Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
=×× =
11 111 1411
2 1 1 1 21 3 1
31 1 31 1 2
′′′
′′
′′
=−×=−
′′
131
–1
′′
1 2
m mm m
1 1 11 1
Y C CC C= =
ct t
11
21
3 113 1 11 1 11
41 2 14 2 1 1 1
51
61 1
− − −−
−− −
−
=
Аналогично получим матрицу решения Y
′′
1 2 1 2 3 4 5 6
′′
′′
1 2 3
13 1 1 3 3 2
214 41 1 3
−−
31 4 4 1 1 3
431 13 3 2
−− −
531 13 3 2
−− −
623 3225
1 11
4 5 6
− −−
− −−−
−−−
1 11 .
1
Y=
c
2
новой сети на
c
(3.71)
рис. 3.8, б, а затем сравним с расчетом с помощью изменения
1
матрицы решения старой сети Y
2
по той же формуле: Y
контуров состоит из первых трех строк C
= mC
c
. Матрицу Y
c
2
(mC2mC
t
2
)–1 mC2, где подматрица
t
2
2
сети получим
c
из (3.69). Эту метрическую матрицу связанной сети с изменением структуры также получим за три шага.
1.
22
mm
CC=
t
1 2 3
′′′
11 1
1 2 3 4 5 6 1 2 3
−−
21
3 11
41
51
−
−
−
61 1
(3.72)
−
132
( ) ( )
–1 –1
22
2
1 2 3
15 3 4
2 3 7 5 1 13
3 4 5 11
m mm
t
Z CC
′
′′′
′
−−
′
= = −
′
−
′′′
×− × − =
−−
−−
−−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
2. Обратная матрица:
3. Матрица решения:
1 2 3
11 1
21
2 2 22 2
m mm m
= = ×
Y C CC C
ct t
( )
–1
3 11
−
41
−
51
61 1
′′′
1 2 3 1 2 3 4 5
′′
15 3 4 11 1 1
′′
2 3 7 5 1 13 2 1 1
′′
3 4 5 11 3 1 1
−− −−
−
2 3 4 5 6
1
18 2 5 1 1 3
22 7 2 3 3 4
3528113
=
−−
−
413155 2
513155 2
63 4 3 2 2 6
−−−
−
1 13
(3.73)
2
Y=
c
(3.74)
Можно видеть, что матрицы решения сетей Y
ные. Теперь проведем расчет матрицы решения второй сети
2
2+
= Y
Y
c
c
нений путей DC, которая состоит из выделенной строки 3 матрицы в (3.69):
по матрице решения первой сети Y
1
2
и Y
различ-
c
c
1
и матрице изме-
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
1 2 3 4 5 6
31 1C′D=
( )
′′
( )
′′
( )
( )
–1
–1
1
3
– 3 11 1 13
ct
Z CI Y C
′
′′
D=D D=
133
(3.75)
При этом используем формулу (3.54) изменения решения
для единичной метрики. В этой формуле трижды повторяется
1
матрица (I – Y
путей DC справа и слева. В силу симметрии матрицы Y
), которая умножается на матрицу изменения
c
1
доста-
c
точно получить одно такое выражение, остальные отличаются
только транспонированием:
1
–
IY CD=
ct
1 2 3 4 5 6 3 3
1 8 1 1 3 3 2 11 17
2 1 7 4 1 1 3 2 25
3 1 4 7 1 1 3 31 36
−
= ×=
4 3 1 1 8 3 2 4 44
5 3 1 1 3 8 2 5 54
6233226 6 61
−−
−−
−−−
1 11 1 11
−−
−−
(3.76)
Матрица импедансов измененных путей в двойственной сети
DZ′:
′
Z CI Y C
D=D D=
1
–
ct
′
3
17
25
1 2 3 4 5 6 3
3 1 1 1 11 3 13 1 11
= =
36
′
44
54
61
Обратная матрица к этой матрице очень проста:
(3.78)
(3.77)
134
( ) ( ) ( )
–1
11 1
–– –
3
17
25
3 1 2 3 4 5 6
36
1 11 3 11 13 3 7 5 6 4 4 1 1 11
44
54
61
1 2 3 4 5
1 49 35 42 28 28 7
2 35 25 30 20 20 5
3 42 30 36 24 24 6
4 28 20 24 16 16 4
5 28 20 24 16 16 4
67 5 6 4 4 1
c ct ct c
Y IY C CIY C CIY
D= D D D D =
′
′
′′
= =
=
6
1 143
c
Y= D
= +D = +
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Умножая слева и справа на (3.76), получим матрицу изме-
нений решения, выраженную через матрицу решения старой
1
сети Y
и матрицу изменяемых путей DC:
c
трицу изменения решения DY
решения новой сети Y
Остается сложить матрицу решения старой сети Y
21
+
YYY
cc c
и выразить через них матрицу
2+
c
, т.е.
