Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
а
в
б
b3
2'
b2
3'
1'
4'
b4
b1
b1
b3
b4
b3
b1
b4
b3
1'
3'
4'
2'
b2
b2
b1
b4
b2
101
расчет матриц решения контурной и узловой сети. Затем рассчитаем отклики на приложенные воздействия в двух двойственных сетях из четырех ветвей с источниками напряжения
и источниками тока, которые представлены на рис. 3.1. Проведем проверку откликов в сетях по законам Кирхгофа, а также расчет и проверку постоянства мощности в контурной и узловой сети; в двойственных сетях.
Рис. 3.1. Пример двух двойственных сетей:
а – две двойственные сети с ориентацией их ветвей, данная
сеть показана жирными линиями, двойственная сеть – тонкими;
б – заданная сеть и пути в ней; в – двойственная сеть и пути в ней
Пусть метрические параметры свободных ветвей заданы
–
единичными метрическими матрицами Y = Z
= I, а пути проходят по своим ветвям. Получим матрицы преобразования путей при переходе от свободных ветвей к связанным сетям.
α
Для сети на рис. 3.1, б – это матрица C
α
сети на рис. 3.1, в – это матрица C
α′
= A
, для двойственной
α′
α′
:
α
102
21 1
31
41
1 2 3 4
11 11
21 1
mj
CA
′
αα
′
αα
′
−
= =
′
−
11 11 211 13 1
′′
′′
′′
− −−
′′
−−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1 2 3 4
′
′
αα
CA
= =
′
αα
11 11
′
′
−
−
;
′
αα
CA
= =
′
αα
1 2 3 4
′
11
′
21 1
′
′
31 1
−
′
41 1 1
(3.27)
Получим матрицы решения этих сетей при единичной метрике. Проведем расчет откликов на воздействия. Проверим
выполнение законов Кирхгоффа для токов и напряжений.
Расчет матрицы решения контурной сети. Матрица преобразования контуров в данной сети (или разомкнутых путей
в двойственной сети) состоит из первых двух строк матрицы C
α
α′
:
тов вне ее главной диагонали показывает, что ветви не взаимодействуют друг с другом, а единицы на главной диагонали
означают, что ковариантные и контравариантные компоненты
вектора численно равны. Обозначим метрическую матрицу базисных контуров
m mm
(3.28)
Пусть матрица Z
единичная; Zαb = I. Отсутствие элемен-
αb
m
Z′; из (3.14) она имеет вид
1 2
1 2 3 4 1 2
′
Z CC
= = =
t
2 1 1 31 2 1 2
11
m
m
41
(3.29)
−
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( ) ( )
–1 –1
1 2
121
2 1 3 15
m m mm
t
Y Z CC
′′
′
′′
= = =
′
3 1 2 1 3 15 3 2 1 15
′′ ′′
−−
( ) ( )
–1 –1
1 2 1 2 3 4
12 1 12 1 2 1
1 2 3 4
212 11 11 213 1 2
1 5 1 5
32 1 2 1 1 32 1 2 1
41 3 41 2 13
m mm m j j j j
c t t ct t
Y C CZ C C Z A AY A A= = = =
′′
−−
′
− − − −−
= =
′
− −−
−− −−−
103
В связанных ветвях метрическая матрица не диагональная.
Контуры связанной сети взаимодействуют в отличие от свобод-
m
ных ветвей. Обратную матрицу обозначим
Y′:
Эту матрицу слева и справа умножим на подматрицу
(3.30)
m
C.
Умножение слева:
1 2 1 2
11 12 1
–1
m mm
C CC
( )
tt
2 1 1 121 2 1 2
= =
4 1 41 3
− −−
Затем, умножая справа на
для контуров в данной сети. Ее порядок равен размерности
Y
c
′′
1 2
′
′
m
C, получим матрицу решения
(3.31)
пространства сети, т.е. числу ветвей. Одновременно она является матрицей решения для разомкнутых путей в двойственной
сети Z
= Yc (см. (3.14)):
c
Умножая Y
получим значения откликов – токов в ветвях сети. Это и будут
отклики в связанных ветвях на воздействия в свободных ветвях, т.е. решение задачи сети.
