Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей

Hʹ

Двойственная сеть

Данная сеть

Hʹ

Двойственная сеть

Данная сеть

p2ʹ

p3ʹ

p5ʹʹ

p4ʹʹ

зоры, инвариант двойственности, а также их изменение при изменении структуры. Каждому замкнутому пути в одной сети соответствует разомкнутый путь в двойственной сети, и наоборот.

(тонкие линии)

Рис. 2.12. Двойственные сети из пяти ветвей. Контуру в одной

сети соответствует разомкнутый путь в другой сети, и наоборот

В качестве примера изменения структуры рассмотрим соединение двух узлов в данной сети и разделение соответствующих узлов в двойственной сети. При замыкании разомкнутого пути в одной сети происходит размыкание замкнутого пути в двойственной сети, соответственно изменяются их матрицы преобразования.

Отдельно эти две двойственные сети до изменения структуры и один из вариантов выбора путей в них представлены на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Двойственные сети из пяти ветвей

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Этому выбору путей соответствуют матрицы преобразования путей свободных ветвей в базис путей в связанных ветвях. Слева дана матрица преобразования C ва – матрица С

= А1 = C

двойственной сети. Величины двой-

1–1t

исходной сети, а спра-

ственной сети подчеркнуты штрих-пунктиром:

ppppp

12345

′

−

Сp

СAp

= =

1 14

11 1

mmmmm

ppppp

12345

′

−

′

1 11

−

11 11

−−

′

11 1

−

′

jjjjj

−

Матрицы преобразования от базисов свободных ветвей к базисам связанных ветвей, и наоборот, имеют нулевой блок выражения разомкнутых путей через замкнутые пути. Буквы в строке под матрицами показывают, что в простейшей сети отдельные ветви в данном случае были все замкнуты, а в простейшей двойственной сети были все разомкнуты.

В данной сети и двойственной сети при изменении структуры меняется число замкнутых и разомкнутых путей, однако сумма замкнутых путей и сумма разомкнутых путей в двух сетях постоянная; она равна числу ветвей. Изменим структуру данной сети, соответственно изменится структура двойственной сети. На рис. 2.14 узел L в сети слева разделен на два узла L1 и L2 в сети справа. Направление разделения узла показано пунктирной стрелкой.

ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей

Измененная сеть

Данная сеть

pʹ2

pʹ3

pʹʹ2

b1 L1

pʹ1

Рис. 2.14. Сеть из пяти ветвей с изменением структуры:

узел L в сети слева разделен на узлы L1 и L2 в сети справа

Двум сетям соответствуют матрицы преобразования путей

свободных ветвей в базис путей связанных ветвей. Это матри-

левой сети (три контура) и матрица С2 правой сети с из-

ца C

менением структуры, с разделенным узлом L на узлы L1 и L2, (два контура):

ppppp

12345

′

′′

11 1

ppppp

12345

1111

11 1

−

(2.29)

−

Таким образом, размерность подпространства замкнутых путей уменьшилась на единицу, с 3 до 2; а размерность подпространства разомкнутых путей возросла на единицу, с 2 до 3.

Соединены узлы D и L в узел D-L

Двойственная сеть с измененной структурой

Исходная двойственная сеть

pʹ5

pʹ4

b1 b4

pʹ5

pʹ4

pʹ3

pʹ4

−−

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

При изменении структуры путь p1″ теперь составляют другие ветви (показаны жирным шрифтом).

Разделению узла в сети на рис. 2.14 соответствует соединение узлов в двойственной сети. На рис. 2.15 узлы D и L в двойственной сети слева соединены в один узел, который обозначен D-L в двойственной сети справа. Направление соединения показано пунктирными стрелками.

Рис. 2.15. Двойственная сеть из пяти ветвей с изменением

структуры: узлы D и L в сети слева сливаются в один узел

в сети справа (направление соединения показано стрелками

пунктиром)

Этим сетям соответствуют матрицы преобразования путей свободных ветвей в пути связанных ветвей: матрица C ственной сети, где было два контура, и матрица С ной сети с изменением структуры (стало три контура), путь p здесь изменился:

ppppp

12345

′

−

′

−

1 11

11 1

−

11 1

двой-

двойствен-

′

ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей

12345

1 11

11 1

ppppp

′

−

′

−

−−

′

−

′

−−

12345

11 1

ppppp

Cp m

m mmm m

′ ′

= −

′

ppppp

12345

′′

−

′′

−

11 1

−

11 1

Таким образом, размерность подпространства замкнутых путей двойственной сети возросла на единицу, была два, а стала три; а размерность подпространства разомкнутых путей уменьшилась на единицу – была три, а стала два. Путь p кнутым, причем его теперь составляют не три ветви, а две. Так меняются размерности подпространств замкнутых и разомкнутых путей и матрицы преобразования при изменении структуры сети.