c
1 2 3 4 5 6
13 1 1 3 3 2
214 41 1 3
31 4 4 1 1 3
431 13 3 2
531 13 3 2
623 3225
− −−
−−
− −−−
−− −
−− −
−−−
1 11
(3.79)
1
и ма-
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
21
1 2 3 4 5 6
13 1 1 3 3 2
214 41 1 3
31 4 4 1 1 3
1 11
431 13 3 2
531 13 3 2
623 3225
1 2 3
cc c
YYY
+
− −−
−−
− −−−
= +D = +
−− −
−− −
−−−
4 5 6
−−
−−
−−
−−
−−
1 49 35 42 28 28 7
2 35 25 30 20 20 5
3 42 30 36 24 24 6
+
4 28 20 24 16 16 4
5 28 20 24 16 16 4
67 5 6 4 4 1
1 2 3 4 5 6
1 88 22 55 11 11 33
2 22 77 22 33 33 44
3 55 22 88 11 11 33
= =
4 11 33 11 55 55 22
5 11 33 11 55 55 22
6 33 44 33 22 22 66
−−
−
−−−
1 2 3 4 5 6
18 2 5 1 1 3
22 7 2 3 3 4
3528113
=
−−
−
413155 2
−
513
3 4 3 2 26
6
155 2
−−−
135
=
1 143
1 13
(3.80)
−
Можно видеть, что полученная матрица решения Y
той, которая получена прямым расчетом в соотношении (3.74)
для сети на рис. 3.8, б. Заметим, что все расчеты связаны только с изменениями путей при изменении структуры, поскольку
не заданы метрические веса на ветвях или значения компонент
2+
c
воздействий. Таким образом, рассмотрены чисто структурные
свойства преобразования сети.
Расчет сети при разделении узлов. Пусть теперь в сети на
рис. 3.8, б узел A–B разделен на два узла, и она преобразуется
в сеть на рис. 3.8, а. Нельзя получить матрицу решения Y
мощью матрицы решения Y
DY
, входит сама матрица Y
c
2+
, поскольку в матрицу изменений
с
1
. Используем формулу при разъ-
с
равна
1
с по-
с
136
1 2 3 4 5 6
3 11A′D=
2
1 2 3 4 5 6 3 3
1 8 2 5 1 1 3 1 17
2 2 7 2 3 3 4 21 25
3528113 3136
1 13 1 13
413155 2 4 44
513155 2 5 54
6 3 4 3 2 2 6 6 61
ct
YA
′′
−−
−
−−
D= =
−−
−−
−−−
′′
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
единении ветвей. Для замкнутых путей это матрица решения
2–
в (3.61), а матрица изменения DA – это выделенная двойной
Y
с
линией строка 3 в матрице A, которая дана после (3.69):
Роль исходной матрицы решения Y
2+
2
= Y
Y
с
. Как и прежде, в расчет входят три умножения матриц
с
изменения путей на матрицу решения DAY
дают одинаковый результат в силу симметрии матрицы Y
(3.81)
1
теперь играет матрица
с
2
2
= (Y
с
DAt)t. Все они
с
2
, поэ-
с
тому достаточно одного (любого из трех) перемножения данных
матриц, например:
(3.82)
Полученная матрица совпадает в данном случае с (3.76), но
имеет другой определитель в знаменателе. Найдем матрицу комплексных проводимостей измененных путей в двойственной сети
DY′, равную
′′
Y AY Y AY A
D=D D=D D=
22
c ct
′
3
17
25
1 2 3 4 5 6 3
3 1 1 1 13 3 11 1 13
= =
36
44
54
61
′
(3.83)
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
( )
1
1
2
3
3 13 11
ct
Y AY A
−
−
′
′′
D =DD =
( )
3
17
25
3 1 2 3 4 5 6
36
1 13 3 13 11 3 7 5 6 4 4 1 1 13
44
54
61
1 2 3 4 5 6
1 49 35 42 28 28 7
2 35 25 30 20 20 5
3 42 30 36 24 24 6
1 11 13
4 28 20 24 16 16 4
5 28 20 24 16 16 4
67 5 6 4 4 1
c
Y
′
′
′′
=
= ⋅=D
−−
= = D= −
−−
−−
Обратная матрица к этой матрице получается просто:
137
Умножим слева и справа на вектор из (3.82) и получим матрицу изменения решения DY
:
c
Остается вычесть DY
1
старой сети Y
через матрицу новой Y2 и DA, т.е.
с
2– 1 2
Y YY Y
с сс c
– 1 13
c
1 2 3 4 5 6
18 2 5 1 1 3
22 7 2 3 3 4
3528113
413155 2
513155 2
63 4 3 2 2 6
из Y
2
и получить матрицу решения
с
−
−−−
(3.84)
(3.85)
−−
138
2– 1 2
1 2 3 4 5 6
18 2 5 1 1 3
22 7 2 3 3 4
3528113
– 1 13
413155 2
513155 2
63 4 3 2 2 6
1 2 3 4
с сс c
Y YY Y
−−
−
−−
= = D= −
−−
−−
−−−
5 6
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1 49 35 42 28 28 7
2 35 25 30 20 20 5
3 42 30 36 24 24 6
−
4 28 20 24 16 16 4
5 28 20 24 16 16 4
67 5 6 4 4 1
1 2 3 4 5 6
13 1 1 3 3 2
214 41 1 3
31 4 4 1 1 3
= =
431 13 3 2
531 13 3 2
623 3225
Студентам предлагается самостоятельно провести эти
вычисления. В данном примере матрицы изменения решения
оказались одинаковыми, что не всегда так.