Воздействия и отклики полностью определяют величину
вектора в сети из несвязанных свободных ветвей. Аналогич-
на вектор заданных источников напряжения,
c
(3.32)
104
1 2 3 4
31 1
41 1 1
jm
AC
′
αα
′
αα
′
−
= =
′
3 4
111
1 2 3 4 3 4
3 1 1 2 1 32 1
4 1 1 1 31 4 1 3
41
jj
t
AA
′′
−
′′
′′
−−
= =
′′
−
( ) ( ) ( )
–1 –1 –1
3 4
331
15
412
j j j mm
tt
Y AA C C
′′
′
′
= = =
′
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
но для полного определения вектора потока энергии в связанной сети необходимо рассчитать не только контравариантные
токи, но и ковариантные напряжения на ветвях. Сумма произведений этих компонент в каждой ветви дает мощность, т.е.
квадрат величины вектора потока энергии в связанной электрической цепи.
Расчет матрицы решения узловой сети. Она же – матрица
решения двойственной контурной сети. Матрица преобразования разомкнутых путей в данной сети (контуров в двойственной сети) состоит из последних двух строк матрицы A
j
α′
A
в (3.27) и обозначается как
. Индекс j указывает, что она
α
α′
α
= (C
α
α′
относится к разомкнутым базисным путям:
)
Произведение в скобках в (3.15) дает матрицу
m
Z′ = mC mCt):
= (
Обратная матрица к этой матрице (
имеет вид
Умножая эту матрицу на
лой (3.15), получим сначала
j
At = mCt в соответствии с форму-
(3.33)
j
Y′ = jAjAt =
(3.34)
j
Y′)–1 = jZ′ = (jA jAt)–1
(3.35)
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
–1
3 4 3 4
111 121
3 4
2 1 331 21 2
3 1 4 1 2 15 3 3 1
4 1 41 2
j jj
tt
A AA
′′ ′′
−−
′′
′
= =
′
( ) ( )
–1 –1
3 4 1 2 3 4
121 13 1 21
1 2 3 4
212 31 1 21212
1 5 1 5
331 411 1 32131
412 41212
j j j j m mm m
ct t c t t
Z A AA A Y C C C C= = = =
′′
−−
′
−
= =
′
−
+== +
105
Затем, умножая справа на
j
A (или mC), получим матрицу,
(3.36)
порядок которой равен числу ветвей. Этим преобразованием
мы переходим к отдельным ветвям, в которых можно измерить
значения откликов. В путях в общем случае значения откликов
нельзя измерить, поскольку через каждую ветвь может проходить несколько базисных путей:
Суммируя матрицы Z
и Yc данной сети, как в (2.26), по-
c
(3.37)
лучим единичную матрицу, как и для двойственной сети при
суммировании Z
взаимно двойственных матриц решения Y
и Yc. Аналогичный результат получим и для
c
+ Yc = Zc + Zc = I,
c
например
1 2 3 4
12121
YZ I
cc
213 1 2
32121
41 2 13
−−
− −−
−−
−−−
15
106
1 2 3 4
12121
213 1 2
15
32121
41 2 13
13 1 2 1 11000
21212 20100
41 2 1 2 40001
cc
YZ I
−−
− −−
+== +
−−
−−−
+=
0
0
1 2 3 4
1001eI= =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1 2 3 4 1 2 3 4
−
−
3 2 1 3 1 30 0 1 0
15
Полученные матрицы решения обеспечивают расчет компонент любого вектора при соединении ветвей в сеть с данной
и двойственной структурой при единичной метрике.
Рассмотрим две сети из четырех ветвей с двойственной
структурой, которые были даны на рис. 3.1, и переход к ним
от свободных ветвей. Зададим источники напряжения и источники тока в ветвях 1 и 4, равные единицам:
Получим отклики в ветвях. Каждая ветвь состоит из замкнутой части и разомкнутой части, которые соединены в один
элемент, как показано на рис. 2.3. Внутренний источник напряжения воздействует в замкнутой части, где откликом является ток в контуре. Внешний источник тока воздействует
в разомкнутой части, где откликом является напряжение – разность потенциалов между узлами на границах. Пусть замкнутые части свободных ветвей составляют одну простейшую сеть,
а разомкнутые части ветвей – другую простейшую сеть. Рассмотрим переход к соединенным ветвям, расчет откликов на приложенные воздействия и мощностей в двойственных сетях.