Расчет метрических тензоров двойственных сетей до изменения структуры. Будем считать веса всех ветвей (сопро-

тивления) равными единицам. По формуле (2.14), используя

подматрицу контуров

С1, получим метрический тензор Y1с для

замкнутых путей левой сети, который одновременно является

метрическим тензором Z

правой сети на рис. 2.13.

Для расчета метрических тензоров используется подматри-

С1 левой контурной сети, состоящая из верхних трех строк,

ца и подматрица ящая из нижних двух строк. Матрица преобразования ходной контурной сети:

С1 правой двойственной контурной сети, состо-

(2.30)

″ стал зам-

C1 ис-

Матрица mС1 = jА двойственной контурной сети:

12345

11 11

11 1

ppppp

jjjjj

′

−−

= =

′

−

1 2 3 4 5

1 0,63 0,38 0,13 0,13 0, 25

2 0, 38 0, 63 0,13 0,13 0, 25

3 0,13 0,13 0,63 0, 3 8 0, 25

4 0,13 0,13 0,38 0,63 0,25

5 0,25 0,25 0,25 0, 25 0, 50

−

−−

−

−−

( )

–1

1 11 1

j jj j

ct t

Z A AA A=

1 2 3 4 5

1 0,38 0,38 0,13 0,13 0,25

2 0, 38 0,38 0,13 0,13 0, 25

3 0,13 0,13 0, 38 0,38 0, 2 5

4 0,13 0,13 0,38 0,38 0, 25

5 0, 2 5 0, 25 0, 2 5 0, 25 0,50

− −−

−−

= =

−−

−−−

−−

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Выполним расчет метрического тензора соединенной кон-

= Z

турной сети Y

по формуле (2.14): Y

Одновременно это метрический тензор Z

= mC1t(mC

разомкнутых путей

C1t)

правой, двойственной сети. Получим матрицу решения:

(2.31)

Аналогично для правой, двойственной сети, используя под-

матрицу контуров

С1 = jА1, получим метрический тензор Y

по формуле (2.15):

Одновременно это метрический тензор Z

для разомкнутых

путей левой сети. Получим матрицу решения:

–1 m

C1.

= Z

Инвариант двойственности состоит в постоянстве суммы ме-

трических тензоров данной сети Y

(2.32)

и двойственной сети Y

, кото-

ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей

−−

110000

Cp m

рая равна метрическому тензору сети из несоединенных ветвей

, в данном случае это единичная матрица Y

+ Y

= Yс + Zс = Y0:

1 2 3 4 5

1 0, 63 0,38 0,13 0,13 0,25

2 0, 3 8 0, 63 0,13 0,13 0,25

3 0,13 0,13 0,63 0, 38 0, 2 5

4 0,13 0,13 0, 38 0, 6 3 0,25

5 0, 25 0, 25 0,25 0, 2 5 0,50

−

−−

−

−− +

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 0, 38 0, 3 8 0,13 0,13 0, 25

−

2 0,3

0,13 0,13 0,38 0, 38 0,25 3 0 0 1 0 0

0,13 0,13 0,38 0, 38 0, 2 5 4 0 0 0 1 0

−−−

0,25 0, 25 0, 2 5 0, 25 0,50 5 0 0 0 0 1

−−

− −−

8 0, 38 0,13 0,1 3 0, 25 2 0 1 0 0 0

−−

− =

Выполнение инварианта двойственности при изменении

структуры сети. На рис. 2.14 узел L в сети слева разделен на два узла L1 и L2 в сети справа. Для расчета метрических тензо-

ров выше уже использована подматрица

С1 левой сети, состо-

ящая из верхних трех строк, а теперь используем подматрицу

С2 правой контурной сети с разделенным узлом в (2.29), кото-

рая состоит из верхних двух строк:

ppppp

12345

′

Получим метрический тензор Y

ным узлом по формуле (2.14): Y

′

= −

′

′′

11 1

ppppp

12345

1111

11 1

= mC2t(mC

−

для правой сети с разделен-

–1 m

C2t)

C2:

1 2 3 4 5

1 0, 38 0,13 0,13 0,38 0,25

2 0,13 0, 38 0, 38 0,13 0, 2 5

3 0,13 0, 38 0, 38 0,13 0, 2 5

4 0, 38 0,13 0,13 0,38 0, 25

5 0,25 0,25 0,25 0, 25 0, 50

Y−=

−

−−

1 2 3 4 5

11 1

Cp m

′′

−

′′

= −−

−

′′

1 2 3 4 5

1 0,63 0,13 0,13 0, 38 0, 25

2 0,13 0,63 0, 38 0,13 0,25

3 0,13 0, 3 8 0, 63 0,13 0,25

4 0, 38 0,13 0,13 0,63 0,25

5 0, 2 5 0, 25 0, 2 5 0, 25 0,50

−−−−

− −−

−− −

−−− −

−−

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Для расчета метрического тензора двойственной сети с изме-

ненной структурой используется подматрица

С2 правой сети с

разделенным узлом, состоящая из нижних трех строк матрицы

в (2.30):

Метрический тензор Y рис. 2.15 получим по формуле (2.15): Y = Z

= jA2t(jA

A2t)

–1 j

A2:

для правой двойственной сети на

= mС2t(mС

–1 m

С2t)

С2 =

Инвариант двойственности состоит в постоянстве суммы метрических тензоров для подпространства замкнутых путей двух двойственных сетей с изменением соединения ветвей. Сумма равна метрическому тензору простейшей сети из отдельных ветвей, в данном случае это единичная матрица, Y

YYY+=

сс

= I:

ГЛАВА 2. Тензорный анализ сетей

сс

YYY+=

,25 110000

данная двойст 0

mmm

PPP+=

1 2 3 4 5

1 0, 3 8 0,13 0,13 0, 38 0, 25

2 0,1 3 0, 38 0,38 0,1 3 0, 25

3 0,13 0, 38 0,38 0,1 3 0, 25

−

4 0, 3 8 0,13 0,13 0, 3 8 0,25

5 0, 25 0, 25 0,25 0, 2 5 0,50

−−

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 0, 63 0,13 0,13 0,38 0

0,13 0,63 0,38 0,13 0, 25 2 0 1 0 0 0

− −−

0,13 0, 38 0,63 0,13 0, 25 3 0 0 1 0 0

−− −

0,38 0,13 0,13 0,63 0,25 4 0 0 0 1 0

−−− −

0,25 0, 25 0, 2 5 0, 25 0,50 5 0 0 0 0 1

−−

−−−−

Делая двойственные замены, получим аналогичное выполнение инварианта двойственности для подпространства разомкнутых путей двух двойственных сетей. Студентам предла-

гается сделать это самостоятельно.

Физический смысл инварианта двойственности. Инварианту двойственности структуры пространства соответствует закон сохранения потока энергии, который измеряется мощностью. Закон сохранения потока энергии выражается, например, в постоянстве суммы рассеиваемых мощностей для замкнутых путей при изменении структуры двойственных электрических цепей. Сумма рассеиваемых мощностей в данной сети в двойственной сети (замкнутые свободные ветви)

двойст

данная

равна мощности в простейшей сети

P0 с теми же источниками энер-

гии (источниками напряжения):

Аналогично закон сохранения потока энергии выражается в постоянстве суммы рассеиваемых мощностей для разомкнутых путей при изменении структуры двух двойственных электрических цепей. Сумма рассеиваемых мощностей в данной

сети

и в двойственной сети jP

данная

равна мощности в

двойст

данная двойст 0

jjj

PPP+=



 



0 00

A n AA

α αα





ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

простейшей сети (разомкнутые свободные ветви) jP0 с теми же источниками энергии (источниками тока):

Таким образом, инварианту двойственности структуры соответствует закон сохранения потока энергии при изменении соединения ветвей двойственных электрических цепей.

Независимость (ортогональность) разомкнутых и замкну-

тых путей. Пусть в сети из свободных ветвей все ветви либо

замкнутые, либо разомкнутые. При переходе от свободных ветвей к связанным ветвям часть путей замкнется или разомнется,

а в матрице преобразования C ветствующие замкнутым

появятся две подматрицы, соот-

и разомкнутым путям jC

• в строках которые составляют данный контур, замкнутый путь, с учетом их ориентации;

• в строках

ставляющие разомкнутые пути, с учетом их ориентации.

Матрица обратного преобразования (от связанных ветвей к

свободным) (C

• подматрица тей в двойственной сети, ненулевые элементы которых показывают, какие ветви составляют разомкнутые пути;

• подматрица в двойственной сети, ненулевые элементы которых показывают, какие ветви составляют замкнутые пути.

Поскольку это матрицы обратных преобразований, то их произведение, равное единичной матрице, можно представить как произведение подматриц:

(2.33)

ненулевые элементы перечисляют ветви,

ненулевые элементы перечисляют ветви, со-

)–1 = A

также состоит из двух подматриц:

0αt

(2.34)

= jC

= mC

состоит из строк разомкнутых пу-

состоит из строк замкнутых путей

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]