Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем
Абстрактная система с
структурой из ветвей
Абстрактная система с
2-мерной структурой
Проведение кривых по
экспериментальным данным
Многомерные
фильтры
Абстрактная система с
многомерной структурой
Обобщенная сложная
процессов и структуры)
Электрические цепи
и системы
Волновой
автомат Крона
Электромеханические
Электрические модели для
Модели механичес-
ких конструкций
Модели многоатомных
молекул
Модель ядерного
Модель транспортной
задачи
Системы и сети с
машинами
Двигатели, генераторы,
трансформаторы
Сети в экономике:
Модели управления цепями
Модели установок
Модель шахтной
Модель межотраслевого
Теория
машин Крона
31
Основные виды тензорных сетевых моделей физических,
технических и экономических систем, области их приложения представлены на рис. 1.1 [19]. Элементами таких моделей
могут быть линии, двумерные поверхности, объекты с более
высокой размерностью [14, 15].
система (соединение
многими процессами и
одним процессом и
уравнений Максвелла,
Шредингера, Навье – Стокса
реактора
баланса в экономике
нефтепереработки
двумя процессами и
преобразователи
электрическими
вентиляции
поставок в логистике
электрических
производство – финансы –
товарные рынки
МЕТОД ДВОЙСТВЕННЫХ
СЕТЕЙ
Рис. 1.1. Виды тензорных сетевых моделей, области
их приложения
Двойственные сети применяются для создания сетевых моделей сложных открытых и замкнутых систем в различных предметных областях. Сетевые модели обеспечивают расчеты и анализ поведения открытых и замкнутых систем при изменении
связей, при разделении на подсистемы или объединении частей
в целое [15, 19, 30, 34, 35]. Основой расчета сетевых моделей тензорным методом является применение инварианта двойственности. Для анализа поведения сложных систем применяются
алгоритмы расчета сетей при изменении структуры соединения
элементов, в том числе алгоритмы расчета по частям [13, 16,
21, 47, 48], которые могут применяться для параллельных вы-
32
числений. Тензорный метод двойственных сетей используется
в образовании [22, 29, 33, 37, 38]. Сетевые модели в технике применяются для расчета электрических сетей [12, 14, 15, 16, 47],
электрических машин [14, 15], анализа работы нефтеперерабатывающих установок [26, 31, 44, 45, 49, 52], месторождений [7,
8], систем шахтной вентиляции [23, 39], ядерного реактора, лопаток турбин, механических конструкций [15]. Сетевые модели
применяются для расчета межотраслевого баланса [16, 18, 22],
анализа деятельности банков [11, 16, 17, 20], систем производства [2, 3, 6, 20], транспортной задачи в системах логистики [15,
21, 22, 40]. Известны применения для моделирования информационных, живых систем, систем принятия решений [1, 15, 32].
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Выводы поглаве 1
Тензорный метод представляет системы разных предметных областей как проекции обобщенной системы в разные системы координат. В качестве эталонной системы используется
сеть. Сеть состоит из элементов, ветвей и структуры их соединения. При изменении соединений, слиянии и разделении
границ ветвей меняется структура. Координатами в структуре
являются замкнутые и разомкнутые пути. Их подпространства ортогональные и дополняющие друг друга до полного
пространства сети. Преобразования в пространстве структуры
обеспечивает инвариант двойственности, например постоянство суммы метрических тензоров двойственных сетей.
Процессы и структура представлены обобщенной системой,
а конкретные системы являются ее «проекциями» в системы
координат. Это позволяет проводить анализ и расчет физических, технических и экономических систем одним методом.
Тензорный метод обеспечивает расчет сетевых моделей сложных систем с переменной структурой. Результаты исследований на модели применяются в реальной системе для определения изменения ее поведения при различных условиях.
Контрольные вопросы
1. Что такое сложная система? Приведите примеры слож-
ных систем.
ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем
2. Что такое процессы и структура связей сложных систем?
Приведите примеры.
3. Каковы свойства тензора при изменении системы коор-
динат?
4. В чем состоит отличие непрерывного пространства от
пространства структуры?