Внутреннее воздействие. Вектор источников напряжения
задан в контурах (замкнутых путях) свободных ветвей ко-
e
0
вариантными компонентами. Сеть из четырех свободных замкнутых ветвей, их соединение в сети с данной и двойственной
структурой представлены на рис. 3.2.
Внешнее воздействие. Вектор источников тока I
зомкнутых путях свободных ветвей контравариантными компонентами. Сеть из четырех свободных замкнутых ветвей, их соединение в сети с данной и двойственной структурой даны на рис. 3.3.
(3.38)
задан в ра-
0
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
а
б
A
p3ʹ
b1
b2
b3
b4
p1
p2
p4
B
p2ʹ
b2
b4
p1ʹ
b3
b1
С
в
p1ʹ
p2ʹ
b3
p3ʹ
b2
b1
F
e1= 1
e4 = 1
e4 = 1
p4ʹ
D
b4
e4 = 1
а
б
p3ʹ
b1
b2
b3
b4
p1
p2
p4
в
p1ʹ
E
p2ʹ
b3
p3ʹ
b2
b1
F
p4ʹ
D
b4
A
B
p2ʹ
b2
b4
b3
b1
С
I
= 1
I1= 1
I1= 1
I4 = 1
I4 = 1
I1= 1
I1= 1
I4 = 1
p3
I4 = 1
I1= 1
I
= 1
I1= 1
e1= 1
p
3
ʹ
p
4
Рис. 3.2. Сети из четырех ветвей с источниками напряжения
и выбранными путями: а – сеть из свободных замкнутых ветвей,
соединяется в две сети (стрелки пунктиром); б – связанная
данная сеть; в – связанная двойственная сеть
107
E
p4ʹ
Рис. 3.3. Сети из четырех ветвей с источниками тока
и выбранными путями: а – сеть из свободных разомкнутых
ветвей, соединяется в две сети (стрелки пунктиром);
б – связанная данная сеть; в – связанная двойственная сеть
108
( )
–1
00
m mm m
cc t t c
i Y e C C C Ce e= = =
1 2 3 4
11 12121 11
2 3 2 1 3 1 2 20
1 5 1 5
31 32121 30
4 2 4 1 2 1 1 41
cc
ie
−−
− − −−
= = =
−−
−−−
б
A
B
b2
b4
b3
b1
С
e4 = 1
e1= 1
а
A
B
b2
b4
b3
b1
С
e4 = 1
e1= 1
i
3
= 1/5 e
c
= 1/5
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Данная сеть. Источники напряжения (замкнутые пути).
Получим отклики (токи i
данных источниках напряжения e
и напряжения ec в ветвях) при за-
c
с помощью матрицы реше-
0
ния, которая получена в (3.32) для контурной сети (двойственной узловой сети):
(3.39)
Значения токов ic и напряжений ec = Zic в ветвях при единичной метрике численно равны. Эти значения представлены
на рис. 3.4 для данной сети. На сети слева показаны значения
токов, на сети справа – значения напряжений.
1
i
= 1/5
c
c
p1ʹ
p2ʹ
4
i
= 2/5
c
2
i
= –3/5
c
c
e
= 1/5
1
3
p
ʹ
1
c
e
= –3/5
2
p3ʹ
c
e
= 2/5
4
p2ʹ
p4ʹ
Рис. 3.4. Результаты расчета сети с источниками напряжения:
а – токи в ветвях сети; б – напряжения на ветвях сети
Проведем проверку правильности расчета данной сети. Закон Кирхгофа для токов: сумма токов, входящих в узел и выходящих из узла, равна нулю, данные – на рис. 3.4, а:
m
1
i
• узел А: +
• узел В: +
• узел С: –
– mi
c
m
2
i
+ mi
c
m
1
i
– mi
c
c
3
= 1/5 – 1/5 = 0;
c
3
4
+ mi
c
2
= –3/5 + 1/5 + 2/5 = 0;
c
4
– mi
= –1/5 + 3/5 – 2/5 = 0.