Таким образом, показано действие формул пересчета матриц решения при изменении структуры сетей как при наложении связей, уменьшении числа узлов, так и при разрывании,
увеличении числа узлов – в пределах связанной сети, представ-
− −−
−−
− −−−
−− −
−− −
−−−
ляющей собой одну подсеть.
1 143
1 11
=
1
Y
c
(3.86)
3.6. Расчет сетей почастям
Технические, экономические, социальные системы становятся сложнее по количеству элементов и связей между ними.
При изменении внешних и внутренних воздействий, внутренней структуры системы необходимы новые расчеты для проектирования, управления, прогнозирования. Сетевая модель
позволяет преобразовать старое решение в решение для новой
структуры, включая разделение на части, что ускоряет расчеты. Однако поведение отдельных частей отличается от поведения тех же частей, соединенных в целое.
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
139
При разделении системы на части разрушаются связи между подсистемами. Расчет отдельных подсистем не учитывает
влияние этих связей. Для решения полной системы (в виде
матриц решения или компонент потоков в сети) необходим
расчет взаимных воздействий подсистем. Математически это
обеспечивает матрица изменения решения. Однако при соединении подсистем изменяются отклики в элементах полной
системы. Производится расчет новых откликов от взаимодействия подсистем. Эти отклики вызывают новые взаимные воздействия, и т.д. Возникают итерации, что снижает эффективность вычислений.
Особенность тензорного метода расчета сетей при изменении структуры состоит в том, что изменение решения получается без итераций, связанных с учетом взаимного воздействия
частей друг на друга. Дело в том, что изменения потоков в данной сети отображаются в двойственной сети к сети соединений,
состоящей только из ветвей, входящих в замыкаемые или размыкаемые пути при изменении структуры.
Ветви, которые связывают подсистемы, составляют отдельную подсистему, сеть соединений. Двойственная сеть к сети
соединений «сохраняет» изменения, происходящие при разделении целого на части. Отклики в двойственной сети к сети соединений восстанавливают взаимодействие подсистем при их соединении.
Рассмотрим декомпозицию и расчет сетей по частям. Разделение сети на подсети аналогично изменению структуры без
разделения на части, но в этом случае матрица преобразования сложнее, поскольку вместо одной сети есть несколько подсетей.
Связанная сеть состоит из ветвей, которые соединены границами, узлами. Разделяя границы, можно разделить сеть на
отдельные подсети, которые не имеют границ между собой. Разделение большой сети (сетевой модели сложной системы) на подсети позволяет рассчитать подсети на параллельных компьютерах, а затем соединить их решения в решение полной сети.
Возможны три варианта расчета сети по частям при связывании подсетей отдельной сетью соединений:
140
2 22 1 1 1
– –– –.j J s J Js sj J s= = +D D = +D D
221 1
– –– – .m nj nj J sm J s= = D +D = D +D
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1) полная сеть разделяется на подсети удалением части ветвей, которые составят отдельную сеть соединений, r-сеть. При
параллельном расчете можно каждый раз разделять сеть на раз-
ные подсети, связанные разными r-сетями;
2) есть одни и те же подсети, блоки, которые связаны раз-
ными r-сетями. Тогда при проектировании можно использовать полученные решения подсетей для компоновки их в разные полные сети, представляющие, например, модели разных
конструкций;
3) существует каркас системы в виде одной и той же r-сети со-
единений, а к нему присоединяются каждый раз разные подсети.
При разделении сети на части или соединении из частей целого меняется количество независимых замкнутых и разомкнутых путей, что приводит к изменению размерности их базиса.
Соответственно меняются размерности их подпространств. Изменение числа базисных путей происходит как в результате изменения числа узлов, их слияния или расслоения, так и числа
независимых подсетей в соответствии с (2.1) и (2.2).
Пусть в сети, состоящей из n ветвей, есть J
подсеть, s
= J1 – s1= J1 – 1, а контуров m1 = n – j1. Если сеть разделить
j
1
= 1. В такой сети независимых разомкнутых путей
1
узлов и одна
1
на подсети разделением некоторых узлов, всего DJ узлов, то она
преобразуется в новую сеть, которая состоит из s
независимых подсетей, а узлов в ней станет J
независимых разомкнутых путей изменится и станет j
= s1 + Ds ≠ 1
2
= J1 + DJ. Число
2
:
2
При этом количество замкнутых путей, контуров, станет m
Если при разделении на подсети часть ветвей удалена, то
эти ветви составят сеть соединения, которая связывает подсети. Эта сеть из ветвей, которые не вошли в подсети.
Обозначим подсети индексом «c», таким, что: c = 1, ..., s; где
s есть число независимых подсетей, или для краткости s-сетей.
Пусть подсети образовались при удалении части ветвей, кото-
(3.87)
2
(3.88)
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]