5. В чем заключается различие замкнутых и разомкнутых
путей?
6. Каковы воздействия, отклики и метрика в сети, их пре-
образование при изменении структуры?
7. В чем заключается двойственность понятий в филосо-
фии и математике?
8. Что такое двойственность понятий в пространстве струк-
туры?
9. Как меняется базис при изменении системы координат?
10. Что такое ковариантность и контравариантность?
11. В чем преимущества тензорного метода моделирования
систем?
12. Каковы области применения тензорного метода моде-
лирования сложных систем?
13. Что такое обобщенная система, простейшая сеть, свя-
занная сеть?
14. Почему необходимо совместно моделировать процессы
и структуру систем?
15. Охарактеризуйте процессы как потоки в элементах си-
стем. Приведите примеры.
16. Что представляет собой структура системы?
33
Тесты
1. Тензорный метод среди методов моделирования слож-
ных систем – это:
а) расчет, анализ, проектирование систем с переменной
структурой;
б) исследование поведения системы с постоянной структурой;
в) модели искусственных нейронных сетей;
г) моделирование процессов с постоянными потоками.
34
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
2. Сложная система представляет собой:
а) множество элементов;
б) множество элементов с процессами и структурой связей
между элементами;
в) множество связей между элементами, составляющими
структуру системы;
г) множество узлов – границ элементов.
3. Сетевая модель – это:
а) представление сетью структуры сложной системы;
б) графическое представление сложной системы;
в) представление сетью структуры и процессов в сложной
системе;
г) представление сетью процессов в сложной системе.
4. Тензор – это:
а) число;
б) вектор;
в) матрица;
г) объект с линейным законом преобразования компонент.
ГЛАВА 2.
Тензорный анализ сетей
В главе 1 рассмотрена методология применения тензорного метода к созданию сетевых моделей, представляющих процессы и структуру систем. Рассмотрим свойства сетей, которые
позволяют применять их в качестве сетевых моделей процессов и структуры систем.
Основой тензорного метода в пространстве структуры являются сети, состоящие из элементов, одномерных отрезков (ветвей) соединение которых может меняться. Изменение соединений ветвей есть преобразование структуры. В элементах сети
протекают процессы – отклики на приложенные воздействия.
Источники воздействия могут быть как вне сети, так и внутри
нее. Это соответствует аналогии с процессами и структурой реальных систем.
Задача расчета сети состоит в определении значений откликов на приложенные воздействия, а также расчете изменения значений параметров потоков (процессов) при изменении
структуры, например при соединении сложной системы из отдельных элементов, при разделении системы на элементы или
подсистемы, состоящие из ряда элементов, присоединении
или отсоединении (выходе из строя) отдельных подсистем
и т.д. Использование результатов расчета одной структуры
системы для получения результатов расчета других структур
с помощью матриц преобразования повышает эффективность
вычислений.
2.1. Элементы сети
Определим сеть как совокупность протяженных элементов, обладающих границами и ориентацией (направлением).
Элементами не могут быть точки, поскольку они не имеют границ. Элементами сети могут быть отрезки линий, ветви, границами которых являются точки (узлы). Ориентацию ветвей задает порядок прохождения от одной границы ветви до другой.
Вообще говоря, элементами могут быть поверхности (2-симплексы), границами которых являются линии и точки. Аналогично можно определить сети более высоких размерностей.
36
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Координатами в пространстве структуры сетей являются
пути – линии, проходящие вдоль элементов. Пути имеют направление, ориентацию, которая совпадает с ориентацией ветвей, через которые проходит путь, или противоположна ей.
Существуют замкнутые и разомкнутые пути, которые образуют независимые подпространства в структуре. При изменении
структуры сети размерности этих подпространств меняются, поскольку одни пути замыкаются, а другие размыкаются. В сети
с двойственной структурой замыканиям соответствуют размыкания, и наоборот. Суммарная размерность подпространств
замкнутых и разомкнутых путей в двух двойственных сетях
остается постоянной. Таким образом, две сети с двойственной
структурой образуют единое пространство с постоянными размерностями подпространств замкнутых и разомкнутых путей.
