путей при изменении соединения ветвей,
изменении структуры сети. Полный набор линейно незави-
симых путей в сети образует базис. Другие возможные пути,
не вошедшие в базис, выражаются линейными комбинациями
путей базиса. Коэффициенты выражения путей нового базиса
путей p
образования путей C
через пути старого базиса pα составляют матрицу пре-
b
α
:
b
(2.4)
При изменении соединений в сети пути могут проходить
по другим ветвям.
Пример изменения структуры сети и преобразования базиса путей дан на рис. 2.5.
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
а б A
p1ʹ
b1
b2
b3
b4
p1
p2
p4
B
p4ʹ
p2ʹ
b3
b4
p3ʹ
b2
b1
С
1 2 11
21 2 2
3 123 3 3
4 3 44 4
;
;
;
;
p p pb
p p p b p Cp
p ppp p b
p p pp b
α
′′
b bα
′
= =
′
= = =
′
=−++ =
′
= −=
p3
Рис. 2.5. Базисы замкнутых и разомкнутых путей в сети и их
преобразование: а – базисные пути в сети из свободных ветвей;
б – базисные пути в связанной сети
45
Условия построения базиса путей в пространстве сети:
• разомкнутые пути должны охватить все узлы;
• замкнутые пути должны охватить все ветви.
Четыре свободные ветви на рис. 2.5, а соединяются в сеть
из тех же ветвей (одна подсеть), n = 4, s = 1, с тремя узлами,
J = 3, на рис. 2.5, б.
Выбранные пути в новой, связанной сети выражаются через пути в старой сети, состоящей из свободных ветвей:
Пути в сети из четырех свободных ветвей на рис. 2.5, а
обозначены как p
на рис. 2.5, б – как p
, а пути в сети из четырех связанных ветвей
α
, где α, b принимают значения от 1 до 4,
b
перечисляя все пути. В сети из свободных ветвей пути совпадают с ветвями, но могут отличаться по ориентации. Коэффициенты выражения путей базиса в связанной сети через пути
в свободных ветвях составляют матрицу преобразования путей:
46
1234
1
2
3
4
1
1
11 1
11
j
m
pppp
p
j
C
p
j
C
p
m
C
p
m
α
b
α
b
′
′
=
′
−
′
−
44 1 234
pb pppp
′
= = +
==−++−
′′′′
−−
( )
–1
.p Cp C p
bα
α αb b b
= =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
(2.5)
Индексы в левом верхнем углу матрицы указывают, какой
набор путей, базис, задан по данным строкам или столбцам.
Буквы сбоку матрицы обозначают: j – разомкнутый путь, m –
α
замкнутый путь. В матрице C
строки перечисляют, какие вет-
b
ви (пути в отдельных ветвях), с какой ориентацией составляют
данный путь. Элементы столбцов показывают, в какие пути
и с какой ориентацией входит данная ветвь. Матрица С состо-
m
ит из подматриц преобразования замкнутых
j
C путей. Подматрица mC используется для расчета контурной
C и разомкнутых
сети, сети с внутренним воздействием; в электротехнике аналогом является контурный метод расчета электрической цепи.
Обратное преобразование выражает пути в свободных ветвях через пути в связанной сети, тогда матрица преобразования от путей в связанной сети к путям в сети, состоящей из
свободных ветвей, имеет вид
pb p
11 2
pb p
= = +
22 1
pb ppp
==−++
33 1 23
′
′′′
′′′
bα
= =
CA
α
α
p
1
p
2
t
0
p
3
p
4
b
pppp
1234
1
1
−
11 1
11 1 1
j j mm
(2.6)
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
( )
1234
1
1
2
3
4
1 11
1 11
011
1
jm
t
mj
pppp
p
j
AC
p
j
AC
p
m
AC
p
m
−
α
b
′
−−
′
= = =
′
′
−
47
Если транспонировать эту матрицу, то получится ортогональ-
–1
ная к С матрица (С)
, которую обозначим как А: А = (С)
t
описывает преобразование взаимного базиса путей (а также является матрицей преобразования путей двойственной сети С):
Подматрица jА матрицы А используется для расчета сети
с внешним воздействием; в электротехнике аналогом является
узловой метод расчета электрической цепи.
α
Матрица C
содержит коэффициенты преобразования пу-
b
тей из свободной сети в связанную сеть, а матрица C
содержит коэффициенты обратного преобразования путей из
связанной сети в сеть свободных ветвей. Перемножение матриц
обратных преобразований дает единичную матрицу C
Студентам предлагается это проверить.
Непрерывность путей. С точки зрения потоков в сети пути
как координаты должны быть без разрывов и без разветвлений, тогда поток будет постоянным в пределах данного пути.
Однако прерывистые пути могут возникать при изменении
структуры. Дело в том, что при новом соединении ветвей старые непрерывные пути могут оказаться разорванными или
получить разветвления. Такие пути могут называться путями, но представлять потоки они не могут. Предполагается,
что поток остается постоянным на протяжении выбранного
пути. При разрывании пути этого гарантировать нельзя. Однако пока в сети нет воздействий и нет потоков, все возможные
пути остаются равноправными наборами ветвей.