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
–1
00
j jj j
cc t t c
E Z I A A A AI I= = =
0
1 2 3 4
1 4 1 3 1 2 1 11
23 21212 20
1 5 1 5
31 321 3 1 30
43 41212 41
cc
I
IE
−
= = =
−−
б
A
p3ʹ
B
p2ʹ
b2
b4
b3
b1
С
p4ʹ
а
A
B
p2ʹ
b2
b4
b3
b1
С
I4 = 1
I1= 1
I
c
3
= – 1/5
E
c
3
= –1/5
I
c
2
= 3/5
I
c
4
= 3/5
I
c
1
= 4/5
E
c
1
= 4/5
E
c
4
= 3/5
E
c
= 3/5
p1ʹ
I1= 1
I4 = 1
109
Закон Кирхгофа для напряжений: сумма напряжений на
ветвях и источников напряжения в контуре равна нулю, данные – на рис. 3.4, б:
m
• контур 1′: +
= +1;
= е
1
• контур 2′: +
еc1 – mеc2 + mеc3 = +1/5 – (–3/5) +1/5 = +1 =
m
еc2 – mеc4 = –3/5 – 2/5 = –1 = –е4 = –1.
Проверка показывает, что расчеты выполнены правильно.
Источники тока (разомкнутые пути). Получим отклики
(напряжения E
источниках тока I
на ветвях и токи Ic = YEc в ветвях) при заданных
c
с помощью матрицы решения, которая полу-
0
чена в (3.37) для узловой сети (двойственной контурной сети):
(3.40)
Значения токов и напряжений в ветвях при единичной метрике численно равны. Эти значения представлены на рис. 3.5 для
данной сети. На сети слева даны значения токов, на сети справа –
значения напряжений; стрелками показаны источники тока.
2
Рис. 3.5. Результаты расчета сети с источниками тока:
а – токи в ветвях сети; б – напряжения на ветвях сети
110
14
01 4
11 11 2.
m
P ei ei= + =⋅+⋅=
( )
1234
123 4
1 1 –3 –3 1 1 2 2
15 3
.
25 25 5
m cc cc
ccccc
P ei ei ei ei
⋅+ ⋅ +⋅+⋅
=+++= ==
14
01 4
11 11 2.
j
P EI EI= + =⋅+⋅=
1234
123 4
44 33 11 33 35 7
.
25 25 5
j cc c c
ccccc
P EI EI EI EI
⋅+⋅+⋅+⋅
=+++= ==
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Проверим правильность расчета сети. Закон Кирхгофа для
токов: сумма токов, входящих в узел и выходящих из узла, равна нулю, учитывая источники тока, данные – на рис. 3.5, а:
1
3
+ I
• узел А: +I
• узел В: +I
• узел С: –I
c
c
1
c
– I1= +4/5 + 1/5 – 1 = 0;
c
2
3
– I
– I
c
4
+ I
c
2
– I4= +3/5 – 1/5 + 3/5 – 1 = 0;
c
4
– I
+ I1 + I4= –4/5 – 3/5 – 3/5 + 1 + 1 = 0.
c
Закон Кирхгофа для напряжений: сумма напряжений на
ветвях в контуре равна нулю, источников напряжения здесь
нет, данные – на рис. 3.5, б:
• контур 1′: Е
• контур 2′: +Е
– Еc2 + Еc3 = +4/5 – 3/5 + (–1/5) = 0;
c1
– Еc4 = +3/5 – 3/5 = 0.
c2
Проверка показывает, что расчеты выполнены правильно.
Мощность в простейшей контурной сети c источниками ЭДС
(напряжения) равна
Мощность mPс в ветвях соединенной контурной сети c источниками напряжения, которая меньше, чем мощность в свободных ветвях, равна
Таким образом, мощность в соединенной контурной сети не
равна мощности в простейшей контурной сети.
Мощность в свободных разомкнутых ветвях простейшей сети
c источниками тока равна
Мощность в ветвях связанной сети c источниками тока равна
Мощность в связанной узловой сети меньше, чем мощность
в простейшей сети.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]