Движения в пространстве, которые являются основой процессов, можно разложить на перемещение и вращение. Перемещение, поступательное движение происходит по открытым
путям, вращение – по замкнутым путям. Это позволяет представить процессы в разных системах сетевыми моделями,
пространство структуры которых состоит из замкнутых и разомкнутых путей. Замкнутые пути являются базисом для внутренних процессов в сети, а разомкнутые пути являются базисом для внешних потоков, взаимодействия сети с окружающей
средой, например с другими сетями.
2.2. Структура иметрика ветвей
Будем рассматривать сети из одномерных ветвей, представленных линиями с границами (точками или узлами). Каждая
ветвь определяет одно измерение в пространстве сети. Размерность такого пространства равна количеству ветвей, составляющих данную сеть.
Структура сети есть совокупность соединений элементов,
независимо от того, отделены границы элементов друг от друга или связаны. Сеть представлена пространством структуры,
которое существует только вдоль ветвей. Координатами в сети
являются замкнутые и разомкнутые пути. Набор линейно независимых путей образует базис. При изменении структуры,
т.е. соединении и разъединении ветвей, число границ-узлов
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
Ветвь n = 1
Ветвь n = 1
Открытый элемент
Замкнутый элемент
Ориентация элемента
Поток на входе
Поток внутри
37
меняется. Сама сеть не меняется, пока состоит из тех же ветвей, а разные соединения суть ее проекции в разные системы
координат. Если в прежней структуре сети изменить выбор
путей базиса, как замкнутых, так и разомкнутых, то это также является преобразованием системы координат.
Ветви назовем свободными, если их границы отделены друг
от друга, в противном случае назовем элементы связанными.
Ветви можно соединять путем слияния их границ, узлов. Ветви
можно разъединять путем разделения соединенных границ. Изменение связей ветвей, т.е. соединение, разъединение границ
есть преобразование структуры. При этом меняются не только
параметры структуры (например, замкнутые и разомкнутые
пути), но также параметры процессов, происходящих в системе
(значения величин воздействия, откликов, метрики).
Основные понятия ветви как элемента сети представлены
на рис. 2.1. Справа даны топологические показатели для открытой ветви и замкнутой ветви.
Узлов J = 2
Подсетей s = 1
Открытый путь
j = J – s = 2 – 1 = 1
Разомкнутый путь
Замкнутый путь
m = n – j = 1 – 1 = 0
замкнутая ветвь и пути в них. В двумерных элементах (гранях),
Ориентация ветви определяется заданным порядком прохождения от одной границы до другой границы. Ориентация
ветви, одна из двух возможных, задается произвольно и далее
Узлов J = 1
Подсетей s = 1
Открытый путь
j = J – s = 1 – 1 = 0
Замкнутый путь
Рис. 2.1. Одномерные элементы сети – открытая ветвь,
путями являются открытые и замкнутые поверхности
Замкнутый путь
m = n – j = 1 – 0 = 1
38
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
не меняется. Выбор и изменение ориентации путей является
преобразованием координат в сети.
Ориентации замкнутой и разомкнутой частей ветви двойственны, они дополняют друг друга. Если в замкнутой части
ветвь имеет одну ориентацию, то в разомкнутой она имеет
противоположную ориентацию. В разомкнутой ветви можно
указать порядок границ: что считать началом, а что – окончанием ветви. Тогда можно менять ориентацию с направления
«от начала к концу» на направление «от конца к началу».
Для замкнутой ветви нет начала и конца. Задать порядок
двух точек можно на метрическом параметре, который сосредоточен в одной точке или распределен по ветви. В электрической цепи Г. Крон обозначал числами 1 и 2 начало и конец
участка сопротивления ветви (пренебрегая сопротивлением
оставшейся части ветви) и считал направление от 1 к 2 положительным [15]. Если метрический параметр распределен
по всей длине замкнутой ветви, то нельзя указать точки его
начала и окончания. Таким образом, для ветвей с сосредоточенными параметрами проще задать их ориентацию.