Когда в сети есть потоки, представленные воздействиями
и откликами, то возникает задача расчета сети, т.е. расчет откликов на приложенные воздействия. Тогда оказывается, что
решение существует только для базиса непрерывных путей,
b
= (C
α
b
C
α
–1
t
α
= I.
b
. Она
α
)–1
b
48
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
без разрывов и разветвлений. Представление путей в матрице
преобразования, которая формирует решение, воспринимается
так, как если бы разорванные или ветвящиеся пути соответствовали другой структуре. Такой структуре, в которой данный набор ветвей составлял бы непрерывный путь. Это может
вступать в противоречие с возможностью построения структуры сети с любым заданным набором «правильных» путей в качестве базиса, однако это уже задача синтеза.
В теории графов для построения базисных наборов циклов
и разрезающих множеств сначала выбирают остов графа (так
строится и базис разомкнутых путей) включением на каждом
шаге по одному новому узлу. Получается независимое (базисное) множество разрезов. Затем подключают по одному ребра,
не вошедшие в остов (хорды), каждое из которых определяет
базисный цикл, поскольку каждый новый цикл содержит хотя
бы одну новую ветвь (ребро), не входящую в другие циклы.
Такой подход не всегда дает однозначное построение базиса. Пример того, что построение базисных циклов с помощью базисных хорд и остова может быть неоднозначно
дан на рис. 2.6. Построение остова дает набор независимых
j-путей, но замыкание хордами набора базисных циклов может привести к охвату всех ветвей прежде, чем будут замкнуты все базисные хорды. Построим для сети на рис. 2.6 базисную систему циклов как пример того, что независимый контур
может не содержать новой хорды.
Остов для графа на рис. 2.6, а представлен на рис. 2.6, б
жирными линиями. Базисные хорды для него представлены жирными линиями на рис. 2.6, в. Замыкая остов наружными хордами, получим три базисных цикла, обозначенных
пунктиром. Однако возник и четвертый базисный цикл из самих наружных хорд, а хорда внутри схемы еще не использована.
В теории графов каждый базисный цикл должен включать
только одну хорду, которая не входит в другие базисные циклы. Здесь же хорды сами образовали цикл, который не является линейной комбинацией уже построенных циклов (следовательно, является базисным), а еще не все базисные хорды
использованы.
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
а
б
в
C
B
C
E
а
б
E
A
A
Рис. 2.6. Построение базисных циклов с помощью базисных
хорд и остова не всегда однозначно
49
Аналогичная ситуация существует для двойственного графа, который показан на рис. 2.7, а жирными линиями. Он
дан отдельно на рис. 2.7, б, где остов показан пунктиром, а замыкание хордами дает два отдельных цикла-контура. Эти циклы могут быть базисными, но не включают ребра-ветви остова, а состоят только из хорд.
Рис. 2.7. Построение базисных циклов в двойственном графе
также не всегда однозначно
Простейший базис разомкнутых путей можно составить из
ветвей остова. Поскольку первая ветвь при этом охватит два узла,
50
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
а каждая следующая добавит еще один узел, то пути окажутся независимыми друг от друга. Чтобы представить другой разомкнутый
путь, связывающий два любых узла, достаточно перечислить все
ветви, связывающие эти узлы в остове, что, по определению остова, всегда возможно. Любая ветвь, не вошедшая в остов, соединит
два уже соединенных узла, т.е. создаст замкнутый путь (контур).
Замкнутые и разомкнутые пути превращаются друг в друга: при замыкании узлов-границ разомкнутого пути получим
замкнутый путь, при расщеплении точки-узла в контуре на
два узла получим разомкнутый путь; размерность их базисов
подчиняется условиям (2.1) и (2.2).
Хотя набор линейно независимых разомкнутых путей не
может представить замкнутый путь, но зависимые разомкнутые
пути могут представить замкнутый путь. При этом набор замкну-
тых путей не может представить разомкнутый путь. По этой причине в матрицах преобразования путей есть асимметрия. Она со-
стоит в том, что подматрица, которая связывает замкнутые пути
и разомкнутые пути, состоит из нулевых элементов; т.е. они составляют нулевой блок (как на представленных выше матрицах).
Наличие нулевого блока в матрицах преобразования дает алгоритмы для расчета изменения процессов в сетях (и моделируемых сетями сложных системах) с переменной структурой. Это не
только изменение соединения элементов, но и разделение сети на
подсети либо соединение отдельных подсетей в связанную сеть.
Возможность разделения целого на части или соединения целого из частей позволяет производить расчет и анализ сложных систем по частям. Это повышает скорость расчетов, позволяет применять вычислительные системы с параллельной архитектурой.
2.4. Двойственные сети
Двойственными являются замкнутые и разомкнутые пути,
воздействия и отклики, сеть и двойственная к ней сеть. В сетях с двойственной структурой постоянна сумма размерностей
дополняющих друг друга подпространств замкнутых и разомкнутых путей. Например, при соединении двух ветвей в сети
два узла сливаются (уменьшается число узлов). В результате
возникает один новый независимый замкнутый путь, увеличивается размерность подпространства замкнутых путей. При
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]