Путь – это маршрут, абстрактная линия, проходящая по
ветвям сети. Для определения пути задают узел начала, узел
окончания и ветви, через которые он проходит. Пути играют
роль координат в пространстве сети. Если начальный и конечный узлы пути совпадают, то путь замкнутый (обозначим m –
mesh, контур), в противном случае – разомкнутый (обозначим
j – junction, узел). Ориентацию, направление пути определяет
порядок прохождения по элементу (или элементам) от одной
границы к другой. Ориентация пути может совпадать с ориентацией составляющих его ветвей или быть противоположной;
это определяют знаки «плюс» или «минус», с которыми каждая ветвь входит в состав пути.
Три возможности изменения структуры, например размыкания и замыкания ветви, показаны на рис. 2.2. Можно в замкнутом контуре точку разделить на две точки, получим разомкнутую ветвь. Или точку в контуре удалить на бесконечность,
сделав ее несобственной точкой в смысле проективной геометрии. Или наоборот, несобственную точку сделать собственной.
Или в замкнутой ветви на плоскости одну точку вывести в тре-
ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей
Метрика, материя;
Воздействие
Границы ветви –
узлы
ВЕТВЬ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
∞ –
бесконечности
Точка
Размыкание контура – одна точка
внешнее
внутреннее
Замыкание контура – несобственная точка
Разомкнутая ветвь
Замкнутая ветвь
Размыкание контура – одна точка
ВЕТВЬ НА ПЛОСКОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Точка из контура удалена в
третье измерение
Замкнутая ветвь превращается в
39
тье измерение, чтобы ветвь стала разомкнутой. Тогда третье измерение играет роль бесконечности в проективной геометрии.
сосредоточенный параметр
контура
несобственная
точка контура
на
удаляется на бесконечность, возникают
границы – узлы
разомкнутую ветвь
возвращается из бесконечности, замыкает
границы – узлы
удаляется из плоскости в третье
измерение, возникают границы – узлы
Рис. 2.2. Размыкание и замыкание ветвей
Метрическая характеристика. Ветвь может иметь вес,
который представляет собой метрическую характеристику ее
«масштаба» по аналогии с массой, электрическим сопротивлением, теплоемкостью в физике. В экономике это коэффициенты прямых затрат, ставки привлечения и размещения денеж-
40
Верхняя часть ветви замкнута
(контур), нижняя – разомкнута
α-сеть
В сумме двух частей ветви:
nα = 1, J
= 2,
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ных средств и т.д. Вес ветви задается изначально и не меняется
в данной сети. Вес можно задать целым числом, рациональным, действительным или комплексным числом, функцией.
Величина метрики, веса ветви – это ее собственная характеристика. Она не зависит от наличия процессов, потоков в сети.
Если веса всех ветвей равны единицам, то метрика единичная. Это не означает, что метрики нет – материальные свойства элементов, их физическая размерность (массы, сопротивления и т.д.) сохраняются при любых числовых значениях.
Значение метрической характеристики, материи ветви определяет пропорцию, меру между воздействием и откликом.
Если метрика единичная, то значения воздействия и отклика
численно равны.
Двойственность ветвей. Рассмотрим ветвь как простейшую двойственную сеть. На рис. 2.3 представлена одна ветвь,
которая состоит из двух частей – замкнутой и разомкнутой.
Эти две части ветви расположены в двойственных подпространствах, т.е. ортогональных и дополняющих друг друга до
полного пространства сети.
Все величины, индексы, относящиеся к двойственной
сети, будем обозначать теми же буквами, что и в заданной
сети, но с подчеркиванием. Например, заданную сеть обозначим как α-сеть, а двойственную – как α-сеть.
n
= 1, J
α
j
α
(подпространство сети)
α-сеть
(подпространство сети)
sα = 1, jα = 1, mα = 0
= 1, s
α
= 0, mα = 1
α
Ветвь, состоящая из двух двойственных частей, является
простейшим элементом двойственной сети. Изменение струк-
= 1,
α
nα0 = 2, Jα0 = 3, sα0 = 2,
j
α0
Рис. 2.3. Двойственная структура ветви
= 1, m
α0
= 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]